楊建奇，趙守娟

（1.湖南科技學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，湖南永州425100；2.新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南新鄉(xiāng)453003）

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不可交易資產(chǎn)的平方套期保值問題

楊建奇1，趙守娟2

（1.湖南科技學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)研究所，湖南永州425100；
2.新鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，河南新鄉(xiāng)453003）

提出并解決了不可交易資產(chǎn)的套期保值問題.基于金融實(shí)際構(gòu)建了不可交易資產(chǎn)套期保值模型，在風(fēng)險資產(chǎn)價格服從跳擴(kuò)散模型的假設(shè)下提出了三個平方套期保值問題.借助于一個輔助過程和Hilbert空間投影定理，利用市場可觀測量以后向形式給出了平方套期保值標(biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)策略.最后通過Monte Carlo方法驗(yàn)證了套期保值策略的有效性.

不可交易資產(chǎn)；跳擴(kuò)散過程；平方套期保值；效用最優(yōu)

§1　引　言

金融風(fēng)險管理是金融工程中一個重要研究課題。現(xiàn)有文獻(xiàn)對其進(jìn)行了大量的研究和討論.然而仔細(xì)觀察之后發(fā)現(xiàn)，大部分的文獻(xiàn)研究（如［1-6］）是在假定市場上的金融資產(chǎn)可以隨時交易基礎(chǔ)上進(jìn)行的.然而，在現(xiàn)實(shí)的金融市場中存在許多不可交易資產(chǎn)，比如匯率就是一種典型的不可交易資產(chǎn)，由此導(dǎo)致的風(fēng)險往往不能用可交易資產(chǎn)的方法來獲得.一家中國公司在將來的某一時刻（比方說設(shè)為T）將收到以美元結(jié)算的一筆貨款（設(shè)為K美元），由于人民幣對美元的匯率（設(shè)為S）變動，它在T時刻實(shí)際得到的人民幣收入將是H = kST，P-a.s.，匯率的升降變動將影響公司的實(shí)際收益，這家公司將面臨所謂的匯率風(fēng)險.公司應(yīng)當(dāng)采取何種策略來對沖這類風(fēng)險，是管理層將不得不考慮的問題？再如在現(xiàn)代企業(yè)管理制度下，為調(diào)動管理人員的工作積極性，上市公司通常采取股權(quán)激勵制度.在這種制度下，按照合同，公司的高級管理人員在約定時刻將收到一定數(shù)額的股票作為部分薪酬.對這些管理人員來說，他們擔(dān)心的是股票的將來價格下跌，自己的終期收益將縮水.管理人員往往購買與公司業(yè)績相關(guān)的其他風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行投資，以降低收益風(fēng)險.在實(shí)物期權(quán)理論中，某些不動產(chǎn)可以看成是一個不可交易資產(chǎn).比如某公司為了穩(wěn)定人心和鼓勵職工安心為單位工作，規(guī)定職工工作T年后可以以市場價格的一定比例（k）來購買該住房，由于房地產(chǎn)價格受供求，政治和經(jīng)濟(jì)等因素的影響，房產(chǎn)價格的市場走勢是不確定的，并且在T時刻前職工無權(quán)去買賣，因此可以把該住房看成是一個不可交易的風(fēng)險資產(chǎn)S，到期后職工可以將該資產(chǎn)出售.因此為鎖定將來的支出和收益風(fēng)險，職工也面臨著一個用可交易資產(chǎn)B對不可交易資產(chǎn)進(jìn)行套期保值的問題.正因?yàn)槿绱?，如何通過交易資產(chǎn)B來最大程度的消除風(fēng)險成為金融理論和實(shí)踐的一個重要問題.這些問題的共同特征就是如何定價這個不可交易資產(chǎn)以及采取何種交易策略來對沖不可交易資產(chǎn)所帶來的風(fēng)險.文獻(xiàn)［7-9］就不可交易未定權(quán)益的定價問題進(jìn)行了定量討論.［10］討論了利用通過不可交易資產(chǎn)尋找與之相關(guān)的可交易資產(chǎn)，從而達(dá)到給不可交易資產(chǎn)定價的問題.然而不可交易資產(chǎn)的套期保值的定量分析卻鮮見于文獻(xiàn).［11］討論了不可交易資產(chǎn)的套期保值問題，但其風(fēng)險資產(chǎn)模型是擴(kuò)散的.本文將假定風(fēng)險資產(chǎn)的變化滿足跳擴(kuò)散模型，并在此基礎(chǔ)上對不可交易資產(chǎn)的套期保值問題進(jìn)行研究.首先建立一個不可交易資產(chǎn)的套期保值模型.然后以遞推的形式給出具體的套期保值策略.最后利用Monte Carlo方法對沖策略有效性進(jìn)行分析.

