耿云玲， 劉中艷， 單慶曉

(國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

復(fù)數(shù)Daubichies小波的系統(tǒng)構(gòu)造方法

耿云玲， 劉中艷， 單慶曉

(國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073)

摘要:從二帶完全重構(gòu)濾波器組的概念出發(fā)， 經(jīng)理論推導(dǎo)提出了由實(shí)數(shù)Daubichies小波獲得復(fù)數(shù)Daubichies小波的系統(tǒng)構(gòu)造方法， 并通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的正確性. 在此基礎(chǔ)上， 深入研究了最大正則階條件下， 不同零點(diǎn)分布與復(fù)值濾波器及復(fù)值小波函數(shù)相應(yīng)形式之間的關(guān)系， 給出了當(dāng)最大正則階分別取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)， 復(fù)值濾波器和復(fù)值小波函數(shù)在不同零點(diǎn)分布下的可能形式.

關(guān)鍵詞:信號(hào)檢測(cè)； 復(fù)數(shù)小波； 濾波器組； 核函數(shù)； 尺度函數(shù)

小波變換(Wavelet Transform)與Fourier變換的重要區(qū)別之一就是前者沒有固定的核函數(shù). 小波變換中核函數(shù)的這種不確定性一方面使得小波變換的結(jié)果強(qiáng)烈地依賴于所用小波函數(shù)的性質(zhì)， 另一方面也為不斷改善小波變換的結(jié)果提供了可能. 從這個(gè)意義上講， 如何針對(duì)不同的問題來選取最佳小波函數(shù)應(yīng)該始終是小波理論研究的一項(xiàng)重要課題[1-3]. 一般說來， 信號(hào)所具有的特征是通過其幅頻特性和相頻特性反映出來的， 因此對(duì)于本質(zhì)上就是考察與信號(hào)局部相似程度的小波變換而言， 只有所用小波函數(shù)與被分析信號(hào)在幅頻和相頻上的匹配程度愈高時(shí)， 小波分析的效果才會(huì)愈好. 就目前廣泛使用的各種實(shí)數(shù)小波來說， 由于其均不攜帶相位信息， 因此都難于做到這一點(diǎn). 特別是除了Haar小波外， 現(xiàn)有實(shí)數(shù)小波大都不具有對(duì)稱性， 這對(duì)保證小波變換的濾波特性具有線性相位， 在圖像處理中對(duì)于避免移相都是非常不利的. 正是實(shí)數(shù)小波的這些不足， 促進(jìn)了人們對(duì)復(fù)數(shù)小波的關(guān)注和研究[3-8].

到目前為止， 已有不少文獻(xiàn)利用各種復(fù)數(shù)小波對(duì)工程實(shí)際問題進(jìn)行了分析研究， 比如信號(hào)檢測(cè)和分析等[1-3,7,8]， 其中個(gè)別文獻(xiàn)也涉及到了復(fù)數(shù)小波的構(gòu)造， 如基于幅頻特性復(fù)值小波的構(gòu)造、 提供方向選擇性的同時(shí)還可提供近似移動(dòng)不變性的雙樹復(fù)數(shù)小波的構(gòu)造以及保證小波函數(shù)為對(duì)稱的前提下又使其具有線性相位的復(fù)數(shù)雙正交緊支小波的構(gòu)造等[3-6,9-10]. 然而， 現(xiàn)有文獻(xiàn)對(duì)如何通過理論推導(dǎo)系統(tǒng)地獲得復(fù)數(shù)離散正交小波的方法均未涉及， 從而影響了其進(jìn)一步的應(yīng)用. 因此， 很有必要對(duì)此加以研究和探討.

1二帶完全重構(gòu)濾波器組

自1992年， Vetteri M等在Mallat等建立的小波多分辨分析的基礎(chǔ)上， 發(fā)現(xiàn)了小波在本質(zhì)上就是滿足一定特殊條件的完全重構(gòu)濾波器組(Filter Banks， FB)后[10]， 在離散信號(hào)處理中的濾波器組理論和基于調(diào)和分析發(fā)展起來的小波理論之間建立起了緊密的聯(lián)系. 從而使得利用FB理論對(duì)小波變換進(jìn)行直觀解釋、 小波函數(shù)的構(gòu)造以及小波變換應(yīng)用范圍的擴(kuò)展等方面開辟了一條新的途徑， 也為以FB理論為基礎(chǔ)的各種新型小波的出現(xiàn)提供了可能和理論基礎(chǔ)[11].

