宋新昌

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七一〇研究所國(guó)防科技工業(yè)弱磁一級(jí)計(jì)量站　宜昌　443003)

Barker線圈勻強(qiáng)磁場(chǎng)分析*

宋新昌

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七一〇研究所國(guó)防科技工業(yè)弱磁一級(jí)計(jì)量站宜昌443003)

摘要以畢奧-薩伐爾定律為基礎(chǔ)，運(yùn)用橢圓積分，推導(dǎo)出單環(huán)線圈在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式，進(jìn)而分析了亥姆霍茲線圈和四環(huán)Barker線圈在中心處磁場(chǎng)各分量的分布模型，繪出了空間分布圖，分析結(jié)果表明：四環(huán)Barker線圈產(chǎn)生磁場(chǎng)的非均勻性小于0.0001的區(qū)域半徑是亥姆霍茲線圈的21倍。

關(guān)鍵詞橢圓積分; 磁場(chǎng)線圈; 磁場(chǎng)均勻性

Class NumberO441.3

1引言

為開(kāi)展脈沖磁場(chǎng)治療腫瘤技術(shù)的研究，首先要開(kāi)發(fā)一臺(tái)穩(wěn)定可靠、磁場(chǎng)參數(shù)大、范圍連續(xù)可調(diào)的脈沖磁場(chǎng)發(fā)生器。脈沖磁場(chǎng)發(fā)生器通常包括兩個(gè)部分：1)脈沖電流的形成電路；2)磁場(chǎng)線圈。脈沖磁場(chǎng)線圈需要滿足兩個(gè)基本條件：1)線圈具有較小的電感；2)線圈內(nèi)部具有較寬的均勻區(qū)域[1～2]。因?yàn)榫€圈的電感過(guò)大，不僅會(huì)增大脈沖磁場(chǎng)的脈沖前沿，還可能會(huì)引起輸出波形的振蕩；脈沖的均勻區(qū)域越大，對(duì)于醫(yī)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究越有利。

在治療腫瘤用的脈沖磁場(chǎng)發(fā)生器的研究中，常用的是單線圈和亥姆霍茲線圈，它們因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、加工方便得以廣泛應(yīng)用。但是單線圈和亥姆霍茲線圈的均勻度較低，要實(shí)現(xiàn)一定的均勻區(qū)，只能通過(guò)增大線圈的幾何尺寸來(lái)滿足。這樣不僅增加線圈的電感，進(jìn)而增大脈沖磁場(chǎng)的脈沖前沿，而且給加工制作帶來(lái)不便，造成線圈搬運(yùn)困難，特別是對(duì)線圈空間尺寸有嚴(yán)格限制時(shí)，常用的是單線圈和亥姆霍茲線圈無(wú)法滿足設(shè)計(jì)要求[3～5]。針對(duì)以上問(wèn)題，可以采用組合線圈的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2單線圈在空間任一點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)

為了便于描述，建立如圖1所示的座標(biāo)系。

圖1　線圈座標(biāo)系

由圖1可知：

(1)

由畢奧-薩伐爾定律[6]得：

(2)

所以：

(3)

(4)

(5)

式(3)～式(5)為橢圓積分，用Maple數(shù)值分析軟件[7]對(duì)上述三式求解，當(dāng)y≠0、z≠0時(shí)，Bx≠0、By≠0、Bz≠0；當(dāng)y=0、z≠0時(shí)，Bx≠0、By=0、Bz≠0；當(dāng)y≠0、z=0時(shí)，Bx≠0、By≠0、Bz=0；這表明圓環(huán)線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度不存在垂直于半徑方向的螺旋分量。當(dāng)y=z時(shí)，By=Bz；當(dāng)y=C1、z=C2(C1≠C2)時(shí)，By=B1、Bz=B2；當(dāng)y=C2、z=C1(C1≠C2)時(shí)，By=B2、Bz=B1；這表明圓環(huán)線圈產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度存在徑向的對(duì)稱性[8]。

3亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)分析

眾所周知，當(dāng)兩個(gè)線圈的半徑相等、匝數(shù)相等、間距等于線圈的半徑、所通的電流大小相等方向相同時(shí)，中心點(diǎn)附近沿軸向分布的磁場(chǎng)較為均勻，這樣放置的兩個(gè)線圈稱為亥姆霍茲線圈，由式(3～5)通過(guò)坐標(biāo)變換可得亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的各分量磁場(chǎng)如式(6)～(8)所示(式中X=0.25R)。

