薛　嶺，王　堯，任艷麗

(1.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 211171)

強α-弱對稱環(huán)

薛嶺1，王堯1，任艷麗2

(1.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 南京 210044；2.南京曉莊學(xué)院數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 211171)

[摘要]引進了強α-弱對稱環(huán)的概念并研究其基本性質(zhì)，討論了強α-弱對稱環(huán)與弱對稱環(huán)、強α-弱半交換環(huán)等相關(guān)環(huán)的關(guān)系，給出強α-弱對稱環(huán)的一些擴張性質(zhì)，得到了判定強α-弱對稱環(huán)的幾個充要條件.

[關(guān)鍵詞]強α-弱對稱環(huán);強α-弱半交換環(huán);弱α-相容環(huán);NI環(huán);斜多項式環(huán)

1預(yù)備知識

本文討論的環(huán)R都是有單位元的結(jié)合環(huán)，α是環(huán)R的一個非零自同態(tài).稱一個環(huán)R為α-rigid環(huán)，是指對任意的r∈R，由rα(r)=0可以推出r=0；稱R為約化環(huán)，是指R沒有非零冪零元；稱R為對稱環(huán)，是指對任意的A，b，c∈R，由abc=0可以推出acb=0；稱R為可逆環(huán)，是指對任意的A，b∈R，由ab=0可以推出ba=0；稱R為半交換環(huán)，是指對任意的A，b∈R，由ab=0可以推出aRb=0.

α-rigid環(huán)是約化環(huán)，約化環(huán)是對稱環(huán)，對稱環(huán)是可逆環(huán)，可逆環(huán)是半交換環(huán).如果將α-rigid環(huán)、對稱環(huán)、可逆環(huán)和半交換環(huán)的概念按某些方向進行推廣，可以得到一系列新的環(huán).例如，稱一個環(huán)R是弱α-rigid環(huán)，如果對任意的A∈R，由aα(A)∈nil(R)可以推出A∈nil(R)；稱一個環(huán)R是弱對稱環(huán)，如果對任意的A，b，c∈R，由abc∈nil(R)可以推出acb∈nil(R)；[1]稱一個環(huán)R是詣零半交換環(huán)，如果對任意的A，b∈R，由ab∈nil(R)可以推出aRb?nil(R)；稱一個環(huán)R是α-相容的，如果對任意的A，b∈R，ab=0，當且僅當aα(b)=0；稱一個環(huán)R是弱α-相容環(huán)，如果對任意的A，b∈R，ab∈nil(R)，當且僅當aα(b)∈nil(R).此外，文獻[2-3]分別研究了具有弱對稱自同態(tài)的環(huán)和具有自反自同態(tài)的環(huán).

近年來，許多文章討論具有其他自同態(tài)性質(zhì)的環(huán).Kwak[4]稱一個環(huán)R的自同態(tài)α是右(左)對稱的，如果對任意的A，b，c∈R，由abc=0可以推出acα(b)=0(α(b)ac=0);稱一個環(huán)R是右(左)α-對稱環(huán)，如果α是環(huán)R的右(左)對稱同態(tài)；如果環(huán)R既是右α-對稱環(huán)，也是左α-對稱環(huán)，則稱環(huán)R是α-對稱環(huán).Baser，Hong和Kwak[5]稱環(huán)R的一個自同態(tài)α是右(左)可逆的，如果對任意的A，b∈R，由ab=0可以推出bα(A)=0(α(b)A=0);稱環(huán)R是右(左)α-可逆的，如果α是環(huán)R的右(左)可逆同態(tài)；如果環(huán)R既是右α-可逆環(huán)，也是左α-可逆環(huán)，則稱環(huán)R是α-可逆環(huán).Baser和Kwak[6]稱一個環(huán)R是右(左)α-半交換環(huán)，如果對任何A，b∈R，由ab=0可以推出aRα(b)=0(α(A)Rb=0);如果環(huán)R既是右α-半交換環(huán)，也是左α-半交換環(huán)，則稱環(huán)R是α-半交換環(huán).α-rigid環(huán)是α-對稱環(huán)，α-對稱環(huán)是α-可逆環(huán)，也易知α-對稱環(huán)是α-半交換環(huán).[6]

