陳集思，　楊俊華，　林卓勝，　吳　捷

(1. 廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州　510006；2. 華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣東 廣州　510641)

基于最大Lyapunov指數(shù)的無刷雙饋電機(jī)混沌現(xiàn)象分析*

陳集思1，楊俊華1，林卓勝1，吳捷2

(1. 廣東工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院，廣東 廣州510006；2. 華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣東 廣州510641)

摘要：從混沌機(jī)理研究角度，采用數(shù)值仿真方法計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)，分析并驗(yàn)證了無刷雙饋電機(jī)中存在的混沌現(xiàn)象?；跓o刷雙饋電機(jī)d-q軸數(shù)學(xué)模型，導(dǎo)出非線性微分方程；以轉(zhuǎn)子運(yùn)動時間常數(shù)的倒數(shù)為電機(jī)系統(tǒng)的控制參量，根據(jù)實(shí)際電機(jī)參數(shù)構(gòu)建無刷雙饋電機(jī)的混沌模型；通過計(jì)算混沌模型的最大Lyapunov指數(shù)，分析電機(jī)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象時所對應(yīng)的參數(shù)范圍。采用MATLAB建模仿真，論證了無刷雙饋電機(jī)進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)時的參數(shù)條件。

關(guān)鍵詞：無刷雙饋電機(jī)； 混沌運(yùn)動； 數(shù)值仿真； 最大Lyapunov指數(shù)； 混沌吸引子

0引言

無刷雙饋電機(jī)(Brushless Doubly-Fed Machine， BDFM)是一種異步化的交流勵磁同步電機(jī)，定子上有功率和控制兩套繞組，結(jié)構(gòu)上，與繞線式異步電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子繞組有相似之處[1]。由于其高可靠性和低維護(hù)成本，在惡劣的風(fēng)電場環(huán)境下呈現(xiàn)出明顯優(yōu)勢。近些年來，關(guān)于BDFM的本體研究和控制策略研究方興未艾，標(biāo)量控制[2]、矢量控制[3]、直接轉(zhuǎn)矩控制[4]等控制策略獲得了較多關(guān)注。雖然電機(jī)控制策略不斷優(yōu)化改進(jìn)，但電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行中仍然存在著不規(guī)則運(yùn)動，如不規(guī)則電磁噪聲、不規(guī)則轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速間歇振蕩等問題[5]。隨著對電機(jī)系統(tǒng)認(rèn)知的不斷提高，發(fā)現(xiàn)電機(jī)運(yùn)行中出現(xiàn)的種種不規(guī)則運(yùn)動非常類似于非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。

繼相對論和量子力學(xué)之后，混沌學(xué)被稱為20世紀(jì)科學(xué)界中又一偉大理論成果，不同于平衡點(diǎn)、周期解、次諧波解和準(zhǔn)周期解等行為，混沌是一種隨機(jī)但有界的穩(wěn)態(tài)行為[6]。Li-Yorke于1975年在“周期三意味著混沌”一文中最早提出混沌概念[7]，文章以數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性分析了任何一維系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)規(guī)則的周期三，則同一系統(tǒng)中必然會給出其他任意長的規(guī)則周期，以及完全混沌的循環(huán)。當(dāng)然，不同文獻(xiàn)中，混沌的主要特征表述不盡相同，但一般而言，混沌的主要特征包括：確定系統(tǒng)的內(nèi)隨機(jī)性、對初始條件的敏感性、具有正的李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)等[8]。過去幾十年，在電機(jī)等各個學(xué)科領(lǐng)域中開展了廣泛的混沌研究，面對由電機(jī)本體、功率變換器和控制器等多個復(fù)雜系統(tǒng)構(gòu)成的電機(jī)控制系統(tǒng)，混沌分析首先應(yīng)從電機(jī)本體開始，而永磁同步電機(jī)混沌運(yùn)動現(xiàn)象是當(dāng)前國內(nèi)外研究的主要熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[9]首次將Lyapunov指數(shù)作為永磁同步電機(jī)混沌現(xiàn)象分析的理論依據(jù)，通過計(jì)算Lyapunov指數(shù)和容量維，驗(yàn)證了電機(jī)中混沌現(xiàn)象的存在。文獻(xiàn)[10]導(dǎo)出了適于分岔和混沌分析的永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，研究了電機(jī)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)、極限環(huán)和混沌三種運(yùn)動狀態(tài)，通過仿真驗(yàn)證了永磁同步電機(jī)中存在混沌吸引子。文獻(xiàn)[11]針對永磁同步電機(jī)在特定參數(shù)和工作條件下的混沌運(yùn)動狀態(tài)，構(gòu)造非線性狀態(tài)反饋逆系統(tǒng)，結(jié)合原系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了對參考給定輸入的快速跟蹤控制。其他如同步磁阻電機(jī)、無刷直流電機(jī)和雙饋電機(jī)等也存在混沌現(xiàn)象，但相關(guān)研究不多。文獻(xiàn)[12]給出了同步磁阻電機(jī)的混沌系統(tǒng)模型，為抑制電機(jī)在某些參數(shù)范圍中出現(xiàn)的混沌運(yùn)動狀態(tài)，提出自適應(yīng)控制策略。文獻(xiàn)[13]提出了無刷直流電機(jī)開環(huán)系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象。文獻(xiàn)[14]驗(yàn)證了雙饋電機(jī)系統(tǒng)中也有混沌現(xiàn)象，并通過設(shè)計(jì)滑?？刂破鲗?shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步。

