張凌云　李瑜

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以“雞兔同籠”為例看從計(jì)算思維到方程思維的發(fā)展

張凌云李瑜

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)銜接的調(diào)研過程中，中學(xué)數(shù)學(xué)教師最關(guān)注、最希望小學(xué)能夠解決的問題是注重學(xué)生計(jì)算能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。有中學(xué)數(shù)學(xué)教師甚至提出假設(shè)，是否可以直接砍掉小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)，因?yàn)樾W(xué)階段傳授的算術(shù)方法讓學(xué)生根深蒂固，以致影響初中方程思想解應(yīng)用題的運(yùn)用，扭轉(zhuǎn)起來很困難。而且對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，解應(yīng)用題從不用算術(shù)方法，若是實(shí)在要用，很多時(shí)候都是先列方程解，再按列方程的思路倒退回去形成算術(shù)方法。

既然算術(shù)方法比列方程要難很多，那為什么不直接學(xué)用方程解應(yīng)用題呢？這幾乎是中小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的一個(gè)較難溝通之處。于是，對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)教師來說，就很有必要相互了解并理解應(yīng)用題教學(xué)中學(xué)生從計(jì)算思維到方程思維的發(fā)展過程。

在多次聽了小學(xué)的“雞兔同籠”問題的教學(xué)，研究了各學(xué)段教材和對(duì)應(yīng)的課標(biāo)要求以后，筆者對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)有一些想法，與大家共享。

“雞兔同籠”問題以前編排在人教版小學(xué)六年級(jí)教材中，現(xiàn)在下放到了人教版小學(xué)四年級(jí)下冊(cè)中。教材上的設(shè)計(jì)是由古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》上的趣題引入，教學(xué)中教師將大數(shù)據(jù)化小，化繁為簡(jiǎn)進(jìn)行處理，形成例1：

籠子里有若干只雞和兔，從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？

綜合此題的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以看到不同層次思維的發(fā)生、發(fā)展以及教師的層層引導(dǎo)。

層次一：猜測(cè)法。由兩個(gè)學(xué)生的對(duì)話，猜測(cè)哪一組雞兔數(shù)目的組合滿足題意，是3只雞，5只兔？還是4只雞，4只兔？……

讓學(xué)生進(jìn)行嘗試與猜測(cè)，符合剛接觸到此類題的學(xué)生的認(rèn)知思維，能促使學(xué)生以發(fā)現(xiàn)者的身份去探索知識(shí)，無疑在心理上會(huì)產(chǎn)生一種極大的滿足和喜悅，從而激發(fā)興趣，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

層次二：（1）逐一列舉法。按照雞的數(shù)目從最大（8只）到0一一列舉出所有可能的雞兔數(shù)目組合，從中找出滿足題意的數(shù)目組合。

書上呈現(xiàn)的也就是如下的“逐一列舉法”：

雞　8　 7　 6　 5　 4　 3　 2　 1　 0兔　0　 1　 2　 3　 4　 5　 6　 7　 8腳　16　 18　 20　 22　 24　 26　 28　 30　 32

在完成表格的過程中，學(xué)生觀察數(shù)據(jù)中還可以找到的變化規(guī)律：每增加1只兔子、減少1只雞的構(gòu)成中，腳的數(shù)量就增加2只。這滲透了一次函數(shù)的均勻變化的觀點(diǎn)，對(duì)學(xué)生后續(xù)思考假設(shè)法有幫助。

層次二：（2）取中法。在“逐一列舉法”的使用中，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)不必把所有數(shù)據(jù)都列出來，可以先從中間數(shù)據(jù)入手，即取“4只雞，4只兔，得到共24只腳”，判斷比已知腳數(shù)少2只腳，于是相應(yīng)地增加1只兔，減少1只雞的數(shù)量，問題同樣得解。于是這種“取中法”則是在“逐一列舉法”的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的更高一層的思維體現(xiàn)。

有了前面三種列舉法的鋪墊，自然而然可以進(jìn)入到以下的假設(shè)法。

層次三：特殊假設(shè)法。（假設(shè)引出腳數(shù)差：假設(shè)全部是雞，通過腳數(shù)的差異找到兔子數(shù)，再得到雞數(shù)）

（1）如果全部是雞。（為什么要假設(shè)全部是雞呢？按照中學(xué)教學(xué)的觀點(diǎn)，把兔先換成雞，類似先去掉一個(gè)未知數(shù)）

于是2×8=16（只）腳，

少了26-16=10（只）腳，（腳數(shù)差為10，是由于假設(shè)不成立造成的，其中必有兔被當(dāng)成了雞進(jìn)行計(jì)算）

4-2=2（只）腳，（每只兔與每只雞的腳數(shù)差是2）

10÷2=5（只）兔。（總腳數(shù)差10÷每只兔與每只雞的腳數(shù)差2=少算的兔的數(shù)量，即：總數(shù)差÷份數(shù)差=份數(shù)）

（2）如果全部是兔。

8×4=32（只）腳，32-26=6（只）腳，4-2=2（只）腳，6÷2=3（只）雞。

以上的假設(shè)法，實(shí)際和“逐一列舉法”兩頭的數(shù)據(jù)有關(guān)，即從“雞數(shù)為8，兔數(shù)為0”和“雞數(shù)為0，兔數(shù)為8”的特定情況出發(fā)進(jìn)行分析，照這樣的思路，同樣也可以形成以下假設(shè)：