(6)

(7)

(8)

線圈中任一點(diǎn)處的磁場(chǎng)Bx(x,y,z)與中心點(diǎn)處的磁場(chǎng)Bx(0,0,0)的相對(duì)誤差可以表示為線圈磁場(chǎng)的非均勻性IH，IH越小，磁場(chǎng)的均勻度越高[9]。

(9)

在此用Maple數(shù)值分析軟件分析了半徑為1m，匝數(shù)為1匝，電流為1A，線圈間距為0.5m時(shí)亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)，由于圓形線圈產(chǎn)生磁場(chǎng)的對(duì)稱性，取z=0平面的磁場(chǎng)強(qiáng)度，表1給出了z=0平面軸向磁場(chǎng)Bx的非均勻性數(shù)據(jù)，圖2、圖3分別給出了z=0平面軸向磁場(chǎng)Bx的非均勻性圖像及非均勻性小于0.0001和0.001的區(qū)域。

表1　z=0平面Bx均勻性數(shù)據(jù)

圖2　z=0平面Bx非均勻性

圖3　z=0平面Bx非均勻性區(qū)域

由圖2可以清楚的看到，亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度Bx在z=0的平面內(nèi)具有馬鞍形結(jié)構(gòu)，當(dāng)x保持不變時(shí)，Bx隨著y值的增大而增大；當(dāng)y保持不變時(shí)，Bx隨著x值的增大而減小，磁場(chǎng)具有對(duì)稱性。由圖3可以看到在z=0的平面內(nèi)，軸向磁場(chǎng)分量Bx在x/R=0.01、y/R=0.015的區(qū)域內(nèi)非均勻性小于0.0001；在x/R=0.03、y/R=0.045的區(qū)域內(nèi)非均勻性小于0.001，其中非均勻性邊界區(qū)域不規(guī)則可能是由于橢圓積分取近似的結(jié)果造成的。

由上述分析可知，亥姆霍茲線圈在中心點(diǎn)附近線圈半徑1.5%的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生軸向磁場(chǎng)的非均勻性小于0.0001，在中心點(diǎn)附近線圈半徑3%的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生軸向磁場(chǎng)的非均勻性小于0.001，所以亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)均勻性相對(duì)較低。

4四環(huán)Barker線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)分析

為了產(chǎn)生高度均勻的磁場(chǎng)，可以采用共軸的多組線圈系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，各組線圈的位置和尺寸及匝數(shù)需要滿足相應(yīng)的參數(shù)，否則不能產(chǎn)生高度均勻的磁場(chǎng)，在此分析了四環(huán)Barker線圈系統(tǒng)[10]，這類系統(tǒng)的特點(diǎn)是各段線圈兩兩對(duì)稱，處在公共圓柱表面上，亦即系統(tǒng)滿足條件R1=R2=R(如圖4)，所通電流的方向相同，系統(tǒng)的特點(diǎn)是簡(jiǎn)單及可能以很高的精度加工制作。則四環(huán)Barker線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)如式(10)～式(11)所示：

(10)

(11)

圖4　四環(huán)barker線圈示意圖

為了確定各段線圈的匝數(shù)、位置、半徑等參數(shù)，借助Maple數(shù)值分析軟件對(duì)Bx的表達(dá)式求x的一～八階導(dǎo)數(shù)，然后把x=0、y=0帶入各階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，其一、三、五、七階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式由于Barker線圈系統(tǒng)的對(duì)稱性等于0，二、四、六、八階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式不等于0，在此令二、四、六、八階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式等于0之后聯(lián)立方程組，可以解出：X1/R=0.2432，X2/R=0.9407，w2/w1=2.2606。

