吳懌昊　羅志才,2

1　武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢市珞喻路129號(hào)，430079 2　武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市珞喻路129號(hào)，430079

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融合多源數(shù)據(jù)的局部重力場建模中線性化誤差的研究

吳懌昊1羅志才1,2

1武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢市珞喻路129號(hào)，430079 2武漢大學(xué)地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢市珞喻路129號(hào)，430079

摘要：引入高階重力場模型作為參考場，削弱局部重力場逼近中線性化誤差的影響。以實(shí)測的陸地重力異常、船載重力異常及航空重力擾動(dòng)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，基于泊松小波徑向基函數(shù)分析不同參考場對局部重力場逼近的影響。結(jié)果表明，引入高階全球重力場模型代替GRS80參考橢球正常場作為參考場，能更為準(zhǔn)確地逼近真實(shí)的重力場，有效削弱線性化誤差的影響。相比于基于GRS80正常場構(gòu)建的似大地水準(zhǔn)面模型，基于DGM1S重力場模型為參考場構(gòu)建的似大地水準(zhǔn)面的精度，在地形起伏較大的德國、英國及挪威區(qū)域分別提高了1.5 mm、3.3 mm和9.0 mm。

關(guān)鍵詞：局部重力場建模；線性化誤差；泊松小波基函數(shù)；全球重力場模型

局部重力場建模的研究往往歸結(jié)為對擾動(dòng)位的研究，即從重力位中移去由參考橢球代表的正常重力位得到的差值[1]?；诖耍亓τ^測值需移去正常重力值并經(jīng)過相應(yīng)的歸算后應(yīng)用于局部重力場的解算，但此過程會(huì)不可避免地引入相應(yīng)的線性化誤差[2]。Heck[3]的研究表明，上述線性化的誤差可能分別對于重力異常/擾動(dòng)和高程異常產(chǎn)生mGal級(jí)和cm級(jí)以上的誤差。Denker[4]提出使用高階全球重力場模型作為參考重力場，以削弱線性化誤差的影響，并進(jìn)行了相關(guān)理論推導(dǎo)。上述研究表明，在高精度的局部重力場建模中需考慮線性化誤差的影響。然而如何基于全球重力場模型為參考場，研究融合多源數(shù)據(jù)構(gòu)建局部重力場模型的線性化誤差，國內(nèi)外未有相關(guān)成果發(fā)表。基于此，本文以泊松小波徑向基函數(shù)(radial basis functions)為構(gòu)造基函數(shù)[5-8]，基于部分歐洲地區(qū)的地面重力、船載重力及航空重力數(shù)據(jù)，以移去-恢復(fù)法為基本框架，分別利用全球重力場模型以及參考橢球確定的參考場構(gòu)建相應(yīng)的似大地水準(zhǔn)面模型，分析全球重力場模型在削弱線性化誤差中的應(yīng)用。

1局部重力場建模方法

基于移去-恢復(fù)法，殘余擾動(dòng)位Tres可表示為有限個(gè)泊松小波基函數(shù)之和[7-8]：

(1)

式中，x為重力場觀測數(shù)據(jù)的三維坐標(biāo)，y為基函數(shù)的位置，K為基函數(shù)的個(gè)數(shù)，βi為基函數(shù)的未知參數(shù)，Ψ(x,yi)為泊松小波徑向基函數(shù)，其具體形式可參考文獻(xiàn)[7-8]。

多源重力場觀測數(shù)據(jù)可表示為擾動(dòng)位的泛函。本文利用航空重力擾動(dòng)δg、陸地及船測重力異常Δg逼近局部重力場，其解算結(jié)果以似大地水準(zhǔn)面即高程異常ζ顯示。上述重力場的相關(guān)參量在球面近似條件下分別與擾動(dòng)位存在如下函數(shù)關(guān)系[7]：

(2)

(3)

(4)

式中，γ為平均正常重力值。

結(jié)合式(1)，對某一類觀測值可以建立如下觀測方程[7]：

(5)

式中，Lp為第p類的重力場信息觀測值，Δp為觀測誤差，fp為此類觀測值與擾動(dòng)位之間的泛函關(guān)系，J為觀測數(shù)據(jù)種類的個(gè)數(shù)。將式(5)改寫為誤差方程的形式：

Vp=ApX-lp

(6)

式中，Ap為mp×K設(shè)計(jì)矩陣，X為K×1基函數(shù)的未知參數(shù)向量，lp為該觀測類mp×1誤差方程的常數(shù)項(xiàng)向量，Vp為mp×1觀測值殘差向量，mp為該類重力場觀測值的個(gè)數(shù)。將各類觀測值聯(lián)合起來，總的誤差方程可表示為：

V=AX-l

(7)

式中，

(8)

假定不同類型的觀測值之間互不相關(guān)，觀測數(shù)據(jù)的方差-協(xié)方差陣可以表示為：

(9)