圖 1　二帶濾波器組Fig.1　Two-channel filter banks

圖 1 所示為二帶濾波器組FB. 其中：H0和H1分別為分解低通和高通濾波器， 而G0和G1則分別為重構(gòu)低通和高通濾波器. 根據(jù)小波的緊支性要求， 這4個(gè)濾波器應(yīng)均為因果的有限長(zhǎng)數(shù)字濾波器； ↓2， ↑2分別代表下采樣(抽取)和上采樣(插值)， 且采樣因子為2. 當(dāng)圖 1 中濾波器的系數(shù)分別為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)， 則分別對(duì)應(yīng)實(shí)值或復(fù)值濾波器. 對(duì)比Mallat算法， 這里的H0和G0即為分解和重構(gòu)尺度濾波器， 而H1和G1則為分解和重構(gòu)小波濾波器. 在Z變換域， 圖 1 實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu)FB的條件為[12]

(1)

(2)

式中：N表示濾波器的長(zhǎng)度，c為一常數(shù)且滿足|c|=1. 式(1)稱為純延時(shí)條件， 而式(2)則稱為消除映象混疊條件. 為保證濾波器組為正交， 在復(fù)數(shù)域可設(shè)

(3)

(4)

(5)

式中： 上標(biāo)“*”表示取共軛. 此時(shí)， 濾波器組中的4個(gè)濾波器的長(zhǎng)度一致且均為偶數(shù)[10]. 由H1,G0和G1及式(1)可得

(6)

因此， 只要求得分解低通濾波器H0， 其他3個(gè)濾波器便可相應(yīng)求出. 令

(7)

則有

(8)

需要明確的是， 離散正交小波基可導(dǎo)致完全重構(gòu)FB， 而完全重構(gòu)FB并不一定對(duì)應(yīng)著一個(gè)離散正交小波基. 因此要保證由它獲得離散正交小波基， 還需要對(duì)H0(z)施加一些限制. 即構(gòu)造時(shí)， 除H0(z)為偶數(shù)長(zhǎng)的FIR濾波器外， 還要滿足[13]：

1)H0(z=1)=1.

(9)

若濾波器H0(Z)長(zhǎng)為N， 則R(Z)是一階次為(N-1-p)次的多項(xiàng)式. 且有

(10)

(11)

之后， 要通過迭代算法具體考察其收斂性， 即要求H0(z)應(yīng)點(diǎn)收斂于一連續(xù)函數(shù).P(z)的一般形式為

(12)

當(dāng)H0(Z)為復(fù)值對(duì)稱時(shí)， 對(duì)應(yīng)的小波濾波器H1(Z)亦為復(fù)值對(duì)稱的， 從而尺度函數(shù)和小波函數(shù)也均為復(fù)值對(duì)稱.

2構(gòu)造復(fù)數(shù)Daubichies小波

在實(shí)數(shù)離散正交小波中以Daubichies(db)系列小波的構(gòu)造最為系統(tǒng)， 應(yīng)用最為廣泛. 如能系統(tǒng)解決從實(shí)數(shù)Daubichies小波來構(gòu)造復(fù)數(shù)Daubichies小波的問題， 則可大大擴(kuò)展復(fù)數(shù)離散正交小波的數(shù)目， 為不同問題的小波分析提供更多可供選擇的復(fù)數(shù)離散正交小波函數(shù).

引理 1復(fù)值正交對(duì)稱尺度濾波器H0(Z)的零點(diǎn)必是互為倒數(shù)對(duì).

證明當(dāng)濾波器H0(Z)為正交對(duì)稱時(shí)， 有

(13)

即

(14)

引理 2正交對(duì)稱復(fù)值尺度濾波器H0(Z)的正則階必為奇數(shù).

證明將Z=-1帶入式(14)， 有

(15)

由于N為偶數(shù)， 因此復(fù)數(shù)對(duì)稱尺度濾波器在Z=-1處至少有一階零點(diǎn). 由式(9)可知， 當(dāng)H0(Z)為對(duì)稱時(shí)， 顯然R(Z)也為對(duì)稱的， 其階數(shù)為N-1-p， 即

(16)

設(shè)H0(Z)的正則階p為偶數(shù)， 而N-1-p為奇數(shù)， 則R(Z)在Z=-1處必有零點(diǎn). 此時(shí)可將R(Z)表為

(17)

式中：R′(Z)的階次為N-2-p. 因此，H0(Z)的正則階必為奇數(shù).