§2　市場模型的數(shù)學(xué)表達(dá)

用一個帶流概率空間（?，F(xiàn)，F(xiàn)，P）來表示一個金融市場.假設(shè)W =（Wt）0≤t≤T是一個標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)值Brownian運(yùn)動，N =（Nt）0≤t≤T是強(qiáng)度為λt的Poisson過程. F =（Ft）0≤t≤T是由W和N生成的自然σ-域，并且滿足通常假設(shè): F =（Ft）0≤t≤T是右連續(xù)的（即0≤t≤TF0是平凡的，即其僅有所有的P - 0和P - 1集所組成.市場中所有的隨機(jī)現(xiàn)象由（?，F(xiàn)，F(xiàn)，P）來刻畫，有效的市場信息用σ-域F=（Ft）0≤t≤T來刻畫，投資者在t時刻能夠獲得全部的有效市場信息為Ft，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行理性投資.

本文采用merton（1976）的經(jīng)典跳擴(kuò)散模型來描述風(fēng)險資產(chǎn)的價格過程.假定市場中存在一種（0，T）內(nèi)不可交易風(fēng)險資產(chǎn)S和一種可交易資產(chǎn)B，其折現(xiàn)價格（以無風(fēng)險資產(chǎn)價格過程為折現(xiàn)因子）St與Bt分別滿足如下的隨機(jī)微分方程

其中ut，σt，βt，mt，vt，αt是［0，T］到R的有界函數(shù)并且滿足

定義1一個F可料的適應(yīng)過程?=（?t）0≤t≤T被稱為交易策略，如果?是F-可積的并且滿足

這樣，前述的不可交易資產(chǎn)的風(fēng)險對沖問題可以如下來描述.假定在T時刻，一個套期保值者一定會得到一個T-未定權(quán)益H且H = KST，P.-a.s.，如前所設(shè)St是不可交易資產(chǎn)，并且其T時刻的價格是隨機(jī)的，所以套期保值者打算僅使用可交易風(fēng)險資產(chǎn)B（比方說一個遠(yuǎn)期或期貨合約）.對該未定權(quán)益H進(jìn)行套期保值，以降低未來收益風(fēng)險. B，S往往是關(guān)系密切兩種資產(chǎn)，如一段時期不可交易的房產(chǎn)與相關(guān)房產(chǎn)公司的股票等.由于市場的不完備性（因?yàn)槭袌鲋袃H有一種可交易風(fēng)險資產(chǎn)，隨機(jī)因素卻有兩個），這個套期保值者利用自籌資策略不可能完全復(fù)制該未定權(quán)益，因而消不能完全消除因ST的隨機(jī)性給他（她）帶來的收益風(fēng)險.通常說來這些套期保值者將基于三個方面來進(jìn)行自己的投資:與自己終期目標(biāo)財(cái)富的偏離程度最小；使自己的終期財(cái)富效用最優(yōu)；在終期平均收益一定的情況下，損益風(fēng)險最小.

顯然，從風(fēng)險管理的觀點(diǎn)來看，風(fēng)險對沖者的最終財(cái)富是?的函數(shù):

事實(shí)上，kST是風(fēng)險對沖者在初始時刻明確知道將在T時刻將擁有的未定權(quán)益，而GT（?）是風(fēng)險對沖者的投資收益，它們之和就是風(fēng)險對沖的最終財(cái)富.

在平方最優(yōu)的框架內(nèi)，風(fēng)險對沖者面臨的問題可以明確表述為如下三個問題:尋找分別滿足下列條件的?∈Θ.