同時，還有學(xué)者討論具有相反性質(zhì)的自同態(tài)的環(huán).Baser和Kwak[7]稱一個環(huán)R是強右(左)α-可逆環(huán)，如果對任意A，b∈R，由aα(b)=0(α(A)b=0)可以推出ba=0;如果一個環(huán)R既是強右α-可逆環(huán)，也是強左α-可逆環(huán)，則稱環(huán)R是強α-可逆環(huán).強α-可逆環(huán)是α-可逆環(huán)，但α-可逆環(huán)未必是強α-可逆環(huán)，可逆環(huán)也未必是強α-可逆環(huán).[7]文獻[8]稱環(huán)R是強右(左)α-對稱環(huán)，如果對任意A，b，c∈R，由abα(c)=0(α(A)bc=0)可以推出acb=0(bac=0);如果一個環(huán)R既是強右α-對稱環(huán)，也是強左α-對稱環(huán)，則稱環(huán)R是強α-對稱環(huán).一個強右(左)α-對稱環(huán)一定是對稱環(huán)，而且強右α-對稱環(huán)和強左α-對稱環(huán)兩個概念是等價的.[8]

本文提出強α-弱對稱環(huán)的概念，研究它與相關(guān)環(huán)的關(guān)系，給出其若干性質(zhì).

2強α-弱對稱環(huán)和強α-弱半交換環(huán)

定義2.1設(shè)α是環(huán)R的一個自同態(tài).稱α是強右(左)弱對稱的，如果對任意A，b，c∈R，由abα(c)∈nil(R)(α(A)bc∈nil(R))可以推出acb∈nil(R)(bac∈nil(R));稱環(huán)R是強右(左)α-弱對稱環(huán)，如果α是環(huán)R的強右(左)弱對稱的自同態(tài);如果一個環(huán)R既是強右α-弱對稱環(huán)，也是強左α-弱對稱環(huán)，則稱環(huán)R是強α-弱對稱環(huán).

命題2.1設(shè)α是環(huán)R的一個自同態(tài)，則R是強右α-弱對稱環(huán)當且僅當R是強左α-弱對稱環(huán).

證明設(shè)R是強右α-弱對稱環(huán).如果對A，b，c∈R，有α(A)bc∈nil(R)，則bcα(A)∈nil(R)，從而bac∈nil(R)，故R也是強左α-弱對稱環(huán).同理可知，反之亦然.

命題2.1說明強左α-弱對稱環(huán)與強右α-弱對稱環(huán)是同一個概念，于是我們對這兩個概念不加區(qū)分，統(tǒng)稱為強α-弱對稱環(huán).

易知強α-對稱環(huán)是強α-弱對稱環(huán).因為弱對稱環(huán)未必是對稱環(huán)，所以強α-弱對稱環(huán)未必是強α-對稱環(huán).

當α是恒等自同態(tài)時，強α-弱對稱環(huán)和弱對稱環(huán)是等價概念，但對于一般的自同態(tài)，弱對稱環(huán)未必是強α-弱對稱環(huán).

定理2.1環(huán)R是一個強α-弱對稱環(huán)，當且僅當R是弱對稱環(huán)且是弱α-相容環(huán).

證明必要性.先證環(huán)R是弱對稱環(huán).設(shè)abc∈nil(R)，A，b，c∈R，則有cab∈nil(R)，α(c)α(A)α(b)=α(cab)∈nil(R).由環(huán)R是強α-弱對稱環(huán)，有α(c)bα(A)∈nil(R)，1·bα(ac)∈nil(R)，從而有acb∈nil(R).再證R是弱α-相容環(huán).任取A，b∈R，設(shè)ab∈nil(R)，于是ba∈nil(R)，1·α(b)·α(A)=α(ba)∈nil(R).因為R是強α-弱對稱環(huán)，所以aα(b)∈nil(R).反過來，任取A，b∈R，設(shè)aα(b)∈nil(R).由環(huán)R是有1的強α-弱對稱環(huán)，得ba∈nil(R)，所以ab∈nil(R).這就證明了環(huán)R是弱α-相容環(huán)且R是弱對稱環(huán).

充分性.設(shè)abα(c)∈nil(R)，A，b，c∈R.由R是一個弱α-相容環(huán)有abc∈nil(R).再由R是一個弱對稱環(huán)有acb∈nil(R).這就證明R是強α-弱對稱環(huán).

