梁建青　沈云中　陳秋杰,2　張興福

1　同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號(hào)，200092 2　香港理工大學(xué)建設(shè)及環(huán)境學(xué)院，香港育才道11號(hào)，999077 3　廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣州市大學(xué)城外環(huán)西路100號(hào)，510006

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利用GOCE衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)反演地球重力場(chǎng)模型

梁建青1沈云中1陳秋杰1,2張興福3

1同濟(jì)大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號(hào)，200092 2香港理工大學(xué)建設(shè)及環(huán)境學(xué)院，香港育才道11號(hào)，999077 3廣東工業(yè)大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，廣州市大學(xué)城外環(huán)西路100號(hào)，510006

摘要：利用GOCE衛(wèi)星約6個(gè)月的重力梯度數(shù)據(jù)和約1 a的幾何軌道數(shù)據(jù)，聯(lián)合解算250階次的地球重力場(chǎng)模型TJGOCE01。GOCE重力梯度數(shù)據(jù)的低頻誤差采用ⅡR數(shù)字濾波器處理，粗差采用閥值法和移動(dòng)窗口閥值法組合探測(cè)與剔除。直接在梯度儀坐標(biāo)系中建立GOCE衛(wèi)星的重力梯度觀測(cè)方程，采用改進(jìn)的短弧邊值法建立幾何軌道觀測(cè)方程。兩類觀測(cè)值的權(quán)根據(jù)其先驗(yàn)精度確定，采用Kaula規(guī)則約束的正則化方法解算法方程。解算的TJGOCE01模型相對(duì)于EIGEN6C2模型在250階次的大地水準(zhǔn)面誤差和大地水準(zhǔn)面累積誤差分別為19.4 mm和177.9 mm。北美地區(qū)GPS水準(zhǔn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)結(jié)果表明，TJGOCE01模型的中誤差為0.544 m，略優(yōu)于歐空局公布的同階次的第二代時(shí)域法和空域法解算的GOCE重力場(chǎng)模型。

關(guān)鍵詞：GOCE衛(wèi)星；重力場(chǎng)模型；直接法；Kaula正則化；ⅡR 濾波器

GOCE計(jì)劃的預(yù)期目標(biāo)是以優(yōu)于100 km的空間分辨率，求得重力異常精度優(yōu)于1～2 mGal、大地水準(zhǔn)面精度優(yōu)于1 cm的全球靜態(tài)重力場(chǎng)模型。然而，由于重力梯度儀本身的缺陷，無法給出全頻段的高精度梯度數(shù)據(jù)，且只有4個(gè)梯度分量在觀測(cè)頻段0.005～0.1 Hz范圍內(nèi)能夠達(dá)到所需精度。在觀測(cè)頻段外，特別是低頻部分則包含很大的誤差，需要采用合適的濾波方法進(jìn)行處理[1-2]。GOCE觀測(cè)數(shù)據(jù)存在粗差，需要分析這些粗差的來源和種類，并選擇合適的探測(cè)方法進(jìn)行剔除[3]。GOCE衛(wèi)星采用傾角約為96.7°的近圓形太陽同步傾斜軌道，因此出現(xiàn)極區(qū)數(shù)據(jù)空白，引起解算模型病態(tài)，需要進(jìn)行正則化處理。此外，因?yàn)镚OCE衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù)對(duì)重力場(chǎng)的中長(zhǎng)波信號(hào)敏感，重力梯度數(shù)據(jù)對(duì)重力場(chǎng)的中短波信號(hào)敏感，所以在聯(lián)合軌道數(shù)據(jù)和重力梯度數(shù)據(jù)解算高精度、高分辨率重力場(chǎng)模型的過程中需要合理地確定兩類觀測(cè)數(shù)據(jù)的權(quán)。目前，利用衛(wèi)星重力梯度數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場(chǎng)模型的代表性方法有直接法、時(shí)域法和空域法?？沼蚍軌蚩焖俳馑愠鲋亓?chǎng)模型，但是精度相對(duì)較低；時(shí)域法能夠解算得到獨(dú)立的GOCE重力場(chǎng)模型，但計(jì)算量較大；直接法解算重力場(chǎng)模型的精度最高，但計(jì)算量也最大。基于這些方法，ICGEM(International Centre for Global Earth Models)發(fā)布了利用GOCE衛(wèi)星觀測(cè)數(shù)據(jù)解算的一系列地球重力場(chǎng)模型。