目前，對BDFM系統(tǒng)混沌現(xiàn)象研究仍為空白，在某些特定參數(shù)條件下，BDFM會否和其他類型電機(jī)一樣出現(xiàn)混沌現(xiàn)象？本文通過BDFMd-q軸數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出電機(jī)系統(tǒng)的非線性微分方程，構(gòu)建BDFM的七階非自治系統(tǒng)，從混沌研究角度探討B(tài)FDM中不規(guī)則運(yùn)動發(fā)生機(jī)理，得到相關(guān)結(jié)論。

1BDFM的非線性微分模型

BDFM在轉(zhuǎn)子速d-q軸同步坐標(biāo)系中各繞組的電壓方程為[15]

(1)

(2)

(3)

式中：udp、uqp、udc、uqc、udr、uqr——功率繞組、控制繞組和轉(zhuǎn)子繞組的d、q軸電壓分量；

idp、iqp、idc、iqc、idr、iqr——d、q軸電流；

ψdp、ψqp、ψdc、ψqc、ψdr、ψqr——d、q軸磁鏈；rp、rc、rr為等效電阻；

pp、pc——功率繞組和控制繞組的極對數(shù)；

ωr——轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速。

在兩相轉(zhuǎn)子速d-q軸模型中，功率繞組、控制繞組和轉(zhuǎn)子繞組的磁鏈方程為

(4)

(5)

(6)

式中：Lsp、Lsc——d-q坐標(biāo)下定子各繞組自感；

Mrp、Mrc——定子繞組與轉(zhuǎn)子繞組間互感。

BDFM在d-q坐標(biāo)下的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

Te=Tep+Tec=ppMrp(iqpidr-idpiqr)+

pcMrc(iqcidr+idciqr)

(7)

式中：Te——總電磁轉(zhuǎn)矩；

Tep、Tec——功率繞組、控制繞組產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩。

BDFM的機(jī)械運(yùn)動方程可表示為

(8)

式中：J、D——轉(zhuǎn)子機(jī)械慣量和轉(zhuǎn)動阻尼系數(shù)；

TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

將式(4)～式(6)代入(1)～式(3)可得

(9)

(10)

(11)

設(shè)Tr為轉(zhuǎn)子運(yùn)動時間常數(shù)，σ1、σ2、σ3為擴(kuò)散系數(shù)。

(12)

(13)

令電機(jī)系統(tǒng)中的各狀態(tài)變量[idp，iqp，idc，iqc，ψdr，ψqr，ωr]T=[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]T，[udp，uqp，udc，uqc，udr，uqr，TL]T=[0，0，0，0，0，0，0]T。將式(6)、式(7)、式(9)～式(13)整理化簡可得BDFM電機(jī)系統(tǒng)的一階微分方程組

(14)

由式(14)可看出，BDFM電機(jī)系統(tǒng)具有多變量、非線性和強(qiáng)耦合的特點(diǎn)。方程組中各項(xiàng)變量的系數(shù)用矩陣形式可表示為

在式(14)中引入轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速PD控制項(xiàng)：

令上式中ωref=0，可得

(15)

混沌運(yùn)動是確定性非線性動力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜運(yùn)動狀態(tài)，但只有當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)處于某一范圍時才會出現(xiàn)。定義轉(zhuǎn)子運(yùn)動時間常數(shù)Tr的倒數(shù)為電機(jī)系統(tǒng)中的控制參量k，假設(shè)Tr在某一范圍內(nèi)的變化會引起B(yǎng)DFM系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。

Tr*=kTr

(16)

將式(15)、(16)代入式(14)中轉(zhuǎn)子繞組的一階微分方程組，可構(gòu)建BDFM的七階非自治系統(tǒng)：

(17)

