李亞磊，林 楠

（河南理工大學(xué)測繪與國土信息工程學(xué)院，河南焦作454000）

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優(yōu)化的非等距GM（1，1）模型在高層建筑物沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

李亞磊，林 楠

（河南理工大學(xué)測繪與國土信息工程學(xué)院，河南焦作454000）

摘 要：由于影響高層建筑物沉降的因素較多，并且在實(shí)際工作中變形監(jiān)測數(shù)據(jù)存在非等距的情況，通過傳統(tǒng)非等距GM（1，1）預(yù)測模型的建模原理分析其預(yù)測精度偏低，指出初值選擇和背景值構(gòu)建是影響非等距GM（1，1）模型預(yù)測精度的關(guān)鍵因素。在此基礎(chǔ)上，提出利用最小二乘原理選擇初值和運(yùn)用Newton-Cotes公式優(yōu)化背景值，并結(jié)合工程實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明優(yōu)化后的非等距GM（1，1）模型在高層建筑物沉降預(yù)測中的有效性。

關(guān)鍵詞：非等距；GM（1，1）；最小二乘原理；Newton-Cotes公式；沉降預(yù)測

隨著中國城市化進(jìn)程的加快，住房壓力增大以及建筑施工技術(shù)的日益提高，高層建筑物逐年增多，對高層建筑物的安全監(jiān)測也成為時(shí)下一個(gè)熱門問題。較普通多層建筑而言，高層建筑物的沉降觀測更不容忽視。在施工應(yīng)用中不僅對建筑物進(jìn)行長期的觀測，同時(shí)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型對建筑物后期的變形進(jìn)行預(yù)測也發(fā)揮了巨大作用，將高層建筑物沉降觀測與灰色系統(tǒng)預(yù)測相結(jié)合，對高層建筑物進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。

灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測模型有多種，在不同行業(yè)中均有預(yù)測應(yīng)用［1］，其中用于變形監(jiān)測的灰色預(yù)測模型主要有灰色GM（1，1）［2］，優(yōu)化的灰色GM（1，1）模型［3-6］以及灰色組合模型［7-8］等。但是，這些模型都是等時(shí)間序列建立的，而在建筑物沉降監(jiān)測的實(shí)際工作中，時(shí)間序列往往是非等距的。因此，很多學(xué)者就針對非等距時(shí)間序列，構(gòu)建了非等距GM （1，1）預(yù)測模型［9-12］，并應(yīng)用到建筑物沉降監(jiān)測工作中，取得了一定的成果。但是，傳統(tǒng)非等距GM（1，1）預(yù)測模型本身固有的系統(tǒng)誤差，致使預(yù)測精度不高。本文通過最小二乘原理選取非等距GM（1，1）模型的最優(yōu)初值，運(yùn)用Newton-Cotes公式構(gòu)造新的背景值，構(gòu)建了優(yōu)化的灰色非等距GM（1，1）預(yù)測模型。

1　優(yōu)化的非等距GM（1，1）預(yù)測模型

1.1非等距GM（1，1）模型的建模機(jī)理

數(shù)列X（0）（t）=｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝是非等間隔觀測序列的原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)所對應(yīng)的觀測時(shí)間為數(shù)列T（0）（i）=｛t1，t2，…，tn｝，計(jì)算觀測時(shí)間平均間隔，實(shí)際觀測時(shí)段與平均觀測時(shí)段的時(shí)段差系數(shù)為

各實(shí)際觀測時(shí)段的差值序列為

對Δx（0）（t）進(jìn)行一次累加生成，處理得到數(shù)列Δx（1）（t），即Δx（1）（t）是Δx（0）（t）的1-AGO序列。

式（4）隨求為差值均值生成序列Δ￣X（1）（t）。再對原始觀測數(shù)據(jù)X（0）（t）進(jìn)行累加處理生成1-AGO序列X（1）（t）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中

設(shè)Z（1）=（z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n））是X（1）（t）的緊鄰均值生成序列，

再求得各個(gè)時(shí)間段之間的一次累加均值εx（1）（t）=Δx（1）（t）+z（1）（t）。對于標(biāo)準(zhǔn)的等間隔GM（1，1）模型的白化方程為，可得關(guān)于εx（1）（t）的白化方程為

對數(shù)據(jù)求解還原值得

1.2最小二乘原理選取初值

從式（8）中可以看出，預(yù)測方程中選擇X（1）（0）作為初始值是存在誤差的。參考文獻(xiàn)［6］，通過最小二乘原理對初始值進(jìn)行修正，設(shè)初始值的修正形式為其中，C為初始值的修正項(xiàng)。因此，式（8）的預(yù)測方程形式可表示為

結(jié)合最小二乘原理，求取

式中：

1.3Newton-Cotes公式構(gòu)造新的背景值

從式（8）中可以看出，非等距GM（1，1）模型的擬合和預(yù)測精度取決于系數(shù)a和b，而a和b的值又取決于背景值z（1）（k）的構(gòu)造形式。因此，背景值z（1）（k）的值稱為影響非等距GM（1，1）模型精度的關(guān)鍵因素。傳統(tǒng)的非等距GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造是由梯形公式計(jì)算得來的，其誤差較大。參考文獻(xiàn)［12］，本文選用更為精確的Newton-Cotes公式構(gòu)建背景值。

由Newton-Cotes求積公式可知，在積分區(qū)間［a，b］上的節(jié)點(diǎn)為x0，x1，…，xn，其中xk=a+kh，k=0，1，…，n，h=（b-a）/n，那么構(gòu)造的差值型積分公式為