本文利用GOCE衛(wèi)星2011-01-19～2011-06-30的重力梯度數(shù)據(jù)(約6個(gè)月)和2011-01-19～2011-12-31的軌道數(shù)據(jù)(約12個(gè)月)，采用無限脈沖帶通數(shù)字濾波器處理GOCE梯度數(shù)據(jù)的低頻誤差，采用閥值法和移動(dòng)窗口閥值法相結(jié)合探測(cè)與剔除GOCE觀測(cè)數(shù)據(jù)的粗差，采用直接法解算250階次的重力場(chǎng)模型TJGOCE01，最后用EIGEN6C2模型和北美地區(qū)的GPS水準(zhǔn)觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)該重力場(chǎng)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 觀測(cè)模型和數(shù)據(jù)處理方法

1.1GOCE軌道數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場(chǎng)的觀測(cè)方程

利用高低衛(wèi)星跟蹤衛(wèi)星數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場(chǎng)模型的方法主要有Kaula線性攝動(dòng)法、動(dòng)力學(xué)積分法、短弧邊值法、加速度法和能量守恒法等。傳統(tǒng)的短弧邊值法的觀測(cè)方程為：

(1)

(2)

GOCE衛(wèi)星在運(yùn)行過程中受到地球中心引力、非球形引力、日月引力、固體潮和海潮等保守力與大氣阻力、太陽光壓等非保守力攝動(dòng)。保守力可以根據(jù)高精度的模型計(jì)算得到，采用的保守力模型及其說明見表1[4]。GOCE衛(wèi)星非保守力采用無阻力推進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償，但是由于衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)控等多種因素的影響，不能完全補(bǔ)償?shù)舴潜Ｊ亓?，因此通過估計(jì)3個(gè)方向的偏差參數(shù)和1周期的振幅參數(shù)來吸收殘余非保守力加速度[5-6]：

(3)

其中，(fx,fy,fz)為GOCE衛(wèi)星在3個(gè)方向受到的非保守力，(ax,ay,az)和(bx,by,bz,cx,cy,cz)分別是非保守力加速度的偏差和振幅參數(shù)，v=2πt/T為真近點(diǎn)角，T=5 400 s為衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期。需要注意的是，式(3)只在局部軌道直角坐標(biāo)系中成立。

根據(jù)改進(jìn)短弧邊值法[4]，式(1)中所有衛(wèi)星的位置向量，包括力模型中的位置向量均引入改正數(shù)。離散化式(1)，得：

(4)

式中，u0、p0分別是u、p的先驗(yàn)值，δu、δp是要估計(jì)的未知參數(shù)，αk是積分系數(shù)，N是弧段的歷元總數(shù)。

消去殘余非保守力加速度的補(bǔ)償參數(shù)，并將所有弧段的法方程合并，得到用軌道數(shù)據(jù)求解位系數(shù)的總法方程：

(5)

式中，N1為法方程系數(shù)矩陣，w1為其常數(shù)項(xiàng)。

1.2GOCE梯度數(shù)據(jù)恢復(fù)重力場(chǎng)的觀測(cè)方程

GOCE衛(wèi)星的重力梯度分量采用3對(duì)加速度計(jì)觀測(cè)得到，其9個(gè)重力梯度分量為：

(6)

由于Γ是對(duì)稱矩陣，且其3個(gè)主對(duì)角量滿足拉普拉斯方程，因此只有5個(gè)量是獨(dú)立的。由于重力梯度儀自身的缺陷，只有Γxx、 Γyy、Γzz、Γxz分量滿足測(cè)量精度要求。為避免精度較差的重力梯度分量對(duì)解算重力場(chǎng)模型的影響，只采用4個(gè)精度滿足要求的重力梯度分量，并在梯度儀坐標(biāo)系(GRF)下直接建立觀測(cè)方程。

在地固坐標(biāo)系(EFRF)下的引力梯度張量可以表示為：

(7)

將該引力梯度張量轉(zhuǎn)換至梯度儀坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)換矩陣為：

(8)

(9)

式中，E為觀測(cè)誤差組成的矩陣。因此，引入重力位系數(shù)的近似值u0代入式(9)右邊，將式(9)中滿足精度要求的4個(gè)觀測(cè)量表示成向量，并將各歷元的誤差方程合并在一起，表示為：

v=Aδu-d

(10)

