楊順卿

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“雞兔同籠”問題教學反思

楊順卿

“雞兔同籠”問題是我國古代著名的數(shù)學趣題。這種問題，一方面可以提高學生的邏輯推理能力，另一方面使學生體會到解法的一般性和多樣性，從而提高學習數(shù)學的興趣。

“雞兔同籠”問題大致可以分為四種類型，每種類型都有多種解法，有的解法學生難理解、易糊涂，答案容易錯，或找不到突破口，無從下手。在每種類型題的解答中，均有一種適合題目的最優(yōu)解法，因此在實際教學中，教師有必要進行認真梳理和探究。

類型一：題中條件數(shù)量較小或較大的，都應(yīng)首選折中列表法解答。

1.題中數(shù)據(jù)較小的，采用折中列表法比較簡便。如，“籠子里有若干只雞和兔，上面數(shù)共有8個頭，下面數(shù)共有26條腿。雞和兔各有幾只？”根據(jù)問題，拿總頭數(shù)來列表，總頭數(shù)是偶數(shù)，則按對半（即總數(shù)的一半）起列，起列的總腳數(shù)比已知總腳數(shù)少，而每只兔有4只腳，所以第二次列舉時就增加兔的只數(shù)，減少雞的只數(shù)，這樣列舉2次就能得到答案。因為26-24=2，4-2=2，2÷2=1倍，所以按公差1的規(guī)律增減數(shù)據(jù)。

雞/只　4（2×4）　3（2×3）兔/只　4（4×4）　5（4×5）總腳數(shù)/條　8+16=24　6+20=26

2.題中數(shù)據(jù)較大的，用列表技巧法解答很簡便。如，“購物大抽獎，一等獎獎金300元，二等獎獎金100元，共60個中獎名額，獎金共10000元。問：一等獎和二等獎各有幾個？”如果用假設(shè)法解答，可假設(shè)全中二等獎：100×60=6000（元），10000-6000=4000（元），300-100=200（元），得一等獎4000÷200=20（個），則二等獎60-20=40（個）。假設(shè)全中一等獎：300×60=18000（元），18000-10000=8000（元），300-100 =200（元），得二等獎8000÷200=40（個），則一等獎60-40=20（個）。

但用列表法解答，比假設(shè)法更加簡便。題中數(shù)據(jù)較大且是偶數(shù)，根據(jù)所求問題，將總中獎名額數(shù)按對半起列。起列時的總數(shù)12000比已知總數(shù)10000多2000，一等獎獎金300元比二等獎獎金100元多200元，把2000÷200=10（倍），所以按公差10的規(guī)律增減數(shù)據(jù)。增減數(shù)據(jù)時，因為12000比10000多，所以就增加每份數(shù)（二等獎獎金100元）少的數(shù)據(jù)，減少每份數(shù)（一等獎獎金300元）多的數(shù)據(jù)，用列表技巧法解答，只需要列舉2次就能解決問題（如下表）。

二等獎/個　30（100×30）　40（100×40）一等獎/個　30（300×30）　20（300×20）總錢數(shù)/元　3000+9000=12000 4000+6000=10000

3.題中總數(shù)是奇數(shù)的，可按約對半起列。如，“在一場籃球賽中，3分線外投中一球記3分，線內(nèi)投中一球記2分，小明共投進9個球，共得21分。小明投中幾個3分球？”在列表時，如果按2分球4個、3分球5個起列，起列的總數(shù)比已知總數(shù)多（23比21多）。第二次列舉時，就增加2分球（少）的數(shù)據(jù)，減少3分球（多）的數(shù)據(jù)，因為23-21=2，3-2=1，2÷1=2倍，所以按公差2增減數(shù)據(jù)（如下表）。如果按2分球5個，3分球4個起列，則按公差1增減數(shù)據(jù)。不管怎樣起列，都只需要列舉2次就能找到答案。

2分球/個　4（2×4）　6（2×6）3分球/個　5（3×5）　3（3×3）總得分/分　8+15=23　12+9=21

類型二：題中條件含有“倒扣”的，也可首選折中列表法或假設(shè)法解答。

如，“一次搶答賽，答對一題得10分，答錯一題扣6分，小明搶答8個題，共得64分。小明答對幾題？”