利用最小二乘原理，基函數(shù)的未知參數(shù)向量X的估值可表示為：

(10)

式中，

(11)

(12)

為了對各類觀測值進(jìn)行合理的定權(quán)，采用方差分量估計(jì)的方法，即通過平差隨機(jī)模型的驗(yàn)后估計(jì)方法重新估計(jì)各類觀測值的單位權(quán)方差因子[9]：

(13)

(14)

基于上述原理，重力觀測數(shù)據(jù)需移去正常重力值并進(jìn)行歸算后應(yīng)用于局部重力場的解算，而上述數(shù)據(jù)處理過程中不可避免地引入了相應(yīng)的線性化誤差[2]。

2基于高階重力場模型的觀測數(shù)據(jù)線性化模型

Denker[4]提出使用高階全球重力場模型作為參考重力場，以削弱線性化誤差的影響?；贛olodensky邊值理論，假設(shè)P點(diǎn)為地球表面上的一點(diǎn)，Q點(diǎn)為相應(yīng)于P點(diǎn)位于似地形表面上的點(diǎn)，則有[1]：

(15)

式中，φP和φQ分別為P點(diǎn)和Q點(diǎn)的緯度，λP和λQ分別為P點(diǎn)和Q點(diǎn)的經(jīng)度，UQ為Q點(diǎn)的正常位，U0為參考橢球面的正常位，W0和WP分別為大地水準(zhǔn)面和P點(diǎn)上的重力位。

P點(diǎn)擾動(dòng)位TP為[1]：

TP=WP-UP

(16)

利用泰勒級(jí)數(shù)，將P點(diǎn)的正常位UP在Q點(diǎn)展開，忽略高階項(xiàng)的影響[1]：

(17)

式中，γQ為Q點(diǎn)的正常重力。結(jié)合式(15)，P點(diǎn)的高程異常ζP可表示為[1]：

(18)

式(18)即為廣義布隆斯公式。在球面近似的條件下，P點(diǎn)的重力擾動(dòng)δg和重力異常Δg可表示為[1]：

(19)

(20)

式(17)中，利用參考橢球確定的正常重力場(通常為GRS80橢球確定的正常場)確定了P點(diǎn)與Q點(diǎn)正常重力位之間的關(guān)系，由于忽略了高階項(xiàng)的影響，會(huì)引入相應(yīng)的線性化誤差。Heck[3]的研究表明，忽略高階項(xiàng)帶來的線性化誤差對于重力異常/擾動(dòng)的影響達(dá)到mGal級(jí)，對于高程異常的影響可達(dá)cm級(jí)。Denker[4]引入全球重力場模型作為參考場來削弱線性化誤差的影響。此時(shí)，Q點(diǎn)的位置變化為全球重力場模型確定的似地形表面上，用Q*表示，則式(15)變?yōu)閇4]：

(21)

相對于參考橢球確定的正常重力場，由全球重力場模型確定的參考場能更為準(zhǔn)確地逼近真實(shí)的重力場。因此，較之于Q點(diǎn)，Q*點(diǎn)更接近于真實(shí)的地形表面。Q*點(diǎn)的橢球高h(yuǎn)Q*可通過式(22)迭代計(jì)算[4]：

(22)

引入全球重力場為參考場后，P點(diǎn)的擾動(dòng)位TP也相應(yīng)變?yōu)門*P，則式(16)變?yōu)閇4]：

(23)

(24)

(25)

(26)

3數(shù)值計(jì)算與分析

3.1多源數(shù)據(jù)及預(yù)處理

收集覆蓋整個(gè)荷蘭、比利時(shí)、英國、部分德國、法國、丹麥、挪威和北海部分區(qū)域的多源重力觀測數(shù)據(jù)。其中，陸地重力數(shù)據(jù)的精度約為1mGal，平均空間分辨率約為5km，見圖1(a)；船載重力數(shù)據(jù)的精度約為2mGal，平均空間分辨率約為7km,見圖1(b)；航空重力數(shù)據(jù)的精度約為2mGal，見圖1(c)。通過交叉點(diǎn)平差的方法完成船載、航空重力數(shù)據(jù)中系統(tǒng)偏差的校正；利用閾值法和Hampel濾波剔除多源重力數(shù)據(jù)中存在的粗差；利用低通濾波削弱船載、航空重力數(shù)據(jù)中存在的高頻噪聲的影響，并將各類重力觀測數(shù)據(jù)歸算到同一參考框架(ETRS89)及垂直基準(zhǔn)(EVRF2007)。重力場模型采用代爾夫特理工大學(xué)基于GRACE/GOCE聯(lián)合解算的模型DGM1S，其球諧展開階數(shù)達(dá)到250階[10]?；谝迫?恢復(fù)法，利用DGM1S模型移去全球重力場模型代表的重力場的長波信號(hào)，并基于殘余地形模型(RTM)移去局部地形擾動(dòng)引起的高頻重力場信息[11]，計(jì)算得到的殘余重力觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)信息見表1。同樣，基于移去-恢復(fù)法移去由GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)確定的高程異常中的DGM1S模型以及RTM模型分別代表的低頻和高頻部分，圖2顯示了用于后續(xù)局部似大地水準(zhǔn)面模型精度評(píng)價(jià)的GPS水準(zhǔn)點(diǎn)上的殘余高程異常。