式中，δu為位系數(shù)改正數(shù)向量，A為其設(shè)計(jì)矩陣，d為梯度觀測(cè)值與近似值u0求得的參考引力梯度值之差，v為殘差向量。

由于GOCE衛(wèi)星的梯度測(cè)量頻帶為0.005～0.1 Hz,低頻部分包含較大的誤差，若采用有限脈沖帶通數(shù)字濾波器(FIR)處理低頻誤差，則計(jì)算量較大[7]。因此，本文采用無限脈沖帶通數(shù)字濾波器(ⅡR)處理梯度數(shù)據(jù)的低頻誤差。對(duì)誤差方程的系數(shù)矩陣和梯度觀測(cè)值進(jìn)行同步濾波，從而避免濾波產(chǎn)生的相位漂移問題帶來的影響，具體濾波過程為：

(11)

式中，F(xiàn){}為ⅡR濾波算子。經(jīng)過ⅡR濾波之后的梯度儀坐標(biāo)系下直接法求解重力場(chǎng)模型的法方程為：

N2δu=w2

(12)

式中，N2=(F{AGRF})TP(F{AGRF}),w2=(F{A})TPFznnr5rf。

1.3聯(lián)合GOCE軌道和梯度數(shù)據(jù)的解算模型

GOCE衛(wèi)星的軌道和梯度數(shù)據(jù)分別反映了不同頻段的重力場(chǎng)信號(hào)，其中軌道數(shù)據(jù)對(duì)重力場(chǎng)的中長(zhǎng)波信號(hào)比較敏感，梯度數(shù)據(jù)對(duì)重力場(chǎng)的中短波信號(hào)比較敏感。聯(lián)合這兩種類型的觀測(cè)數(shù)據(jù)解算高精度的重力場(chǎng)模型必須合理確定其權(quán)。本文根據(jù)軌道和梯度數(shù)據(jù)的先驗(yàn)精度進(jìn)行定權(quán)，其中GOCE軌道的精度約為0.02 m，梯度的測(cè)量精度約為2 mE。若計(jì)算式(5)和式(12)時(shí)，已經(jīng)根據(jù)先驗(yàn)精度進(jìn)行了定權(quán)，則聯(lián)合軌道數(shù)和梯度數(shù)據(jù)解算重力場(chǎng)模型的法方程為：

(13)

由于利用GOCE觀測(cè)數(shù)據(jù)解算重力場(chǎng)模型是病態(tài)的，因此采用Kaula規(guī)則約束的正則化方法解算病態(tài)方程。GOCE病態(tài)方程的正則化解為：

(14)

式中，α為正則化參數(shù)，正則化矩陣K為對(duì)角陣，其對(duì)角線元素為Kaula階方差的倒數(shù)。根據(jù)Kaula 規(guī)則，n階系數(shù)對(duì)應(yīng)的對(duì)角線元素為：

kn=2.0×1010n4

(15)

最優(yōu)正則化參數(shù)α根據(jù)L曲線法確定[8-9]。

2 數(shù)據(jù)處理與重力場(chǎng)模型解算

2.1數(shù)據(jù)預(yù)處理

閥值法能夠準(zhǔn)確識(shí)別時(shí)間較長(zhǎng)區(qū)域的粗差，移動(dòng)窗口的閥值法能夠較好地識(shí)別離散粗差或短歷元區(qū)域粗差，在探測(cè)粗差時(shí)兩者可以互補(bǔ)，所以本文采用閥值法和移動(dòng)窗口的閥值法組合探測(cè)與剔除粗差[10]。由于重力梯度在觀測(cè)頻段外，特別是低頻部分包含大量的噪聲，因此需要對(duì)梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理。本文采用9階巴特沃斯(Butter)的無限脈沖帶通數(shù)字濾波器(ⅡR)對(duì)誤差方程的系數(shù)矩陣和梯度擾動(dòng)值進(jìn)行同步濾波。

為驗(yàn)證ⅡR數(shù)字濾波器處理梯度數(shù)據(jù)低頻誤差的效果，取2011-03-01～2011-03-10梯度數(shù)據(jù)的各個(gè)梯度分量進(jìn)行濾波處理，濾波器的帶通頻率為0.005～0.1 Hz，根據(jù)式(11)得到濾波前后的誤差功率譜(圖1)。