注上述的三個問題（即優(yōu)化目標(biāo)）有著很好的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義.問題1）中，L是一個預(yù)先給定的終期財(cái)富的目標(biāo)水平，因此可以看成一個投資尋找最優(yōu)策略使得終期財(cái)富與自己的目標(biāo)財(cái)富偏差最小（把L-KST看成是風(fēng)險對沖的對沖目標(biāo)），則問題1）就是通常所說的均方最優(yōu)風(fēng)險對沖問題；問題2）中，函數(shù)u（w）是一個關(guān)于終期財(cái)富W的下凸函數(shù)，可以看做是一個效用函數(shù)，因此問題2）事實(shí)上可以看成終期效用最優(yōu)問題.問題3）可以看成通常所說的均值方差問題，即在將來期望收益一定的情況下，風(fēng)險最?。ńK期財(cái)富的方差看作是風(fēng)險）.

§3　最優(yōu)套期保值策略

本節(jié)運(yùn)用Hilbert空間的投影定理來對上述三個平方套期保值問題進(jìn)行研究.眾所周知，如果定義內(nèi)積（X，Y）= E（XY）和范數(shù)||X，X|| =（EX2）12，則L2（P）是一個Hilbert空間，集合G（Θ）=｛G（?）T，?∈Θ｝是L2（P）的線性閉子空間.因此優(yōu)化問題1）等價于

其中Y = L - kST.

由Hilbert空間的投影定理知，X?是（6）的解當(dāng)且僅當(dāng)（Y -X?，X）= 0對所有的X∈G（Θ）都成立.因此可以得到最優(yōu)策略的一個等價刻畫.

引理2一個交易策略?∈Θ是均方最優(yōu)套期保值問題1）的解當(dāng)且僅當(dāng)對任意的交易策略?∈Θ，如下等式總成立.

下面將首先考慮解決問題1），然后以問題1）的解為基礎(chǔ)解決問題2）和3）.為求解問題1），構(gòu)造如下的輔助過程Z =（Zt）0≤t≤T:

其中

從（8）式可得ZT= kST，P-a.s.

其中

下面將證明?就是問題1）的解.

為達(dá)到這個目的，定義如下內(nèi)積函數(shù)Ht.

接下來證明Ht是一個特殊的常微分方程的解.

引理3設(shè)?是任意一個交易策略，?=Φ（G?）是由（8）-（10）確定的投資策略，Ht由（11）來定義.則導(dǎo)數(shù)有定義并且

證由It?o引理知Z是如下隨機(jī)微分方程的解.

對Gt= G（?）t，有

設(shè)Xt= ZtGt，由分部積分公式知

兩邊同時取期望，利用Fubini定理知

設(shè)ˉGt= E（Gt），則

定理4在模型假設(shè)（1）和（2）下，均方最優(yōu)套期保值問題1）的唯一解由下面的交易策略?=來給出

其中Zt由（8）來確定.

證由引理3知

注意到G0= 0，可得H0= 0.所以對任意的t∈［0，T］都有Ht= 0.特別的有HT= 0.考慮到ZT= kST，由引理2和Hilbert空間中正交投影的唯一性，可得定理4.

定理5在在模型假設(shè)（1）和（2）下，問題2）的解存在且由下式給出

其中

證令L = 1/2c，則問題1）變?yōu)?/p>

由于c是一個常值，因此問題1）轉(zhuǎn)化為問題2）.

將L = 1/2c代入（20）式，立即可得最優(yōu)策略如（22），定理得證.

定理6對于給定的終期財(cái)富水平L，如果交易策略?是問題1）的解，則?一定是均方有效的（mean-variance efficient）.

證設(shè)?是問題1）的一個解且滿足E［W（?）］= m，m是一個預(yù)先給定的常數(shù).假設(shè)還存在一個交易策略?也滿足E［W（?）］= m，則

因此?是均方有效的.

定理7設(shè)mt+λtαt= 0，?（L）表示終期目標(biāo)財(cái)富為L時問題1）的解，則問題3）的解為?（Lm），其中

因而gt滿足如下的常微分方程

其中

為記號簡單，令

解這個常微分方程可得

所以有

顯然EW［?（Lm）］T= m，因此?（Lm）滿足均值約束條件.由引理6知，?（Lm）同樣是方差最小的.注意到?（Lm）是唯一的，因而問題3）的解也是唯一.定理得證.