2BDFM的混沌機(jī)理分析與仿真

BDFM定子上的功率和控制兩套繞組磁場相互正交，需通過特殊結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子進(jìn)行轉(zhuǎn)換方能獲得耦合。目前的無刷雙饋電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)大體分為籠型、磁阻型和變極繞線型三類，功率繞組和控制繞組所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場方向是相反的，而轉(zhuǎn)子只有一個和功率繞組旋轉(zhuǎn)磁場方向一致的旋轉(zhuǎn)方向。對轉(zhuǎn)子而言，控制繞組的旋轉(zhuǎn)磁場實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于一個負(fù)序旋轉(zhuǎn)磁場，轉(zhuǎn)子中同樣會產(chǎn)生一個相應(yīng)的負(fù)序性質(zhì)的電磁轉(zhuǎn)矩，而且這一轉(zhuǎn)矩在整個電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中都存在，在電機(jī)運(yùn)行狀態(tài)變化時會有不確定轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生。

因?yàn)椴牧?、制造裝配原因，電機(jī)定轉(zhuǎn)子間氣隙不可能完全均勻，導(dǎo)致電機(jī)中會產(chǎn)生單邊磁拉力。定轉(zhuǎn)子電機(jī)齒槽的存在，若槽配合不理想也會產(chǎn)生齒諧波振蕩轉(zhuǎn)矩、不良電磁噪聲和振動；如果振蕩頻率和電機(jī)固有頻率發(fā)生重合，還會有諧振危險。

混沌機(jī)理研究，主要是通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)手段證明混沌的存在性，或采用數(shù)值手段及定性分析方法分析混沌特性[8]，但求解絕大多數(shù)非線性系統(tǒng)的非線性方程需有一定的數(shù)學(xué)技巧及豐富的先驗(yàn)知識，所以通過數(shù)學(xué)手段，一般很難獲得非線性系統(tǒng)的解析解。目前，也只有Lorenz和Chua兩個連續(xù)的混沌系統(tǒng)得到嚴(yán)格數(shù)學(xué)手段證明[16-17]，數(shù)值仿真成為研究混沌機(jī)理中廣泛應(yīng)用且有效可行的分析方法，包括計(jì)算Lyapunov指數(shù)、分岔圖、平衡點(diǎn)分析和Poincare截面等。

混沌運(yùn)動敏感于初始值，Lyapunov指數(shù)是對該現(xiàn)象的一個定量判斷指標(biāo)。它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌線間發(fā)散(分離)的平均指數(shù)率，可定義為：

(18)

在三維以上的連續(xù)非線性系統(tǒng)中，其Lyapunov指數(shù)總存在一個負(fù)指數(shù)和零指數(shù)，系統(tǒng)是否存在正的Lyapunov指數(shù)是判斷系統(tǒng)是否會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的特征之一。因此，在高維系統(tǒng)混沌特性的分析過程中，為降低計(jì)算的復(fù)雜性，無需逐一求出其全部Lyapunov指數(shù)，僅需求出系統(tǒng)的所有指數(shù)中的最大值即可。其計(jì)算原理如圖1所示。圖1中，x0、y0為相軌跡的初始值，d0為相軌跡間的初始距離。

圖1　最大Lyapunov指數(shù)計(jì)算原理圖

若最大Lyapunov指數(shù)小于0，即系統(tǒng)不存在正的Lyapunov指數(shù)，表明系統(tǒng)運(yùn)動軌道局部穩(wěn)定，對應(yīng)周期運(yùn)動；反之，若最大值大于零，則表明運(yùn)動軌道局部不穩(wěn)定，相鄰軌道指數(shù)分離，此時軌道在整體性能的穩(wěn)定因素(有界、耗散等)作用下拉伸并反復(fù)折疊，形成混沌吸引子，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)。因此，最大Lyapunov指數(shù)為正可作為BDFM系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為的判據(jù)。李氏指數(shù)由負(fù)變正表明電機(jī)運(yùn)動向混沌狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。

根據(jù)圖1，最大Lyapunov指數(shù)可定義為：

(19)

式中：m——積分次數(shù)；

τ——積分時間。

根據(jù)BDFM實(shí)際參數(shù)，取pp=3，pc=1，rp=1.732Ω，rc=1.079Ω，rr=0.473Ω，Lp=714.8mH，Lc=121.7mH，Lr=132.6mH，Mrp=242.1mH，Mrc=59.8mH，J=0.01kg·m2，D=0.1；并令kp=4，kd=40，TL=0，系統(tǒng)初值為[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7]=[0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5，0.5]。將各參數(shù)代入式(17)，以式(19)為計(jì)算原理，在MATLAB平臺上編寫最大Lyapunov指數(shù)的求解程序，可得BDFM系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)譜，如圖2所示。

