李志富，任慧龍，石玉云，李輝

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

Laguerre函數(shù)在時域匹配邊界元中的應(yīng)用研究

李志富，任慧龍，石玉云，李輝

(哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：利用滿足自由表面條件的時域格林函數(shù)求解波浪與浮體相互作用問題時，對于外飄型浮體計算結(jié)果時常發(fā)散。針對此問題，建立了內(nèi)外場時域快速匹配邊界元模型，通過與解析解對比，驗證了數(shù)值模型的有效性。其次，利用所建立的匹配邊界元模型，研究了流場記憶速度勢隨時間的變化特點。針對長時間模擬，時間卷積積分項導(dǎo)致模擬失敗問題，提出了利用Laguerre函數(shù)對記憶速度勢時間變量進(jìn)行級數(shù)逼近，以對時間卷積積分進(jìn)行解析計算，并對級數(shù)收斂速度進(jìn)行了研究。最后，為加快級數(shù)收斂速度，引入了放縮系數(shù)，并對其特性進(jìn)行了探討。數(shù)值結(jié)果表明，通過引入放縮系數(shù)，可以利用較少的級數(shù)項來逼近速度勢的時間變量，能夠很好地描述記憶速度勢的脈沖特性。

關(guān)鍵詞：Laguerre函數(shù)；時域匹配；時間卷積；多項式逼近；放縮系數(shù)

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.U.20160411.0845.014.html

波浪與浮體相互作用的時域模擬具有重要意義[1]。在勢流理論框架下，根據(jù)所選取格林函數(shù)的不同，主要分為時域Rankine源法和時域自由面格林函數(shù)法。對于時域自由面格林函數(shù)法，只需要在船體表面進(jìn)行積分，國內(nèi)外許多學(xué)者都在此方面做了研究[2-3]。此方法對于不同浮體進(jìn)行模擬時，都需要重新計算時域格林函數(shù)在每一時刻的值，而時域格林函數(shù)的計算又需要占用較長的CPU時間，所以該方法計算效率較低。此外，格林函數(shù)在近水面單元的高頻振蕩特性[4]，導(dǎo)致外飄型船舶的計算，結(jié)果時常發(fā)散。對于時域Rankine源法，其形式簡單，且易與高階邊界元法相結(jié)合，以進(jìn)行非線性問題的模擬，所以現(xiàn)在仍然有很多學(xué)者對此進(jìn)行研究[5-6]。但是，時域Rankine法需要對計算域進(jìn)行截斷，且需要布置相應(yīng)的人工遠(yuǎn)方輻射條件。

通過對時域Rankine源法和時域自由面格林函數(shù)法各自優(yōu)缺點的分析，有學(xué)者提出了匹配方法[7-8]，此種方法不僅避免了不同浮體都需對格林函數(shù)進(jìn)行計算的問題，同時適用于外飄型船舶的計算。但是此方法的準(zhǔn)確性和有效性仍需進(jìn)一步驗證。無論是時域Rankine源法還是匹配方法，在計算與時間相關(guān)的記憶速度勢時，時間卷積項的存在，常常導(dǎo)致長時間的模擬無法進(jìn)行。

針對上述問題，本文首先建立了三維內(nèi)外場時域快速匹配邊界元模型，通過與解析解的對比，驗證了數(shù)值模型的有效性。其次利用該模型研究了流場中不同點的記憶速度勢隨時間的變化特點。最后根據(jù)記憶速度勢隨時間的變化特性，提出了利用Laguerre函數(shù)[9]對記憶速度勢時間變量進(jìn)行級數(shù)逼近，并通過引入一放縮系數(shù)加快了級數(shù)的收斂速度。

1基礎(chǔ)理論

1.1內(nèi)外場匹配模型

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，假定流場為不可壓縮的理想流體，則流場中的物理量可以用流體速度勢Φ來進(jìn)行描述。為建立三維時域匹配模型，引入一虛擬控制面，如圖1所示。

