孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 山東 菏澤 274015）

Maple 軟件在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

孔祥強(qiáng)

（菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 山東 菏澤 274015）

Maple 軟件是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)類軟件，具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和繪圖功能.大學(xué)數(shù)學(xué)課程中引入Maple 軟件進(jìn)行教學(xué)，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的直觀化、交互化.利用符號(hào)命令，通過編程，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜計(jì)算的快速化、復(fù)雜圖形的準(zhǔn)確作圖，提高了教學(xué)效率并獲得更好的教學(xué)效果.

Maple；數(shù)學(xué)軟件；大學(xué)數(shù)學(xué)；繪圖

Maple 軟件是由加拿大 Waterloo 大學(xué)開發(fā)的數(shù)學(xué)類軟件，具有強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算、圖形繪制、數(shù)值計(jì)算功能，是一種交互式計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)[1].Maple軟件的出現(xiàn)為大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)提供了輕松的教學(xué)氣氛和有力的工具[2].從 1985 年出現(xiàn)的第一個(gè)商業(yè)版本 Maple3.3，到現(xiàn)在的 Maple18 版 本[3]，Maple 軟件得到了不斷的更新和迅速的發(fā)展.

大學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生的基礎(chǔ)課，學(xué)好這門課的重要性不言而喻，但其內(nèi)容比較抽象，概念難理解，題目計(jì)算繁瑣.如果再按照傳統(tǒng)的教學(xué)模式授課，學(xué)生難于接受.將 Maple 軟件引入課堂，一方面可使得教師和學(xué)生從繁雜的計(jì)算中解脫出來，讓學(xué)生的注意力主要集中在解題方法上；另一方面，將復(fù)雜、抽象的內(nèi)容用軟件演示出來，這種可視化的效果更能揭示問題的本質(zhì)，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，調(diào)動(dòng)起學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，達(dá)到利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的目的[4].文章從 Maple 軟 件 繪 制 平面圖形和解微分方程兩方面入手，深入探討了 Maple 軟件在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，以期達(dá)到更好的教學(xué)效果.

1 Maple 軟件在平面圖形繪制中的應(yīng)用

大學(xué)數(shù)學(xué)中，有很多極坐標(biāo)曲線，如阿基米德螺 線 ρ=a·θ、 對 數(shù) 螺 線 ρ=ea·θ、 伯 努 利 雙 紐 線ρ2=a2sin2θ、玫瑰線等，這些曲線的表達(dá)式并不復(fù)雜，但手工作圖比較困難.而利用 Maple 軟件，通過編程，很容易作出這些曲線的圖形，并且通過圖形可更好的了解曲線的性質(zhì).以玫瑰線為例，具體說明.

案例 1 作出曲線 ρ=2·sin(7θ)的圖形[5].

玫瑰線的極坐標(biāo)方程為 ρ=a·cos(n·θ)或 ρ=a· sin(n·θ)，不妨取 a=2，n=7，程序如下

圖1 七葉玫瑰線

由圖 1，ρ=2·sin(7θ)的圖形由七葉組成，故稱為七葉玫瑰線.通過和案例 1 類似的程序可驗(yàn)證，當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，ρ=a·cos(n·θ)或 ρ=a·sin(n·θ)的圖形均由n 葉組成，稱為 n 葉玫瑰線；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，ρ=a·cos (n·θ)或 ρ=a·sin(n·θ)的圖形均由 2·n 葉組成，稱為2·n 葉玫瑰線.如 ρ=a·cos(5·θ)的圖形是五葉玫瑰線，ρ=a·sin(6·θ)的圖形是十二葉玫瑰線.n 可取正整數(shù)，還可取分?jǐn)?shù)，甚至對于一些復(fù)雜的圖形，n 可取無理數(shù).如曲線 ρ=3·cos()的圖形見圖 2.