圖2　BDFM系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)譜

由圖2可知，參數(shù)k在[1.6,1.7]、[2.0,2.1]的變化范圍中李氏指數(shù)由負(fù)變正，表明BDFM系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動狀態(tài)。為了進(jìn)一步分析和驗(yàn)證BDFM系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，取控制參量k=2.5，最大Lyapunov指數(shù)λmax=0.7518，采用四階五階的龍格-庫塔算法，在MATLAB平臺上求解其微分方程組(17)，分別得到BDFM功率繞組、控制繞組電流idp、iqp、idc、iqc和轉(zhuǎn)子磁鏈ψdr、ψqr的混沌仿真波形，如圖2所示。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，各狀態(tài)變量的波形顯示出隨機(jī)但有界的振蕩，同時這些波形是非周期性的，具有明顯的混沌特性。

圖3　BDFM系統(tǒng)混沌動態(tài)響應(yīng)仿真波形圖

在狀態(tài)空間中定性研究電機(jī)系統(tǒng)時，不僅可以刻劃定、轉(zhuǎn)子電流和磁鏈等每一狀態(tài)量的具體軌道，而且需要刻劃一切可能軌道的集合，弄清軌道的類型和分布，以整體把握電機(jī)動態(tài)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律和特性。為此，在idp-iqp、idp-ψqr、idp-ω、ψqr-ω二維平面空間和iqp-ψqr-ω三維空間中觀察各狀態(tài)量的軌道集合，如圖4所示。

圖4　BDFM系統(tǒng)混沌吸引子相圖

由圖4可以看出，相鄰軌道不斷分離、靠近，經(jīng)不斷拉伸和折疊后形成混沌吸引子。拉伸特性導(dǎo)致了軌道運(yùn)動的長期不可預(yù)測性，而折疊特性使得軌道運(yùn)動有界，因此，相圖中隨機(jī)且有界的軌道集合表明在該參數(shù)條件下，BDFM系統(tǒng)進(jìn)入了混沌運(yùn)動狀態(tài)。

4結(jié)語

本文根據(jù)BDFM轉(zhuǎn)子速d-q軸數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出其非線性微分方程，加入轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速控制項(xiàng)，以轉(zhuǎn)子運(yùn)動時間常數(shù)Tr的倒數(shù)為電機(jī)系統(tǒng)中的可變控制參量，構(gòu)建BDFM的七階非自治系統(tǒng)，通過數(shù)值仿真獲得了電機(jī)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)譜，確定了電機(jī)中發(fā)生混沌運(yùn)動行為的參數(shù)范圍，在二維平面和三維空間描述了電機(jī)系統(tǒng)的混沌吸引子相軌跡。仿真結(jié)果給出了實(shí)際驗(yàn)證。需加入控制器削弱或消除BDFM系統(tǒng)振蕩，以達(dá)到期望的動態(tài)性能。

【參 考 文 獻(xiàn)】

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Analysis of Chaos in Brushless Doubly-Fed Machine Base on the Maximal Lyapunov Exponent*

CHENJisi1,YANGJunhua1,LINZhuosheng1,WUJie2

(1. Guangdong University of Technology, Guangzhou 510006, China;2. South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)

Abstract：The chaos phenomenon in the brushless doubly-fed machine(BDFM) was firstly analyzed and verified by calculating the maximal Lyapunov exponent with the numerical simulation method from the point of view of chaos mechanism. The nonlinear differential equations of BDFM were derived based on its d-q axis model. The chaos model of BDFM was constructed according to the actual machine parameters with regarding the reciprocal of rotor time constant as control parameter. The range of parameters was analyzed when the chaotic phenomenon emerged in BDFM by computing the maximal Lyapunov exponent of the chaos model. In Matlab environment, the parametric condition can be demonstrated as BDFM turn into chaotic motion state.

Key words：brushless doubly-fed machine; chaos; the numerical simulation method; the maximal Lyapunov exponent; chaotic attractor

*基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51307025,5177050,51407035);廣東省高等學(xué)?？萍紕?chuàng)新項(xiàng)目(2013KJCX0059);廣東高校優(yōu)秀青年創(chuàng)新人才培養(yǎng)計(jì)劃項(xiàng)目(2012LYM_0052;2013LYM_0019)

作者簡介：陳集思(1991—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)殡姍C(jī)電器及其控制。 楊俊華(1965—)，男，教授，博士，研究方向?yàn)殡姍C(jī)電器及其控制、風(fēng)力發(fā)電機(jī)組的設(shè)計(jì)與控制。

中圖分類號：TM 301.3; TP 13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-6540(2016)05- 0052- 07

收稿日期：2015-07-14