圖1　內(nèi)外域匹配求解示意圖Fig.1　Coordinate system and boundary surface

流體速度勢在內(nèi)域滿足以Rankine源所建立的邊界積分方程：

(1)

流體速度勢在外域滿足以時域自由面格林函數(shù)所建立的邊界積分方程：

(2)

(3)

(4)

同理，速度勢ΦII在外域滿足的邊界積分方程(2)也可以離散為相應(yīng)的矩陣形式

(5)

式中：rC表示外域所滿足的邊界積分方程的時間卷積項。

在虛擬控制面SC上，流體速度勢及其法向?qū)?shù)應(yīng)滿足如下連續(xù)條件：

(6)

通過速度勢在內(nèi)域滿足的邊界積分方程式(4)和外域滿足的邊界積分方程式(5)，便可以得到內(nèi)外域匹配求解方程組：

(7)

式中矩陣的系數(shù)如下

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(7)，在求解流場速度勢時，只有虛擬控制面SC上涉及了時域自由面格林函數(shù)波動項的計算。

1.2流場速度勢分解

由于流體速度勢所滿足的場方程、邊界條件和初始條件均是線性化的，故可以對流體速度勢進(jìn)行線性化分解[11]

(12)

式中：ΦI、ΦD和Φk分別為入射波速度勢、繞射波速度勢和輻射波速度勢，其中ΦI為已知量，ΦD和Φk為待求解的未知量。

對于輻射波速度勢Φk，根據(jù)其所代表的物理意義，可以將其分解為與時間無關(guān)的瞬時速度勢Ψk和與時間相關(guān)的記憶速度勢χk:

(13)

根據(jù)瞬時速度勢和記憶速度勢在內(nèi)外域滿足的邊界條件和初始條件[3]，利用式(7)便可求出相應(yīng)的值。根據(jù)線性化的Bernoulli方程[10]便可求出對應(yīng)的輻射波力

(14)

式中：μjk和Kjk分別為與頻率無關(guān)的附加質(zhì)量和時域延遲函數(shù)。其可以相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為頻域附加質(zhì)量Ajk和阻尼系數(shù)Bjk:

(15)

(16)

1.3時間卷積積分項

(17)

(18)

根據(jù)記憶速度勢隨時間的變化特性，為加快級數(shù)的收斂速度，引入一放縮系數(shù)a:

(19)

(20)

(21)

2數(shù)值結(jié)果

2.1匹配邊界元有效性驗證

利用時域快速匹配邊界元法求解浮體和波浪相互作用問題時，影響計算精度的主要因素有時間步長、邊界網(wǎng)格數(shù)目、自由面網(wǎng)格形式、虛擬控制面和物體之間的距離。

為討論自由面網(wǎng)格形式的影響，針對相同工況，分別選擇了矩形網(wǎng)格、輻射狀網(wǎng)格和矩形三角形混合網(wǎng)格進(jìn)行了計算，通過與解析解[12]的對比驗證發(fā)現(xiàn)輻射狀的自由面網(wǎng)格能夠最好的描述輻射波和繞射波的傳播，如圖2所示，圖中半球半徑為1 m，控制面半球半徑為5 m。此與輻射和繞射波代表外傳柱面波的物理意義相一致。

圖2　匹配邊界元網(wǎng)格劃分示意圖Fig.2　Grid pattern for Rankine-Green method

為討論時間步長對計算結(jié)果的影響，針對相同工況，分別選取了△t=0.02、0.01、0.005 s進(jìn)行了計算。計算得到的無量綱時域延遲函數(shù)如圖3所示，3條曲線幾乎重合。此外，針對邊界網(wǎng)格數(shù)目和虛擬控制面與物體之間的距離也做了同樣的對比分析。最后，考慮數(shù)值計算精度和計算效率，在文章后續(xù)計算中，自由面劃分為輻射式網(wǎng)格，計算時間步長選為0.01 s，虛擬控制面和物面間距為5倍的物體特征長度，網(wǎng)格數(shù)目為物面130、自由面200、控制面150。

圖3　時間步長對計算結(jié)果的影響Fig.3　Influence of time step on the numerical results interval