3.2基于DGM1S為參考場構(gòu)建的局部似大地水準(zhǔn)面模型

基于上述多源重力數(shù)據(jù)，利用泊松小波基函數(shù)構(gòu)建局部重力場模型，計(jì)算區(qū)域覆蓋荷蘭、比利時(shí)、英國以及部分挪威、德國、法國和北海區(qū)域。圖3(a)表示基于DGM1S模型為參考重力場解算得到的殘余似大地水準(zhǔn)面，圖3(b)表示分別利用DGM1S模型與GRS80橢球?yàn)閰⒖紙鼋馑愕玫降乃拼蟮厮疁?zhǔn)面的差距，其差距可達(dá)cm級(jí)且主要集中在挪威南部、英國及德國部分山脈地區(qū)。表2和表3分別給出了基于DGM1S模型與GRS80參考橢球正常場為參考場構(gòu)建的似大地水準(zhǔn)面的檢核結(jié)果。基于兩種參考場構(gòu)建的似大地水準(zhǔn)面在地勢平坦的荷蘭、比利時(shí)區(qū)域精度相當(dāng)。而在地形起伏較大的德國、英國及挪威相關(guān)區(qū)域，前者精度分別比后者提高了1.5 mm、3.3 mm和9.0 mm。在多山區(qū)域，由于地形擾動(dòng)的影響，由參考橢球確定的似地形表面與真實(shí)的地形表面差距較大，在數(shù)據(jù)歸算時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的線性化誤差。而利用DGM1S重力場模型代替GRS80正常場能夠更為準(zhǔn)確地逼近真實(shí)的重力場，減小線性化誤差。

4結(jié)語

本文研究了局部重力場逼近中的線性化誤差問題，引入高階重力場模型作為參考重力場，從而削弱線性化誤差的影響。利用泊松小波徑向基函數(shù)為構(gòu)造基函數(shù)，以實(shí)測的陸地重力異常、船載重力異常及航空重力擾動(dòng)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，比較了不同參考場模型對于局部重力場逼近的影響。結(jié)果表明，在多山地區(qū)，基于GRS80參考橢球的正常重力場模型構(gòu)建的似大地水準(zhǔn)面可能引入cm級(jí)的線性化誤差，而利用DGM1S重力場模型作為參考場更為接近真實(shí)的局部重力場，可以有效地削弱線性化誤差的影響。在地形起伏較大的德國、英國及挪威相關(guān)區(qū)域，基于后者構(gòu)建的似大地水準(zhǔn)面的精度分別比前者提高了1.5 mm、3.3 mm和9.0 mm。

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Foundation support:National Natural Science Foundation of China, No. 41374023.

About the first author:WU Yihao, PhD candidate, majors in physical geodesy, E-mail: whuwyh@126.com.

The Research on Linearization Errors in Regional Gravity Field Modeling Based on Heterogeneous Data Sets

WUYihao1LUOZhicai1,2

1School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University,129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China 2Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy, Ministry of Education, Wuhan University,129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China

Abstract:This paper studies the issues of linearization errors in regional gravity field modeling and introduces the high-order global gravity model as reference gravity field to reduce the corresponding linearization errors. As an example, we analyze the effects on regional gravity field modeling introduced by different reference gravity fields. To do so, we use Poisson wavelets radial basis functions based on terrestrial and shipboard gravity anomaly andon airborne gravity disturbance. The results show that the incorporation of global gravity field model, instead of GRS80-derived normal gravity field, as the reference gravity field leads a better approximation of the real gravity field. The corresponding linearization errors are also reduced. Compared to the quasi-geoid computed from the GRS80-derived normal gravity field, the accuracy of the quasi-geoid based on DGM1S-derived reference gravity field is improved by 1.5 mm, 3.3 mm and 9.0 mm at Germany, England and Norway respectively, where the topography show more undulation.Key words: regional gravity field modeling; linearization errors; Poisson wavelets radial basis function; global gravity field model

收稿日期：2015-10-11

第一作者簡介：吳懌昊，博士生，主要從事物理大地測量學(xué)研究，E-mail: whuwyh@126.com。 通訊作者：羅志才，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事物理大地測量學(xué)和衛(wèi)星重力學(xué)研究，E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.002

文章編號(hào)：1671-5942(2016)06-0476-05

中圖分類號(hào)：P223

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Corresponding author:LUO Zhicai, professor, PhD supervisor, majors in physical geodesy and satellite gravity, E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn.

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金 (41374023)。