（3）如果兔有4只，雞有4只。

4×4+4×2=24（只）腳，26-24=2（只）腳，4-2=2（只）腳，2÷2=1（只）兔。

第（3）種假設(shè)法對(duì)應(yīng)于“取中法”，只是從沒聽到小學(xué)教師在教學(xué)中用過，更多的是使用前兩種。同時(shí)，由于教師在教學(xué)時(shí)讓學(xué)生理解透徹的少，更多的是讓學(xué)生記憶和模仿，也就出現(xiàn)了學(xué)生不明就里，分不清到底計(jì)算的是什么，而單純地死記硬背“設(shè)雞求的是兔，設(shè)兔求得的就是雞”，也讓輔導(dǎo)的家長和旁觀的中學(xué)教師苦不堪言，自然就生出了干脆“砍掉”該內(nèi)容一說。

層次四：一般假設(shè)法（一元一次方程或二元一次方程組解法）。

一元一次方程解法：設(shè)籠子里有雞x只，則兔有（8-x）只，可列方程得：

2x+4（8-x）=26。

解之得x=3，8-x=5。

二元一次方程組解法：設(shè)籠子里有雞x只，則兔有y只，可列方程組得：

解之得x=3，y=5。

對(duì)上述方程方法，究其本質(zhì)，也就是將小學(xué)的特殊假設(shè)法轉(zhuǎn)化為一般假設(shè)法而已，其表述簡(jiǎn)潔明了，更通俗易懂，便于學(xué)生學(xué)習(xí)與理解。只是學(xué)生已經(jīng)養(yǎng)成用算術(shù)方法解題的習(xí)慣，形成了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)負(fù)遷移。而且，小學(xué)的算術(shù)方法的使用對(duì)小數(shù)據(jù)可行，對(duì)大數(shù)據(jù)，還是需要運(yùn)用方程思想。因此從算術(shù)思維向方程思維發(fā)展的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生正確地分析應(yīng)用題中已知數(shù)量和未知數(shù)量之間的關(guān)系，再讓學(xué)生對(duì)兩種解法進(jìn)行對(duì)比，在對(duì)比的基礎(chǔ)上理解每種解法的簡(jiǎn)便性，以便學(xué)生在解題過程中靈活選擇合理的方法。

綜上所述，我們從整個(gè)課程內(nèi)容體系的全景把握，俯瞰自己所教學(xué)的課程內(nèi)容時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)：

從猜測(cè)法到逐一列舉法的探究過程中，學(xué)生逐步體會(huì)到思維的從無序到有序，如何不重復(fù)、不遺漏地嘗試尋找正確的結(jié)果，同時(shí)學(xué)會(huì)找到數(shù)量之間的關(guān)系的方法。

由逐一列舉法發(fā)現(xiàn)規(guī)律到特殊假設(shè)法的算術(shù)思想方法解題，學(xué)生體會(huì)到解決較復(fù)雜問題時(shí)的一種有效的思維方式，即考察其最簡(jiǎn)單、最原始的特殊情況，退中求進(jìn)、化繁為簡(jiǎn)地進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析，從而尋找到解題的思路和突破口。

而從特殊假設(shè)法到一般假設(shè)法，則是體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，溝通了從數(shù)量關(guān)系的算術(shù)運(yùn)用到數(shù)量關(guān)系的方程運(yùn)用，反映的是數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的變化發(fā)展脈絡(luò)。

甚至還能從表格的列舉中形成更深層次的函數(shù)的表達(dá)：設(shè)籠子里有雞x只，則兔有（8-x）只，腳數(shù)為y只，則可列出一個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：y=2x+ 4（8-x），即y=32-2x。

籠子中出現(xiàn)的腳數(shù)y隨著雞數(shù)x的變化而發(fā)生變化。

這些解法體現(xiàn)了思維的深化與發(fā)展，也反映了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)和理解的狀況，以及他們思維水平的抽象程度和運(yùn)用知識(shí)解決問題的實(shí)際能力。而這些知識(shí)聯(lián)系的空間，就是學(xué)生學(xué)科發(fā)展的空間。教師在教學(xué)中，要讓學(xué)生在多種解決方法的探索與對(duì)比中認(rèn)識(shí)到解決問題策略的多樣性和代數(shù)方法的優(yōu)越性，從而促進(jìn)學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展，鍛煉觀察、分析、推理和解決問題的能力。

事實(shí)上，以上對(duì)“雞兔同籠”問題的分析還包括了教師對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)銜接的教學(xué)內(nèi)容拓展空間、課程內(nèi)容編排體系、學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等多方面的思考。這要求中小學(xué)教師要擁有一個(gè)基于整個(gè)義務(wù)教育一貫制課程的全局視野，能夠知曉小學(xué)和初中課程內(nèi)容及學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)展的銜接，才可能使我們的教學(xué)做到高屋建瓴、高瞻遠(yuǎn)矚。總之，寬闊的課程視野應(yīng)該成為教師實(shí)踐課程目標(biāo)的主動(dòng)追求。（本文是湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“區(qū)域推進(jìn)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教與學(xué)銜接的實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：XJK013CZXX065）研究成果）

（作者單位：株洲市荷塘區(qū)教研室）