對于半球在靜水中做強迫垂蕩運動，分別計算了其附加質(zhì)量系數(shù)和阻尼系數(shù)，如圖4、5所示。由圖可知，利用本文建立的快速時域匹配邊界元法計算的結(jié)果與文獻(xiàn)[12]提供的解析解符合良好，說明本文提供的數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確模擬波浪和浮體相互作用的流場。

圖4　無因次附加質(zhì)量系數(shù)Fig.4　Non-dimensional added mass coefficient

圖5　無因次興波阻尼系數(shù)Fig.5　Non-dimensional damping coefficient

2.2Laguerre函數(shù)有效性驗證

為驗證Laguerre函數(shù)的有效性，首先對記憶速度勢隨時間的變化特性進(jìn)行了研究。記憶速度勢代表浮體干擾形成表面波浪，開始波浪傳播之后的那部分速度勢，并且隨時間逐漸衰減，如圖6所示，圖中點1位于虛擬控制面和自由表面相交處(5,0,0)，點2位于虛擬控制面的中部(4.33,0.00,2.50)，點3位于虛擬控制面的底部(0,0,5)。圖6表明隨著場點遠(yuǎn)離自由面，記憶速度勢的變化逐漸趨于平緩，此與記憶速度勢代表物體興波部分速度勢的物理意義相一致；且記憶速度勢隨時間出現(xiàn)一個較大的脈沖峰以后，便開始迅速衰減，此與修正Laguerre函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)部分相符合，初步說明了利用Laguerre函數(shù)進(jìn)行記憶速度勢時間變量級數(shù)逼近的可行性。

圖6　記憶速度勢隨時間變化Fig.6　 Memory potential for different points

根據(jù)圖6中的3組數(shù)據(jù)，本文對隨時間變化最為劇烈的點1進(jìn)行了Laguerre函數(shù)逼近研究。在不引入放縮系數(shù)的情況下，函數(shù)逼近隨級數(shù)項數(shù)的變化如圖7所示，絕對誤差隨項數(shù)的變化如圖8所示。由圖可知，隨著逼近級數(shù)項數(shù)的增加，級數(shù)解越趨近于原數(shù)據(jù)，但是收斂效果隨項數(shù)的增加改善較為緩慢，例如當(dāng)級數(shù)項數(shù)增加一倍時，逼近絕對誤差縮小不到一倍，而計算求解矩陣的維數(shù)卻大大增加。

圖7　Laguerre級數(shù)逼近精度與截斷項數(shù)的關(guān)系(a=1)Fig.7　Relationship between series approximation and 　　truncated series terms (a=1)

圖8　Laguerre級數(shù)逼近絕對誤差與截斷項數(shù)的關(guān)系(a=1)Fig.8　Relationship between absolute error and truncated 　　series terms (a=1)

圖9　Laguerre級數(shù)逼近與放縮系數(shù)的關(guān)系(N=15)Fig.9　Relationship between series approximation and　　 flexible parameter (N=15)

圖10　Laguerre級數(shù)逼近絕對誤差與放縮系數(shù)的關(guān)系(N=15)Fig.10　Relationship between absolute error and flexible 　　parameter (N=15)

為了增加Laguerre級數(shù)逼近的收斂速度，同時又不增加計算機求解負(fù)擔(dān)，引入了放縮系數(shù)的概念，如式(21)所示。由圖10可知，隨著放縮系數(shù)的減小，相對誤差逐漸減小，當(dāng)放縮系數(shù)等于0.2時，級數(shù)項取為15的結(jié)果要明顯優(yōu)于不取放縮系數(shù)的級數(shù)項取為20的結(jié)果，如圖11所示。由此可以確定，通過引入放縮系數(shù)，可以利用較少的項數(shù)來逼近函數(shù)的真解，從而確保了利用Laguerre函數(shù)進(jìn)行記憶速度勢時間變量進(jìn)行級數(shù)逼近的經(jīng)濟(jì)性和可行性。