圖2 曲線 ρ=3·cos()圖形

內(nèi)旋輪線是大學(xué)數(shù)字中非常重要的曲線[5].設(shè)有一大圓，當(dāng)一小圓在大圓內(nèi)滾動(dòng)時(shí)，小圓上某一固定點(diǎn)的運(yùn)行曲線，稱為內(nèi)旋輪線，有的教材上也稱為內(nèi)擺線.首先，曲線的參數(shù)方程比較復(fù)雜；其次，大圓半徑 R 和小圓半徑 r之間的數(shù)量關(guān)系不確定，僅知道 R＞r.故內(nèi)旋輪線的作圖比較復(fù)雜.利用Maple 軟件，可方便的討論 R 和 r之間的倍數(shù)關(guān)系，作圖快捷.

案例2 作出內(nèi)旋輪線

圖3 R=10·r時(shí)的內(nèi)旋輪線

特別地，當(dāng)大圓和小圓的半徑是4倍關(guān)系時(shí)，不妨取 R=4,r=1，此時(shí)得到圖 4，即星形線[5].因此，星形線可看作內(nèi)旋輪線的特例.

圖4 R=4·r時(shí)的內(nèi)旋輪線

圖中綠色的曲線為星形線，藍(lán)色的曲線是半徑為4的大圓.

注 若大圓和小圓的半徑是 2倍的關(guān)系，即R=2·r，此時(shí)得到的內(nèi)旋輪線圖形是直線，且恰好為大圓的直徑.仿照上面的程序，只需要對其中的參數(shù)進(jìn)行修改，很容易驗(yàn)證該結(jié)論的正確性.

2 Maple 軟件在微分方程中的應(yīng)用

微分方程是大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，很多后續(xù)課程都是以它為基礎(chǔ)的.一般的講解方法是在黑板上逐步推導(dǎo)的教學(xué)模式，如果有一步錯(cuò)誤，那下面的推導(dǎo)就很難保證正確了.Maple 軟件可使我們從這種繁瑣的演算過程中解脫出來.通過軟件，可定義微分方程；通過 DEplot命令畫向量場，解釋微分方程的幾何意義；用 contourplot命令畫積分曲線等.通過編程，可快速求解方程，并作出通解及特解圖形，直觀的將積分曲線的圖形顯示出來.通過這種方式，鍛煉了學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問題的能力.

案例 3 求微分方程 y"-y'-y=0 的通解，滿足初始條件 y|x=0=1,y'|x=0=0 的特解，并作出通解和特解的圖形.

所給方程為可降階的高階微分方程，其特點(diǎn)是不顯含自變量x.

圖5 方程 y"-y'-y=0 的通解和特解

圖5中綠色的曲線為部分通解；深藍(lán)色的曲線為滿足條件的特解，其顯然過點(diǎn)(0,1)，且在(0,1)處的導(dǎo)數(shù)為零，有水平的切線.

3 結(jié)語

大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中引入 Maple 軟件，可方便快速的作出平面曲線、空間曲線的圖形，將抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式用直觀的方式展現(xiàn)出來，便于學(xué)生深刻理解所學(xué)的知識(shí)，提高自己的認(rèn)知水平.用 Maple軟件支撐大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)，會(huì)起到事半功倍的效果，達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的，更好的適應(yīng)現(xiàn)代化的教學(xué)，有利于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)技巧三位一體的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

〔1〕何 青 ， 王 麗 芬 .Maple 教 程 [M].北 京 ：科 學(xué) 出 版社，2006.

〔2〕張韻華，王新茂.符號(hào)計(jì)算系 統(tǒng) Maple 教程[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2007.

〔3〕李靜，騰興虎.Maple 軟件在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014,30（Sup1）：95-97.

〔4〕李 姝妹.數(shù)學(xué) 軟件 Maple 在 常微 分 方 程 教 學(xué) 中的應(yīng)用[J].陰山學(xué)刊，2013,27（4）：55-57.

〔5〕 李 偉 .高 等 數(shù) 學(xué) [M].北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2011.

〔6〕額爾敦布和，白秀，王海清.Maple 軟件在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].內(nèi)蒙古民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，28（2）：146-149.

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2015 年 11 月 18 日

2013 年菏澤學(xué)院重點(diǎn)課題組項(xiàng)目（201311）