利用系數(shù)對(duì)稱式(13)和H0(Z)的p階正則兩個(gè)條件， 通過求解式(8)， 在P(Z)可進(jìn)行譜分解的情況下， 盡管能得到H0(Z)， 但當(dāng)H0(Z)的長(zhǎng)度較長(zhǎng)時(shí)，P(Z)對(duì)應(yīng)的為一高階多項(xiàng)式， 其求解必然十分不便. 因此， 取代求解方程的方法， 利用引理1和引理2， 通過對(duì)已有實(shí)數(shù)Daubichies小波進(jìn)行零點(diǎn)變換， 可方便地得到一系列復(fù)數(shù)的Daubichies小波.

(18)

而H0(Z)的長(zhǎng)度

(19)

式中：N為偶數(shù). 很顯然， 要想從實(shí)數(shù)db小波得到復(fù)數(shù)db小波， 式(18)中的M≠0. 利用引理1， 在取最大正則階的前提下(p=N/2)， 對(duì)式(18)中H0(Z)構(gòu)成復(fù)值尺度濾波器時(shí)零點(diǎn)的分布情況作如下討論：

例如， 當(dāng)p=3，N=6時(shí)， 由對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)db小波按此法求解獲得的其中一組對(duì)稱復(fù)值濾波器(即對(duì)稱復(fù)數(shù)尺度濾波器)H0(Z)的系數(shù)為：

2.712 75-1 044 389j1.864 05+3.502 14j-7.971 59+17.725 9j

-7.971 59+17.725 9j1.864 05+3.502 14j2.712 75-1.443 89j

其對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)、 小波函數(shù)的實(shí)部(實(shí)線)及虛部(虛線)如圖 2 所示.

圖 2　復(fù)數(shù)正交對(duì)稱緊支db3小波Fig.2　Complex compactly-supported orthogonal and symmetrical db3 wavelet

2) 當(dāng)p為奇數(shù)， 且K≠0. 由引理2知， 此時(shí)K必為偶數(shù). 如果除Z=-1的實(shí)數(shù)零點(diǎn)外，

例如，p=4，N=8時(shí)， 求解獲得的其中一組非對(duì)稱正交復(fù)值濾波器H0(Z)的系數(shù)為

-0.065 449 483 946 584 08+0.056 034 386 820 235 545j

0.022 327 737 228 166 61+0.205 709 186 887 859 77j

0.591 993 187 857 351 9+0.206 458 492 528 848 04j

0.857 230 459 317 614 9-0.092 141 801 965 412 22j

0.246 276 641 390 715 56-0.280 171 934 101 177 9j

-0.193 976 174 460 788 74-0.131 995 745 315 530 16j

-0.065 713 564 114 935 59+0.017 679 054 752 094 2j

0.021 524 759 101 554 93+0.018 428 360 393 082 453j

其對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)、 小波函數(shù)的實(shí)部(實(shí)線)及虛部(虛線)如圖 3 所示.

圖 3　復(fù)數(shù)正交非對(duì)稱緊支db4小波Fig.3　Complex compactly-supported orthogonal and symmetrical db4 wavelet

在實(shí)數(shù)情況下， 當(dāng)濾波器系數(shù)滿足對(duì)稱

(20)

或反對(duì)稱

(21)

則此濾波器就具有線性相位的特性. 需要強(qiáng)調(diào)的是： 與實(shí)數(shù)時(shí)的情形不同， 在復(fù)數(shù)情況下， 濾波器或小波具有對(duì)稱性質(zhì)并不能保證它們是線性相位的， 此時(shí)線性相位成立的條件為[14]

(22)

或

(23)

同樣在p=3，N=6時(shí)， 還可獲得其中另一組復(fù)值濾波器H0的系數(shù)為

-0.095 560 1-0.050 862 8j 0.081 216 6-0.152 588j

0.721 45-0.101 726j0.721 45+0.101 726j

0.081 216 6+0.152 588j-0.095 560 1+0.050 862 8j

顯然， 這組系數(shù)滿足式(22)， 因此對(duì)應(yīng)的小波既是正交對(duì)稱的， 又是具有線性相位的， 由它得到的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的實(shí)部(實(shí)線)和虛部(虛線)分別如圖 4 所示.

