□陳德前

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樣本估計總體思想的應用

□陳德前

用樣本特征去估計總體的特征是統(tǒng)計方法最基本的特點，這是因為有些被考察對象的總體數(shù)目太大，有些又具有破壞性，所以不能一一進行考察，而必須采用抽樣的方法.樣本雖然不能完全代表總體，但當選擇的樣本數(shù)據(jù)與樣本容量得當時，用樣本去估計總體就具有一定的可靠性.在實際生活中，我們常常利用樣本估計總體的思想來解決有關問題，進行決策.

一、用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)

例1在“愛滿揚州”慈善一日捐活動中，學校團總支為了了解本校學生的捐款情況，隨機抽取了50名學生的捐款數(shù)進行統(tǒng)計，并繪制成如圖1所示的統(tǒng)計圖.

（1）求這50名同學捐款的平均數(shù)；

（2）該校共有600名學生參與捐款，請估計該校學生的捐款總數(shù).

圖1

解析：（1）這50名同學捐款的平均數(shù)為（5×8+ 10×14+ 15× 20+20×6+25×2）÷50=13（元）；

（2）估計該校學生的捐款總數(shù)為13×600=7800（元）.

點評：解決問題（2）的關鍵是先利用樣本中捐款的平均數(shù)來估計總體中捐款的平均數(shù)，再用總體平均數(shù)乘以該?？?cè)藬?shù)即可得學生的捐款總數(shù).

二、用樣本的百分比估計總體的百分比

例2為了進一步了解義務教育階段學生體質(zhì)健康狀況，教育部對我市某中學九年級的部分學生進行了體質(zhì)抽測，體質(zhì)抽測的結(jié)果分別為四個等級：優(yōu)秀、良好、合格、不合格.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖2所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息回答以下問題：

圖2

（1）在扇形統(tǒng)計圖中，“合格”的百分比為________；

（2）本次體質(zhì)抽測中，抽測結(jié)果為“不合格”等級的學生有_____人；

（3）若該校九年級有400名學生，估計該校九年級體質(zhì)為“不合格”等級的學生約有_______人.

解析：（1）合格的百分比為1-32%-16%-12%=40%；

（2）總?cè)藬?shù)=8÷16%=50人，不合格的人數(shù)=50×32%=16人；

（3）九年級體質(zhì)不合格人數(shù)= 400×32%=128（人）.

點評：本題解題的關鍵是從統(tǒng)計圖中得出樣本中體質(zhì)抽測結(jié)果“不合格”的百分比，進而估計出學生400人中體質(zhì)抽測結(jié)果“不合格”的百分比，再由此計算出體質(zhì)“不合格”等級學生的具體人數(shù).

三、用樣本的頻數(shù)（頻率）估計總體的頻數(shù)（頻率）

例3某數(shù)學興趣小組在全校范圍內(nèi)隨機抽取了50名同學進行“舌尖上的長沙——我最喜愛的長沙小吃”調(diào)查活動，將調(diào)查問卷整理后繪制成如圖3所示的不完整條形統(tǒng)計圖.

圖3

請根據(jù)所給信息解答以下問題：

（1）請補全條形統(tǒng)計圖；

（2）若全校有2000名同學，請估計全校同學中最喜愛“臭豆腐”的同學有多少人？

解析：（1）根據(jù)題意得：喜歡“唆螺”的人數(shù)為：50-（14+21+5）= 10（人），補全統(tǒng)計圖如圖4所示.

圖4

點評：由樣本中最喜愛“臭豆腐”的頻率估計出總體中最喜愛“臭豆腐”的頻率是解決第（2）題的關鍵.

四、用樣本中特殊數(shù)據(jù)估計總體中相應特殊數(shù)據(jù)

例4為提高居民的節(jié)水意識，向陽小區(qū)開展了以“建設節(jié)水型社區(qū)，保障用水安全”為主題的節(jié)水宣傳活動.小瑩同學積極參與小區(qū)的宣傳活動，并對小區(qū)300戶家庭用水情況進行了抽樣調(diào)查，她在300戶家庭中，隨機調(diào)查了50戶家庭5月份的用水量情況，結(jié)果如圖5所示.

圖5

（1）試估計該小區(qū)5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比；

（2）把圖中每組用水量的值用該組的中間值（如0～6的中間值為3）來替代，估計該小區(qū)5月份的用水量.

解析：（1）這50戶5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比為故估計該小區(qū)5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比是52%；

（2）用各組的中間值乘以戶數(shù)，得出總的用水量為3×6+9×20+ 15×12+21×7+27×5=660t，再除以抽查的戶數(shù)求出樣本中每戶的平均用水量為660÷50=13.2t，所以估計整個小區(qū)的每戶平均用水量為13.2t，最后乘以該小區(qū)總的戶數(shù)即可得出該小區(qū)5月份的用水量是13.2×300=3960t.

點評：本題兩次應用了樣本估計總體的思想：第一次是用抽查的50戶中5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比估計出該小區(qū)300戶中5月份用水量不高于12t的戶數(shù)占小區(qū)總戶數(shù)的百分比；第二次是用各組的中間值求出樣本中每戶的平均用水量來估計整個小區(qū)每戶的平均用水量.

五、用樣本中對應數(shù)據(jù)的比估計總體中對應數(shù)據(jù)的比

例5某學校為了了解學生上學的交通情況，選取九年級全體學生進行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，畫出如圖6所示的扇形統(tǒng)計圖.圖中“公交車”對應的扇形圓心角為60°，“自行車”對應的扇形圓心角為120°.已知九年級乘公交車上學的人數(shù)為50人.

（1）九年級學生中，騎自行車和乘公交車上學哪個更多？多多少人？

（2）如果全校有學生2000人，學校準備的400個自行車停車位是否足夠？

圖6

解析：（1）∵120°=60°×2，

∴騎自行車的人數(shù)是乘公交車人數(shù)的2倍，

∴騎自行車的人數(shù)為50×2= 100（人），100-50=50（人）.

答：騎自行車的人多，多50人.

∴學校準備400個自行車位不夠.

點評：要讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息.利用樣本中“自行車”對應的扇形圓心角與360°的比估計總體中“自行車”對應的扇形圓心角與360°的比是解決問題的關鍵.