定義2.2設(shè)α是環(huán)R的一個自同態(tài).稱α是強右(左)弱半交換的，如果對任意的A，b∈R，由aα(b)∈nil(R)(α(A)b∈nil(R))可以推出aRb?nil(R)；稱環(huán)R是強右(左)α-弱半交換環(huán)，如果α是環(huán)R的強右(左)弱半交換的自同態(tài)；如果一個環(huán)R既是強右α-弱半交換環(huán)，也是強左α-弱半交換環(huán)，則稱環(huán)R是強α-弱半交換環(huán).

命題2.2環(huán)R是強右α-弱半交換環(huán)，當且僅當R是強左α-弱半交換環(huán).

證明如果R是強右α-弱半交換環(huán)，設(shè)aα(b)∈nil(R)，A，b∈R.則有bα(A)∈nil(R)，從而bRa?nil(R)，ba∈nil(R)，α(b)α(A)=α(ba)∈nil(R).因此α(b)Ra?nil(R)，α(b)A∈nil(R)，aα(b)∈nil(R).故aRb?nil(R).反之亦然.

由上述命題，我們對強右α-弱半交換環(huán)和強左α-弱半交換環(huán)不加區(qū)分，統(tǒng)稱為強α-弱半交換環(huán).

命題2.3環(huán)R是強α-弱半交換環(huán)，當且僅當R是詣零半交換環(huán)，且R是弱α-相容環(huán).

證明必要性.先證R是弱α-相容環(huán).設(shè)ab∈nil(R)，A，b∈R，則α(A)α(b)∈nil(R)，于是aRα(b)?nil(R)，aα(b)∈nil(R).反過來，設(shè)aα(b)∈nil(R)，A，b∈R，從而aRb?nil(R)，ab∈nil(R).再證R是詣零半交換環(huán).設(shè)ab∈nil(R)，A，b∈R，則aα(b)∈nil(R)，aRb?nil(R).

充分性.設(shè)aα(b)∈nil(R)，A，b∈R.則ab∈nil(R)，aRb?nil(R).

下面，我們探究強α-弱對稱環(huán)和強α-弱半交換環(huán)的關(guān)系.由定理2.1和命題2.3，我們首先考慮弱對稱環(huán)和詣零半交換環(huán)的關(guān)系.

稱一個環(huán)R是素環(huán)，如果對任意的A，b∈R，由aRb=0可以推出A=0或b=0.Marks[9]稱一個環(huán)R是NI環(huán)，如果nil(R)構(gòu)成環(huán)R的一個理想.

引理2.1[1]設(shè)R是一個詣零半交換環(huán).對任意的A1，A2，…，An∈R，如果A1A2…An∈nil(R)，則有A1r1A2r2…An-1rn-1An∈nil(R)，其中r1，r2，…，rn-1∈R，且n≥2.

命題2.4(1)如果一個環(huán)R是詣零半交換環(huán)，則R是弱對稱環(huán)；如果R是NI環(huán)且是弱對稱環(huán)，則R是詣零半交換環(huán).

(2)如果一個環(huán)R是弱α-相容環(huán)，則R是弱α-rigid環(huán)；如果R是NI環(huán)且是弱α-rigid環(huán)，則R是弱α-相容環(huán).

證明(1)如果R是詣零半交換環(huán)，設(shè)abc∈nil(R)，A，b，c∈R.因為R是有1的詣零半交換環(huán)，即abc·1∈nil(R)，從而acbacb·1∈nil(R)，acb∈nil(R).反過來，如果R是NI環(huán)且是弱對稱環(huán)，設(shè)ab∈nil(R)，A，b∈R.因為R是NI環(huán)，所以對任意的r∈R有abr∈nil(R).再利用弱對稱性推出arb∈nil(R)，即aRb?nil(R).

(2)如果一個環(huán)R是弱α-相容環(huán)，設(shè)aα(A)∈nil(R)，A∈R，則A2∈nil(R)，A∈nil(R).如果R是NI環(huán)且是弱α-rigid環(huán)，設(shè)ab∈nil(R)，A，b∈R，則α(ab)∈nil(R)，α(α(b)A)α(b)A=α2(b)α(A)α(b)A∈nil(R).而環(huán)R是弱α-rigid環(huán)，于是α(b)A∈nil(R).

推論2.1(1)如果環(huán)R是強α-弱半交換環(huán)，則R是強α-弱對稱環(huán).

(2)如果R是強α-弱對稱環(huán)且是NI環(huán)，則R是強α-弱半交換環(huán).