由圖1可知，該濾波方法基本上能夠達(dá)到濾除低頻誤差的目的，同時(shí)也能夠有效保留觀測(cè)頻帶內(nèi)的信號(hào)。

2.2重力場(chǎng)模型解算

采用GOCE衛(wèi)星2011-01-19～2011-06-30的梯度觀測(cè)數(shù)據(jù)和2011-01-19～2011-12-31的幾何軌道觀測(cè)數(shù)據(jù)解算重力場(chǎng)模型，其中軌道數(shù)據(jù)只用于解算120階次的模型系數(shù)，梯度數(shù)據(jù)解算至250階次的模型系數(shù)。各梯度數(shù)據(jù)Γxx、Γyy、Γzz、Γxz的權(quán)相同，軌道與梯度數(shù)據(jù)的權(quán)根據(jù)其先驗(yàn)精度確定，若軌道的權(quán)為1，則梯度的權(quán)為1.0×1020。參考引力梯度由參考模型EIGEN5C計(jì)算得到。

在重力場(chǎng)模型解算的過程中，按60 min的弧長(zhǎng)單獨(dú)形成各個(gè)弧段的法方程，并按弧段消去其他參數(shù)，最后將所有弧段關(guān)于位系數(shù)的法方程疊加求解位系數(shù)。由于該解算模型是病態(tài)的，采用Kaula規(guī)則對(duì)二階以上的重力位系數(shù)約束后進(jìn)行正則化解算，其最優(yōu)正則化參數(shù)根據(jù)L曲線法確定(圖2)，為3.16×107，由式(14)計(jì)算重力場(chǎng)模型TJGOCE01。

3 重力場(chǎng)模型分析與檢驗(yàn)

歐空局發(fā)布的第二代重力場(chǎng)模型TIM-R2、SPW-R2和DIR-R2只采用了GOCE衛(wèi)星的觀測(cè)數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)量與TJGOCE01模型接近。本文比較TJGOCE01、TIM-R2、SPW-R2和DIR-R2模型相對(duì)于EIGEN6C2模型的大地水準(zhǔn)面誤差和大地水準(zhǔn)面累積誤差，結(jié)果見圖3、圖4。

由圖3可知，TJGOCE01模型前120階次位系數(shù)精度均優(yōu)于TIM-R2與SPW-R2模型。TJGOCE01模型前80階次位系數(shù)精度明顯低于EIGEN5C模型，是因?yàn)镋IGEN5C模型采用了GRACE星間距離變率數(shù)據(jù)；但其在80～180階次部分精度優(yōu)于EIGEN5C模型，說明梯度數(shù)據(jù)能有效改善中短波長(zhǎng)重力位精度。TJGOCE01模型精度在160階次之前低于DIR-R2模型，因?yàn)槠洳捎玫奶荻葦?shù)據(jù)量相對(duì)較少，并且只采用了Kaula規(guī)則約束的正則化方法解算病態(tài)法方程；而DIR-R2模型采用ITG-GRACE2010S作為先驗(yàn)信息的SCRA正則化方法和Kaula正則化方法共同解算法方程，因此其低階次的精度更接近于ITG-GRACE2010S模型的精度。TJGOCE01模型在180階次之后和TIM-R2、SPW-R2、DIR-R2模型的精度相當(dāng)。

由圖4可知，TJGOCE01模型相對(duì)于EIGEN5C模型，在同階次的大地水準(zhǔn)面累積誤差均小于TIM-R2和SPW-R2模型，主要原因是TJGOCE01模型采用了1 a的軌道數(shù)據(jù)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證TJGOCE01模型的精度，選取2012年北美地區(qū)GPS水準(zhǔn)網(wǎng)中的21 289個(gè)點(diǎn)對(duì)TJGOCE01模型進(jìn)行檢核。由于各個(gè)模型的最大階次不一樣，將TJGOCE01、TIM-R2、SPW-R2和DIR-R2模型分別截?cái)嘀料嗤碾A次并計(jì)算其大地水準(zhǔn)面差距，最后將計(jì)算的大地水準(zhǔn)面差距和GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)比較，以驗(yàn)證TJGOCE01模型的外部符合精度(表2)。