式（12）稱為Newton-Cotes公式，式（12）中稱為Cores系數(shù)。

設(shè)x=a+th，則有

當(dāng)n=2時(shí)，Cores系數(shù)為

相應(yīng)的求積公式為Simpson求積公式，則為

而當(dāng)n=4時(shí)，相應(yīng)的Newton-Cotes求積公式，其形式為

本文用Matlab 7.0編寫Newton插值程序，輸入建筑物的沉降監(jiān)測時(shí)間間隔，以及一次累加后的沉降量，將數(shù)據(jù)代入式（15）中求出新的背景值，再將構(gòu)建的新的背景值代入式（6）中，求出預(yù)測方程的參數(shù)a和b，建立優(yōu)化的非等距GM（1，1）預(yù)測方程。

2　優(yōu)化的非等距GM（1，1）預(yù)測模型實(shí)例計(jì)算與結(jié)果分析

2.1工程概況

對某高程建筑物的12#、13#、15#、18#、19#、20#、21#樓進(jìn)行沉降觀測。由基準(zhǔn)點(diǎn)向施工區(qū)內(nèi)引入4個(gè)工作基點(diǎn)分別為G1、G2、G3、G4，圍繞20#號樓形成以閉合環(huán)。觀測時(shí)間按每棟樓加蓋結(jié)構(gòu)層2層觀測一次直至竣工。

2.2部分沉降監(jiān)測點(diǎn)的累計(jì)數(shù)據(jù)

根據(jù)沉降觀測點(diǎn)總平面布置示意圖的觀測點(diǎn)的分布，由臨近的工作基準(zhǔn)開始依次對沉降監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行觀測。以13#樓為例，選取13#樓的3個(gè)監(jiān)測點(diǎn)的9期數(shù)據(jù)作為本次實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1　實(shí)測沉降累計(jì)數(shù)據(jù)　mm

2.3兩種預(yù)測模型的擬合結(jié)果與分析

利用Matlab7.0軟件為平臺，通過表1中前6期沉降累計(jì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，預(yù)測第7～9期沉降累計(jì)量，兩種預(yù)測模型的擬合結(jié)果分別見表2和表3。

表2　傳統(tǒng)非等距GM（1，1）預(yù)測模型的擬合值　mm

從表2和表3中的擬合結(jié)果可以看出：比較兩種預(yù)測模型的擬合值殘差中誤差，優(yōu)化的非等距GM（1，1）預(yù)測模型的擬合值殘差中誤差優(yōu)于傳統(tǒng)的非等距GM（1，1）預(yù)測模型的殘差中誤差。利用3種不同的建模數(shù)據(jù)驗(yàn)證了優(yōu)化的非等距GM（1， 1）模型的擬合精度高于傳統(tǒng)的非等距GM（1，1）模型。

2.4預(yù)測結(jié)果與分析

傳統(tǒng)的非等距GM（1，1）和優(yōu)化的非等距GM （1，1）兩種預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果，如表4所示。

表3　優(yōu)化的非等距GM（1，1）預(yù)測模型的擬合值　mm

表4　預(yù)測結(jié)果mm

從表4中的模型預(yù)測結(jié)果得出：13-1、13-3、13-5監(jiān)測點(diǎn)優(yōu)化的非等距GM（1，1）模型3期沉降數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果的殘差中誤差均小于傳統(tǒng)非等距GM（1，1）預(yù)測模型，3種不同的建模數(shù)據(jù)驗(yàn)證了優(yōu)化的非等距GM（1，1）模型比傳統(tǒng)的非等距GM（1，1）原模型預(yù)測精度高，實(shí)用性更強(qiáng)。

3　結(jié) 論

本文在詳細(xì)論述了傳統(tǒng)非等距GM（1，1）預(yù)測模型的建模機(jī)理過程中，從初值選擇和背景值構(gòu)造兩個(gè)方面分析了影響傳統(tǒng)預(yù)測模型精度的原因，提出了結(jié)合最小二乘原理選取初值和運(yùn)用Newton-Cotes求積公式重構(gòu)背景值的方法，并結(jié)合某工程實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)過編程計(jì)算結(jié)果可得：優(yōu)化的非等距GM（1，1）模型預(yù)測精度高于傳統(tǒng)的非等距GM（1，1）模型，具有一定的工程適用價(jià)值。

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［責(zé)任編輯：劉文霞］

Application of optimizednon-isometric GM（1，1）model to the settlement monitoring of high-rise buildings

LI Yalei，LIN Nan
（School of Surveying and Land Information Engineering，Henan Polytechnic University，Jiaozuo 454000，China）

Abstract：Because there are many factors affecting the settlement of high-rise buildings，and in the actual work，the deformation monitoring data are not isometric.Through analyzing the traditional non-isometric modeling principle of GM（1，1）forecasting model，the accuracy is low.It is pointed out that the initial value selection and the background value are the key factors to influencing the prediction accuracy of the non-isometric GM（1，1）model.On this basis，the least square theory is used to select the initial value and the use of Newton-Cotes formula to optimize the background value.And combined with engineering examples，the results verify that the optimized non-isometric GM（1，1）model is effective in the settlement prediction of high rise buildings.

Key words：non-isometric；GM（1，1）；least squares principle；Newton-Cotes formulas；settlement prediction

中圖分類號：TU196.2

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-4679（2016）02-0008-04

收稿日期：2015-12-21

作者簡介：李亞磊（1991-），男，碩士研究生，研究方向：精密工程測量.