證明由定理2.1，命題2.3和命題2.4可得.

命題2.5(1)可逆環(huán)是詣零半交換環(huán).

(2)如果R是素環(huán)且是詣零半交換環(huán)，則R是可逆環(huán).

證明(1)如果R是可逆環(huán)，則R是半交換環(huán)，從而是詣零半交換環(huán).

(2)設(shè)ab=0∈nil(R)，A，b∈R.則aRb?nil(R)，即aRbaRb…aRb=0.同時，R也是素環(huán)，于是A=0或baRbaRb…aRb=0.進而b=0或baRbaRb…aRba=0.反復(fù)利用素環(huán)的性質(zhì)，得出A=0或b=0或ba=0.因此R是可逆環(huán).

3強α-弱對稱環(huán)的擴張

容易驗證，強α-弱對稱環(huán)的α-子環(huán)還是強α-弱對稱環(huán).

推論3.1下列命題等價:

(1)環(huán)R是強α-弱對稱環(huán);

證明由R是Δ-1R的α-子環(huán)知充分性成立.

命題3.3設(shè)α是環(huán)R的一個自同態(tài).R[x]是強α-弱對稱環(huán)，當且僅當R[x;x-1]是一個強α-弱對稱環(huán).

證明充分性顯然.

必要性.令Δ={1，x，x2，…}，易證Δ是由R[x]的中心正則元組成的乘法封閉子集，且R[x;x-1]=Δ-1R[x].由命題3.2知R[x;x-1]是一個強α-弱對稱環(huán).

引理3.1[10]如果環(huán)R是Armendariz環(huán)，則nil(R)是R的子環(huán).

引理3.2[11]環(huán)R是Armendariz環(huán)，當且僅當R[x]是Armendariz環(huán).

引理3.3[10]Armendariz環(huán)是Nil-Armendariz環(huán).

引理3.4[10]如果環(huán)R是Nil-Armendariz環(huán)，則R[x]是Nil-Armendariz環(huán)，當且僅當nil(R)[x]=nil(R[x]).

引理3.5[11]如果環(huán)R是Armendariz環(huán)，則對任意的f1，…，fn∈R[x]，由f1…fn=0可以推出A1…An=0，其中Ai是fi系數(shù).

命題3.4設(shè)α是環(huán)R的一個自同態(tài)，如果環(huán)R是Armendariz環(huán)，則下列結(jié)論等價:

(1)R是一個強α-弱對稱環(huán);

證明由命題3.3知(2)?(3).

(2)?(1)顯然.

(1)?(2).因為環(huán)R是Armendariz環(huán)，由引理3.1知nil(R)是R的子環(huán)，由引理3.2知R[x]是Armendariz環(huán).再根據(jù)引理3.3和引理3.4有nil(R)[x]=nil(R[x]).

證明充分性顯然.

[參考文獻]

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[12]WANG YAO，WANG WEILIANG，REN YANLI.Rings with symmetric endomorphisms and their extensions[J].J Math Res Appl，2015，35(1)：56-70.

(責任編輯：李亞軍)

On strongly α-weak symmetric rings

XUE Ling1， WANG Yao1， REN Yan-li2

(1.School of Mathematics and Statistics，Nanjing University of Information Science and Technology，Nanjing 210044，China;2.School of Mathematics and Information Technology，Nanjing Xiaozhuang University，Nanjing 211171，China)

Abstract:The concept of strongly α-weak symmetric rings is introduced and some of its basic properties are investigated.The relationships between strongly α-weak symmetric rings and related rings such as weakly symmetric，strongly α-weak semicommutative rings are discussed，and some extensions of strongly α-symmetric rings are studied.Some necessary and sufficient conditions are given to judge α-weak symmetric ring.

Keywords:strongly α-weak symmetric ring；strongly α-weak semicommutative ring；weakly α-compatible ring；NI ring；skew polynomial ring

[文章編號]1000-1832(2016)02-0014-05

[收稿日期]2014-12-29

[基金項目]國家自然科學(xué)基金資助項目(41275117)；江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20141476).

[作者簡介]薛嶺(1990—)，男，碩士，主要從事結(jié)合環(huán)和結(jié)合代數(shù)研究；通訊作者：任艷麗(1965—)，女，碩士，教授，主要從事環(huán)論研究.

[中圖分類號]O 153.3[學(xué)科代碼]110·2104

[文獻標志碼]A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.02.004