1.列表法。根據(jù)問題，把共搶答的8個題按對半列起，得起列總分40-24=16（分），起列的總分比題中的總分少（16比64少），就增加對題的數(shù)據(jù)（因?qū)︻}的分數(shù)多），減少錯題的數(shù)據(jù)，可按公差1的規(guī)律依次增減所列舉的數(shù)據(jù)，一直列舉到與題中總分相符為止（如下表）。

對題/個錯題/個總分/分4（10×4）　5 4（6×4）　3 40-24=16 50-18=32 6　 7（10×7）2　 1（6×1）60-12=48 70-6=64

2.假設(shè)法。解答時要注意，對一題與錯一題的相差數(shù)一共是10+6=16（分）。假設(shè)全錯，總分64分不但不得，反而倒扣6×8=48（分），得總扣分64+48=112（分），而錯一題共扣10+6=16（分），所以112里面有幾個16，就是答對幾題：112÷16=7（題）。假設(shè)都答對，就有10×8=80（分），這樣比實際多了80-64=16（分）（也就是總共相差16分），而對一題與錯一題共相差16分，所以16里面有幾個16，就是答錯幾題：16÷16=1（題），則答對8-1=7（題）。

類型三：題中條件含有“甲數(shù)比乙數(shù)多幾或少幾”的，首選一般算術(shù)法或列表法解答。

如，“一顆松樹上有百靈鳥和松鼠，松鼠比百靈鳥多3只，共有48條腿。百靈鳥和松鼠各有幾只？”

1.算術(shù)法。因為根據(jù)題中條件，松鼠減去多的3只后就和百靈鳥的只數(shù)一樣多，得48-4×3=36（條），4+2=6（條），所以36條里面有幾個6條就是幾只百靈鳥：36÷6=6（只），則松鼠是6+3=9（只）。或把48-4×3=36后，再按松鼠的腿數(shù)是百靈鳥的2倍來分析解答。松鼠和百靈鳥的腿一共是1+2=3（份），把36條腿按3份平均分，得36÷3=12（條），又4-2=2（條），所以12條里面有幾個2條就是幾只百靈鳥：12÷2=6（只），則松鼠是6+3=9（只）。

2.列表法。把36條腿按對半起列，可按公差2的規(guī)律增減百靈鳥和松鼠的只數(shù)，一直列舉到百靈鳥和松鼠的只數(shù)相等為止，得百靈鳥6只，則松鼠為6+3=9（只）（如下表）。

百靈鳥18　16 18÷2=9　 16÷2=8松鼠14　12 14÷2=7　 12÷2=6 18 18÷4=4余20 20÷4=5 22 22÷4=5余24 24÷4=6

類型四：題中條件含有倍數(shù)關(guān)系的，首選倍數(shù)法解答。

古代著名的數(shù)學趣題中有許多含有倍數(shù)關(guān)系的。如，“100個和尚吃100個饅頭，大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個。大、小和尚各有多少人？”這種類型題的解答，對于小學生來說，由于數(shù)字較大，用列表法和假設(shè)法都不容易找到答案。為了使學生更容易理解和解答，并能很快解決問題，在教學中最適合用倍數(shù)法解答。

解法分析：從“大和尚1人吃3個，小和尚3人吃1個”這幾個條件入手，在4個饅頭里，從人數(shù)看，小和尚的人數(shù)是大和尚的3倍，即當大和尚的人數(shù)是1份時，小和尚的人數(shù)是這樣的3份，1份加3份等于4份，再用總?cè)藬?shù)按4份平均分，就得到1份的數(shù)，也就是大和尚的人數(shù)1+3=4，100÷4=25（人），那么小和尚的人數(shù)是100-25=75（人）或25×3=75（人）。

總之，“雞兔同籠“問題不管哪種類型，一般都具有共同的結(jié)構(gòu)特征：已知兩個總數(shù)和兩個每份數(shù)，求兩個（或一個）問題。類型一的三種案例采用列表技巧法解答，思路清晰，十分簡便。因此在教學實踐中，通過分析、比較、篩選，靈活運用解法，能使解答簡便。各種類型題采用以上各自優(yōu)化法解答，大部分學生能很快接受和掌握，所得答案準確率高，教學效果好。

（作者單位：新晃縣中寨鎮(zhèn)中心小學）