在線圈加工過(guò)程中，Barker線圈所有各段圓環(huán)相串聯(lián)，在接到公共電源上，這時(shí)要保證w2/w1=2.2606有一定的困難，這些缺點(diǎn)可以通過(guò)預(yù)先對(duì)結(jié)構(gòu)做一些處理來(lái)消除。首先給出易于實(shí)現(xiàn)的匝數(shù)比，這個(gè)匝數(shù)比要盡可能的接近理論計(jì)算值，然后從均勻性條件出發(fā)，求出幾何參數(shù)相應(yīng)的微小增量。在此我們?nèi)2/w1=7/3≈2.3333，則X1/R=0.2327，X2/R=0.9171，二階導(dǎo)數(shù)k2=0、四階導(dǎo)數(shù)k4=0、六階導(dǎo)數(shù)k6=-0.074、八階導(dǎo)數(shù)k8=-0.448，此時(shí)表征圓柱的條件并未受到破壞，但由于六階導(dǎo)數(shù)不為零，從而降低了對(duì)均勻性的要求，這樣的系統(tǒng)已經(jīng)不是最佳系統(tǒng)，但由于六階導(dǎo)數(shù)與八階導(dǎo)數(shù)相比很小，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)，六階導(dǎo)數(shù)是否為零并不重要。

表2　z=0平面Bx均勻性數(shù)據(jù)

用Maple數(shù)值分析軟件分析了R=1m，X1=0.2327m，w1=7匝；X2=0.9171m，w2=3匝，電流為1A的四環(huán)Barker線圈系統(tǒng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)，由于圓形線圈產(chǎn)生磁場(chǎng)的對(duì)稱性，在此取z=0平面的磁場(chǎng)強(qiáng)度，表2給出了z=0平面軸向磁場(chǎng)Bx的非均勻性數(shù)據(jù)，圖5、圖6分別給出了z=0平面軸向磁場(chǎng)Bx的非均勻性圖像及非均勻性小于0.0001和0.001的區(qū)域。

圖5　z=0平面Bx非均勻性

圖6　z=0平面Bx非均勻性區(qū)域

由圖5可以清楚地看到，由于兩側(cè)圓環(huán)的磁場(chǎng)調(diào)節(jié)作用，四環(huán)Barker線圈產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)Bx在z=0的平面內(nèi)已經(jīng)不具有馬鞍形結(jié)構(gòu)，但磁場(chǎng)具有對(duì)稱性。由圖6可以看到在z=0的平面內(nèi)，軸向磁場(chǎng)分量Bx在中心點(diǎn)r/R=0.32的圓形區(qū)域內(nèi)非均勻性小于0.0001；在中心點(diǎn)r/R=0.45的圓形區(qū)域內(nèi)非均勻性小于0.001。

由上述分析可知，四環(huán)Barker線圈在中心點(diǎn)附近線圈半徑32%的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)非均勻性小于0.0001，在中心點(diǎn)附近線圈半徑45%的區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生軸的向磁場(chǎng)非均勻性小于0.001，所以四環(huán)Barker線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)均勻性相對(duì)較高。

5結(jié)論

本文以畢奧-薩伐爾定律為基礎(chǔ)，運(yùn)用橢圓積分，推導(dǎo)出單環(huán)線圈在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)公式，通過(guò)坐標(biāo)變換分析了亥姆霍茲線圈和四環(huán)Barker線圈在中心處磁場(chǎng)各分量分布模型及圖像，分析結(jié)果表明：四環(huán)Barker線圈產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)非均勻性小于0.0001的區(qū)域半徑是亥姆霍茲線圈產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)非均勻性小于0.0001的區(qū)域半徑的21倍，非均勻性小于0.001的區(qū)域半徑是亥姆霍茲線圈的15倍。在一些實(shí)際應(yīng)用中，若要產(chǎn)生高度均勻的勻強(qiáng)磁場(chǎng)或者線圈的體積不能做的太大，可以采用四環(huán)Barker線圈系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式。

參 考 文 獻(xiàn)

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Analysis of Barker Magnetic Field Coils with High Homogeneity

SONG Xinchang

(1st Class Weak Magnetic Metering Station of NDM, No. 710 R & D Institute, CSIC, Yichang443003)

AbstractBased on the biot-savart law, using elliptic integral, the magnetic field formula of single-ring coil in any space is deduced, each component of the magnetic field model are analyzed both in the center of the Helmholtz coils and four ring Barker coils, distribution diagrams is given. the analysis result show that the inhomogeneity area radius which is less than 0.0001, the four ring Barker coils is 21 times bigger than the Helmholtz coils.

Key Wordselliptic integral, magnetic coils, magnetic field uniformity

*收稿日期：2015年12月10日,修回日期：2016年1月17日

作者簡(jiǎn)介：宋新昌，男，碩士，研究方向：磁性材料及磁路設(shè)計(jì)。

中圖分類號(hào)O441.3

DOI：10.3969/j.issn.1672-9730.2016.06.038