李晨薇,陳福來(lái)

(1.長(zhǎng)沙市南雅中學(xué),湖南　長(zhǎng)沙　410000；2.湘南學(xué)院　數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,湖南　郴州　423000)

分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型研究

李晨薇1,陳福來(lái)2

(1.長(zhǎng)沙市南雅中學(xué),湖南長(zhǎng)沙410000；2.湘南學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,湖南郴州423000)

[摘要]建立了分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型,并通過(guò)一個(gè)算例說(shuō)明了在一定情況下,分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型優(yōu)于相應(yīng)的整數(shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù)階微分方程；人口阻滯增長(zhǎng)模型；數(shù)值解

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2016.03.016

1前言

人口問(wèn)題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問(wèn)題之一。世界人口的迅猛增長(zhǎng)引起了許多問(wèn)題,特別是一些經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)國(guó)家的人口過(guò)度增長(zhǎng),影響了整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、社會(huì)安定和人民生活水平的提高,給人類生活帶來(lái)許多問(wèn)題。為了解決人口增長(zhǎng)過(guò)快的問(wèn)題,人類必須控制自己,做到有計(jì)劃地生育,使人口的增長(zhǎng)與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展相適應(yīng),與環(huán)境、資源相協(xié)調(diào)。認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律,作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào),是有效控制人口增長(zhǎng)的前提。

指數(shù)增長(zhǎng)模型和阻滯增長(zhǎng)模型是兩個(gè)最基本的人口模型。指數(shù)增長(zhǎng)模型由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯于1978年提出來(lái)的,其基本假設(shè)為人口的增長(zhǎng)率是常數(shù),獲得的結(jié)果表明人口將以指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)。而事實(shí)上,隨著人口的增加,自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來(lái)越明顯。阻滯增長(zhǎng)模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對(duì)人口增長(zhǎng)率的影響上,使得隨著人口數(shù)量的增加而下降。這個(gè)模型比指數(shù)增長(zhǎng)模型更加合理。

在近幾十年里,許多學(xué)者指出分?jǐn)?shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程,在經(jīng)典模型中這些性質(zhì)常常是被忽略的[1]。本文針對(duì)人口數(shù)量的變化具有典型的記憶和遺傳性質(zhì),把人口增長(zhǎng)模型中的整數(shù)階微分方程修改為分?jǐn)?shù)階微分方程,能更加準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)人口增長(zhǎng)的數(shù)量。

2分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型

分?jǐn)?shù)微分與積分是指微分的階數(shù)與積分的次數(shù)是任意實(shí)數(shù)乃至復(fù)數(shù),而不是一個(gè)分?jǐn)?shù)或者分式函數(shù)的微分和積分。分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型是:

(1)

(2)

這個(gè)積分解是個(gè)奇異積分,不能正常求解解析解。利用文[2]的方法和程序,我們可以獲得它的數(shù)值解。

下面基于1790—1990年這兩百年的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(見(jiàn)表1),對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

表1　美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

要用模型(1)來(lái)預(yù)報(bào)人口,必須先對(duì)表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理,對(duì)模型(1)中的參數(shù)r和xm進(jìn)行估計(jì)。時(shí)間t的處理,令1790,1800,…,1990年分別對(duì)應(yīng)t=0,1,…,20時(shí)刻,即x(0)=3.9,x(1)=5.3,…,x(20)=251.4。參數(shù)r(年固有增長(zhǎng)率)取逐年增長(zhǎng)率的幾何平均值,由公式:

(3)

獲得,計(jì)算出r=0.2127。參數(shù)xm(最大人口容量)基于α=1時(shí)的整數(shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型:

(4)

所獲得的解析解：

(5)

利用表1中1790—1980年的數(shù)據(jù)擬合獲得,[3]有xm=

464。這樣,我們建立了表1數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型：

(6)

分別取α=0.8,0.85,0.9,0.95,1代入模型(6),預(yù)測(cè)出1800—1990年的人口數(shù),預(yù)測(cè)的人口數(shù)量和相對(duì)誤差結(jié)果見(jiàn)表2,并用下圖表示相對(duì)誤差的結(jié)果。

從表2和圖1的數(shù)據(jù)我們可以看出,α取0.8和0.85時(shí)數(shù)據(jù)較好,相對(duì)誤差較小,都優(yōu)于α取1時(shí)的結(jié)果,尤其是α取0.85時(shí)數(shù)據(jù)相對(duì)誤差最小,預(yù)報(bào)最準(zhǔn)確。而α=1時(shí)是整數(shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型,從而我們知道,在這個(gè)算例中,α取適當(dāng)?shù)闹禃r(shí),分?jǐn)?shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型優(yōu)于整數(shù)階人口阻滯增長(zhǎng)模型。

參考文獻(xiàn)：

[1]I.Podlubny..FractionalDifferentialEquations[M].SanDiego:AcademicPress,1999.

[2]陳福來(lái),李勢(shì)豐,王華.分?jǐn)?shù)階微分(差分)方程的Matlab求解程序[J].湘南學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32(5): 1-4.

[3]趙靜,但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

表2　美國(guó)實(shí)際人口與按阻滯增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較

取不同值時(shí)相對(duì)誤差比較圖

[作者簡(jiǎn)介]李晨薇(1998—),女,湖南長(zhǎng)沙人,長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)學(xué)生；指導(dǎo)老師：陳福來(lái)(1971—),男,湖南桂東人,湘南學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,教授,博士。研究方向：數(shù)學(xué)建模和數(shù)值仿真。