圖 4　具有線性相位的復(fù)數(shù)正交對(duì)稱緊支db3小波Fig.4　Complex compactly-supported orthogonal and symmetrical db3 wavelet with linear phase

通過以上的分析可看出： 當(dāng)p取最大正則階N/2時(shí)， 若濾波器的長(zhǎng)度為4m+2(m為整數(shù))， 由式(8)有可能得到正交對(duì)稱的復(fù)值濾波器H0(Z)， 但能否最終獲得正交對(duì)稱的復(fù)值濾波器H0(Z)還取決于H0(Z)中實(shí)數(shù)零點(diǎn)的分布情況. 而當(dāng)濾波器的長(zhǎng)度為4 m時(shí)， 由式(8)不可能得到正交對(duì)稱的復(fù)值濾波器H0(Z). 這是由于前一種情況對(duì)應(yīng)的p為奇數(shù)， 后一種情況則對(duì)應(yīng)的p為偶數(shù). 而p為偶數(shù)時(shí)， 由式(9)知， 此時(shí)R(Z)的階次為奇數(shù)， 故H0(Z)除在Z=-1處有零點(diǎn)外， 肯定還有單個(gè)的實(shí)數(shù)零點(diǎn)存在. 因此在這種情況下， 可以考慮降低對(duì)H0(Z)正則階的要求， 使R(Z)的階數(shù)為偶數(shù)(即使p為奇數(shù))以換來復(fù)值H0(Z)的對(duì)稱性. 文獻(xiàn)[15]提出了利用最小而完備的格型結(jié)構(gòu)來設(shè)計(jì)具有任意長(zhǎng)度、 任意正則階的正交對(duì)稱復(fù)值濾波器及小波的方法， 并給出了當(dāng)濾波器長(zhǎng)度分別為8和12時(shí)， 正則階分別為1, 3和1, 3, 5所對(duì)應(yīng)的復(fù)值對(duì)稱尺度函數(shù)及小波函數(shù).

表 1　不同正則階對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)離散正交小波函數(shù)的可能形式(p=N/2)

對(duì)以上討論， 當(dāng)式(18)中正則階p=N/2取不同數(shù)值時(shí)， 對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)離散正交小波函數(shù)的可能形式可由表 1 來總結(jié). 由表 1 可知， 在最大正則階的條件下， 復(fù)數(shù)正交對(duì)稱小波的正則階只能是奇數(shù)， 但正則階為奇數(shù)時(shí)， 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)正交小波并不一定是對(duì)稱的； 而當(dāng)正則階為偶數(shù)時(shí)， 只能獲得正交、 非對(duì)稱的復(fù)數(shù)小波.

3結(jié)束語

在小波理論中， 小波函數(shù)的選取和構(gòu)造是伴隨其發(fā)展始終的問題之一. 本文從完全重構(gòu)濾波器組出發(fā)， 通過理論分析， 提出了由實(shí)數(shù)Daubichies小波到復(fù)數(shù)Daubichies小波的系統(tǒng)構(gòu)造方法， 為復(fù)數(shù)離散正交小波的構(gòu)造提供了有益的方法. 特別是在復(fù)數(shù)域， 小波函數(shù)不僅可以是正交的， 而且還可以是對(duì)稱的， 這可大大擴(kuò)展小波變換的應(yīng)用范圍： 如利用復(fù)數(shù)小波的相位信息實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)諧波檢測(cè)等[16-18]. 近些年來， 對(duì)濾波器組的研究和對(duì)小波的研究一直是緊密相連、 相互促進(jìn)的， 如多帶小波的構(gòu)造就是建立在多通道濾波器組的設(shè)計(jì)之上的. 總之， 基于濾波器組理論來研究新一代小波的構(gòu)造以及快速算法的設(shè)計(jì)將成為當(dāng)前小波理論發(fā)展的主要方向之一. 伴隨而來可以肯定的是： 這些新一代小波在各種實(shí)際問題的求解中也必將獲得更好的分析效果.

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Systematic Configuration of Complex Daubichies Wavelet

GENG Yunling， LIU Zhongyan， SHAN Qingxiao

(College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense and Technology, Changsha 410073, China)

Abstract:Proceeding from the two-band perfect reconstruction filter banks, a systematic constructing method deriving complex Daubichies wavelets from the real ones is proposed on the bases of theory and then the rightness of the method is tested by real examples. Next, the relationship between the different distribution of the zeros and the related forms of complex filters or complex wavelets is studied deeply under the largest rank of regularity. Last, the probably forms of complex filters and complex wavelets are presented when the largest rank of regularity is odd or even.

Key words:signal detection; complex wavelet; filter banks; kernel function; scale function

文章編號(hào):1671-7449(2016)03-0185-06

*收稿日期:2015-12-17

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51077046)

作者簡(jiǎn)介：耿云玲(1962-)， 女， 副教授， 博士， 主要從事電路理論、 電網(wǎng)電能質(zhì)量分析、 小波變換及其應(yīng)用等研究.

中圖分類號(hào):TM714

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

doi:10.3969/j.issn.1671-7449.2016.03.001