結(jié)論分析與比較在文獻(xiàn)［6］中給出了完全信息下的平方套期保值問題，但是從其文中公式（12）可以看到，盡管理論上該策略是存在和可以求出的，但是公式中涉及到的量（F¨ollmer-Schwweizer分解中的一些量），在市場實(shí)際中應(yīng)用存在相當(dāng)大的困難.與之比較而言，定理4-7分別給出了跳擴(kuò)散模型下的平方最優(yōu)套期保值策略，一個顯著的特點(diǎn)就是策略中所含變量都可以在實(shí)際金融活動中觀測到.具體的說就是t時刻策略由t-時刻的一些市場觀測量來確定.從金融實(shí)際來說就是t時刻策略由此前一瞬間的市場觀測量唯一確定了，在投資之前投資者可以根據(jù)已有市場數(shù)據(jù)直接決定自己的下一步投資策略，因此最優(yōu)策略在實(shí)際中易于被操作.

§4　 Monte Carlo模擬結(jié)果及分析

為檢驗(yàn)對沖策略的有效性，來進(jìn)行對采用對沖策略和不用對沖策略兩種情況進(jìn)行Monte Carlo模擬.下面在參數(shù)ut= 0.1，σt= 0.01，βt= 0.02，mt= 0.22，vt= 0.015，αt= 0.02，S0= 1，B0= 1.5的條件下是利用matlab7.01得到的結(jié)果:

表1　模擬次數(shù)：100

表2　模擬次數(shù)：1000

表3　模擬次數(shù)：10000

從表上可以看出，無論模擬次數(shù)多少，采用對沖策略后終期收益W（?）與預(yù)期目標(biāo)L的絕對偏差都要小于未采用對沖策略，收益的波動幅度也相對要小，這說明對沖策略是有效的，與預(yù)期目標(biāo)的吻合程度要好；模擬次數(shù)的增加，收益的波動略有減少，這與實(shí)際相符.隨著步長的減少，終期收益有上升的趨勢，終期收益W（?）與預(yù)期目標(biāo)L的絕對偏差有減少的趨勢，這說明根據(jù)風(fēng)險資產(chǎn)價格的不斷變化及時調(diào)整對沖策略能得到更好的對沖效果.

§5　結(jié)束語

本文對不可交易資產(chǎn)的風(fēng)險對沖問題進(jìn)行了研究.在跳擴(kuò)散模型的假設(shè)下，利用投影定理及隨機(jī)分析的方法，給出了三種不同標(biāo)準(zhǔn)下的對沖策略.一個優(yōu)良特點(diǎn)就是策略完全由市場中的可觀測量來表示，這個實(shí)際應(yīng)用帶來了相當(dāng)大的便利.投資者可以通過市場歷史數(shù)據(jù)及時調(diào)整自己的頭寸，更好的管理自己的收益風(fēng)險。最后利用隨機(jī)模擬的方法，對最優(yōu)策略的有效性進(jìn)行了檢驗(yàn).盡管在跳擴(kuò)散模型下得到了較為完美的結(jié)果，值得指出的一個問題是:如果資產(chǎn)價格不是跳擴(kuò)散模型，此時的最優(yōu)策略的后向遞推形式將很難得到，此時采取何種手段來得到易于市場操縱的對沖策略還有待于更進(jìn)一步研究.

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［12］Protter P. Stochastic Integration and Differential Equations［M］. New York: Springer Verlag，2004.

MR Subject Classification: 91B24；60H05

Quadratic hedging problems for non-tradable assets

YANG Jian-qi1，ZHAO Shou-juan2
（1. Institute of Computational Mathematics，Hunan University of Science and Engineering，Yongzhou 425100，China；2. Department of Mathematic of Xingxiang University，Xingxiang 453003，China）

The paper introduces and solves the hedging problems of non-tradable assets. Based on financial market practice，the non-tradable assets hedging model is constructed. Three meanvariance and quadratic hedging objectives are introduced on jump-diffusion model. The optimal hedging strategies，which are formulated by observable variables in backward form are given by an auxiliary process and Hilbert projection theorem. Finally the effectivity of the hedging strategies is tested via Monte Carlo.

non-tradable assets；jump-diffusion process；quadratic hedging；utility optimal

O211.6；F830.9

A

1000-4424（2016）01-0030-09

2015-04-25

2016-01-30

國家自然科學(xué)基金（71271136）；2014年湖南省教育廳教改項(xiàng)目（481）；湖南科技學(xué)院精品視頻共享課程（概率論）；重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（計(jì)算數(shù)學(xué)）