圖11　放縮系數(shù)對級數(shù)收斂速度影響Fig.11　 Influence of flexible parameter and series terms

4結(jié)論

本文通過引入虛擬控制面，將流場劃分為內(nèi)域和外域，并根據(jù)速度勢及其法向?qū)?shù)在控制面上連續(xù)的條件建立了時域快速匹配邊界元模型。此外，提出了利用Laguerre函數(shù)對記憶速度勢的時間軸進(jìn)行級數(shù)逼近，以解析計算時間卷積積分的思路，并通過引入一放縮系數(shù)，大大加快了級數(shù)的收斂速度。通過對計算結(jié)果的分析，得到以下結(jié)論：

1)通過與解析解的對比表明本文建立的內(nèi)外場時域快速匹配邊界元法具有較高的數(shù)值計算精度，且由求解矩陣可知，時域快速匹配邊界元法與直接邊界元法相比具有較高的計算效率，為研究浮體和波浪相互作用下流場的特性提供了一種精確、高效的方法；

2)自由面劃分為輻射狀網(wǎng)格，控制面距離物面為5倍的物體的特征尺度，時間步長取為0.01 s時，時域快速匹配邊界元法便能給出令人滿意的計算結(jié)果；

3)代表浮體興波之后流場特性的記憶速度勢在出現(xiàn)一個很大的峰之后，隨時間迅速衰減，當(dāng)t=2.5 s后，基本趨于平緩；

4)利用Laguerre函數(shù)對記憶速度勢的時間變量做級數(shù)逼近時，隨著級數(shù)項數(shù)的增加，級數(shù)逐漸收斂，但級數(shù)收斂速度較為緩慢；

5)分析Laguerre函數(shù)及其正交權(quán)函數(shù)的性質(zhì)，引入一放縮系數(shù)，數(shù)值結(jié)果顯示，放縮系數(shù)可大大加快級數(shù)的收斂速度，N=15，a=0.2的逼近結(jié)果要明

顯的優(yōu)于N=20，a=1時的結(jié)果,保證了時域快速解析匹配邊界元的可行性與高效性。

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本文引用格式：

李志富，任慧龍，石玉云，等. Laguerre函數(shù)在時域匹配邊界元中的應(yīng)用研究[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報， 2016, 37(5): 629-633.

LI Zhifu，REN Huilong，SHI Yuyun， et al. Application of Laguerre function in the time domain Rankine-Green panel method[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(5): 629-633.

Application of Laguerre function in the time domain Rankine-Green panel method

LI Zhifu，REN Huilong，SHI Yuyun，LI Hui

(College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：The divergence phenomenon will happen when the transient free surface Green function method is adopted to simulate the motion response of the ships with large flare. To avoid that problem, the Rankine-Green panel method is proposed , and the accuracy of this method is verified by the comparision with the analytical solutions. Then the hybrid method is used to investigate the variation properties of the memory velocity potential wiht respect to time, and the Laguerre function is introduced to express the memory potentials in the Laguerre series form. Therefore, the temporal convolution integral of the memory potentials with the Green function can be computed analytically, which ensures the long time simulations. Besiedes, to accelerate the convergence speed of the Laguerre series, a flexible parameter is introduced and its features are discussed. The numerical results show that the temporal variable of the memory potential can be approximated by less Laguerre series terms with a flexible parameter, which means that the Laguerre series can give a reasonable description of the impulse properties of the memory velocity potential.

Keywords：Laguerre function; Rankine-Green panel method; temporal convolution integral; series approximation; flexible parameter

收稿日期：2015-04-10.

基金項目：國家“973”計劃項目(2011CB3703)；國家自然科學(xué)基金資助項目(51109046).

作者簡介：李志富(1990-), 男, 博士研究生； 通信作者：任慧龍, E-mail：renhuilong@263.net.

DOI:10.11990/jheu.201504023

中圖分類號：O352

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1006-7043(2016)05-0629-05

網(wǎng)絡(luò)出版時間：2016-04-11.

任慧龍(1965-), 男, 教授, 博士生導(dǎo)師.