由表2可知，各個(gè)模型計(jì)算的大地水準(zhǔn)面差距與GPS水準(zhǔn)數(shù)據(jù)間的標(biāo)準(zhǔn)差都超過0.5 m，主要原因是各模型最大階次僅為250，模型的截?cái)嗾`差較大。TJGOCE01模型的標(biāo)準(zhǔn)差與其他模型相當(dāng)，驗(yàn)證了TJGOCE01模型的可靠性。

4 結(jié)語

本文利用GOCE軌道數(shù)據(jù)和梯度數(shù)據(jù)，采用直接法解算了250階次的重力場(chǎng)模型TJGOCE01。采用無限脈沖帶通數(shù)字濾波器處理梯度數(shù)據(jù)的低頻誤差，并采用閥值法和移動(dòng)窗口的閥值法組合探測(cè)與剔除粗差。在梯度儀坐標(biāo)系中直接建立梯度觀測(cè)方程，采用改進(jìn)短弧邊值法處理軌道數(shù)據(jù)，同時(shí)根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的先驗(yàn)精度確定軌道數(shù)據(jù)和梯度數(shù)據(jù)的最優(yōu)權(quán)，并采用Kaula規(guī)則約束的正則化方法解算法方程，采用L曲線法求解最優(yōu)正則化參數(shù)。

以EIGEN6C2模型為參考，TJGOCE01模型精度在120階次之前高于TIM-R2和SPW-R2模型，低于DIR-R2模型；在80～180階次高于EIGEN5C模型。相對(duì)于EIGEN6C2模型，TJGOCE01模型在250階次的大地水準(zhǔn)面誤差和大地水準(zhǔn)面累積誤差為19.4 mm和177.9 mm，略優(yōu)于歐空局公布的第二代時(shí)域法和空域法解算的同階次的GOCE重力場(chǎng)模型。北美GPS水準(zhǔn)觀測(cè)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)結(jié)果表明，TJGOCE01模型的標(biāo)準(zhǔn)差與TIM-R2、SPW-R2和DIR-R2重力場(chǎng)模型的差異比較小，驗(yàn)證了本文反演方法的正確性。

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Foundation support:National Natural Science Foundation of China, No.41474017, 41274035.

About the first author:LIANG Jianqing, postgraduate, majors in satellite gravimetry, E-mail:liangjianqing9999@163.com.

Gravity Field Model Recovery Using the GOCE Data

LIANGJianqing1SHENYunzhong1CHENQiujie1,2ZHANGXingfu3

1College of Surveying and Geo-Informatics, Tongji University, 1239 Siping Road, Shanghai 200092, China 2Faculty of Construction and Environment, Hong Kong Polytechnic University,11 Yucai Street, Hong Kong 999077, China 3School of Civil and Transportation Engineering, Guangdong University of Technology, 100 West-Waihuan Road, Guangzhou 510006, China

Abstract:In this paper, a global gravity field model entitled TJGOCE01 up to the degree and order 250 is recovered from about 6 months of GOCE gravity gradient data and 12 months of GOCE orbit data,

using a direct approach. The gravity gradient data are filtered by an infinite impulse bandpass digital filter, and gross errors are detected and removed using the threshold and a moving window threshold methods. The gravity gradient observational equations are established in the gradiometer coordinate system directly and the kinematic orbit observation equations are established by using a modified short-arc approach. The weights of the two kinds of observations are determined based on their prior accuracies, and the regularization approach based on Kaula’s rule is applied to solve the normal equation. The geoid error and cumulative geoid error up to degree and order 250 of TJGOCE01 model with respect to EIGEN6C2 model are 19.4 mm and 177.9 mm, respectively. The test results with the GPS leveling data in North America show that the root mean square error of TJGOCE01 model is 0.544 m, which is superior to the second generation models developed by the European Space Agency using time-wise and space-wise approaches.

Key words:GOCE satellite; gravity model; direct approach; Kaula regularization; ⅡR filter

收稿日期：2015-06-19

第一作者簡(jiǎn)介：梁建青，碩士生，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星重力測(cè)量，E-mail:liangjianqing9999@163.com。

DOI：10.14075/j.jgg.2016.06.001

文章編號(hào)：1671-5942(2016)06-0471-05

中圖分類號(hào)：P223

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

項(xiàng)目來源：國(guó)家自然科學(xué)基金(41474017, 41274035)。