鐘海彬， 毛崎波

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌　330063)

通過PVDF陣列設(shè)計(jì)階梯梁的模態(tài)傳感器

鐘海彬， 毛崎波

(南昌航空大學(xué) 飛行器工程學(xué)院，南昌330063)

摘要：以兩端固支階梯梁為例，通過高分子壓電薄膜(Poly Vinyli Dene Fluoride，PVDF)傳感器陣列測量其模態(tài)坐標(biāo)。在該階梯梁表面均勻黏貼一組相同形狀的矩形PVDF薄膜，首先通過實(shí)驗(yàn)方法直接測得該階梯梁的曲率模態(tài)，然后把曲率模態(tài)作為這組PVDF輸出信號的加權(quán)因數(shù)，從而得到所需的模態(tài)坐標(biāo)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，這種傳感器設(shè)計(jì)方法是可行的，并且PVDF陣列式模態(tài)傳感器具有在不均勻梁結(jié)構(gòu)表面布置方便，能準(zhǔn)確、方便的測出實(shí)驗(yàn)曲率模態(tài)，不受激勵(lì)力位置影響，濾波效果好等優(yōu)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：PVDF傳感器；實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析；曲率模態(tài)；模態(tài)濾波；階梯梁

近幾年來，通過設(shè)計(jì)壓電式模態(tài)傳感器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)振動和噪聲主動控制的研究越來越引起關(guān)注[1-5]。通過設(shè)計(jì)不同的壓電模態(tài)傳感器，可以測量振動結(jié)構(gòu)表面的體積位移、聲輻射模態(tài)、體積速度等物理量，此前一些學(xué)者對此作了大量研究[6-12]。一般來說，有兩種模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)方法，一種是設(shè)計(jì)特定形狀的連續(xù)分布式模態(tài)傳感器[2,6-7,12-14]，這種形式的模態(tài)傳感器對邊界條件存在一定的依賴，當(dāng)邊界條件改變時(shí)往往需要重新選擇傳感器的形狀函數(shù)才能保證被測振動參數(shù)的準(zhǔn)確性。同時(shí)對于某些結(jié)構(gòu)，特定形狀的連續(xù)分布式模態(tài)傳感器的加工和布置也存在一定的難度；而且設(shè)計(jì)的傳感器互換性較差，只能檢測某一階特定模態(tài)，這無疑對工程應(yīng)用帶來很多不便。如文獻(xiàn)[14]中研究者利用特定形狀的分布式PVDF傳感器設(shè)計(jì)階梯簡支梁的模態(tài)傳感器，為得到所需模態(tài)坐標(biāo)必須設(shè)計(jì)相當(dāng)復(fù)雜的的PVDF形狀，同時(shí)也易受邊界條件的制約。

另一種是設(shè)計(jì)離散陣列式模態(tài)傳感器[15-16]，通過設(shè)計(jì)一組相同形狀的矩形PVDF壓電薄膜的加權(quán)系數(shù)來得到需要測量的振動參數(shù)。這種方法不用預(yù)先設(shè)計(jì)傳感器的形狀函數(shù)，簡化了復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算過程。同時(shí)，只需改變加權(quán)系數(shù)就能很方便的得到目標(biāo)階模態(tài)，而且不易受邊界條件的影響。利用設(shè)計(jì)的模態(tài)傳感器對振動結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)濾波，精確識別振動參數(shù)，繼而對結(jié)構(gòu)振動和噪聲進(jìn)行主動控制。目前對陣列式模態(tài)傳感器的研究主要集中在均勻結(jié)構(gòu)(如均勻梁或均勻薄板)的理論研究，實(shí)驗(yàn)研究較少。并且在設(shè)計(jì)加權(quán)系數(shù)時(shí)一般需要進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算(如Adomian方法[12]、微分變換法(DTM)[17]、偽逆方法[18]等)。

為了簡化陣列式模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)，并進(jìn)一步推廣其適用范圍，本文以含有三個(gè)階梯的兩端固支梁為例，利用一組矩形PVDF陣列作為傳感器，通過實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)方法直接測量結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)，并把實(shí)驗(yàn)測得的各階離散曲率模態(tài)作為相應(yīng)的PVDF壓電傳感器的加權(quán)系數(shù)，從而得到所需的模態(tài)坐標(biāo)。

1基本理論

1.1陣列式PVDF模態(tài)傳感器設(shè)計(jì)

設(shè)有一階梯梁，考慮在振動梁上均勻布置n塊同樣形狀的矩形PVDF薄膜，如圖1所示。假設(shè)第kPVDF的輸出信號為H(k)。為了實(shí)現(xiàn)階梯梁的模態(tài)濾波，得到模態(tài)坐標(biāo)，對第k塊PVDF輸出信號設(shè)計(jì)加權(quán)系W(k,m)，如圖1所示，使得加權(quán)后的輸出為階梯梁第m階模態(tài)坐標(biāo)Am。

由圖1可知，加權(quán)后的總輸出信號為：

(1)

式中,W(k,m)表示第m階模態(tài)下第k塊PVDF傳感器的加權(quán)系數(shù)。

假設(shè)有外界激勵(lì)力作用在x=xf處，由文獻(xiàn)[19-20]的研究可知，激勵(lì)力與第k塊PVDF輸出之間的頻率響應(yīng)函數(shù)可表示為：

(2)

由模態(tài)分析理論可知，梁的第m階模態(tài)坐標(biāo)A(m)可表示為：

(3)

式中,F表示激勵(lì)力的幅值。

聯(lián)立(2)、(3)再代入(1)，總輸出信號可重新表示為：

(4)

圖1　陣列式壓電模態(tài)傳感器原理Fig.1 Theory of the piezoelectric modal sensor array

由拉格朗日微分中值定理，式(4)可表示為：

(5)

其中xξ滿足xk-l/2

對于經(jīng)典邊界條件(簡支、固支、自由端)，結(jié)構(gòu)曲率模態(tài)具有正交性：

(6)

式中，下標(biāo)u,v表示第u,v階曲率模態(tài)。

式(6)保證了實(shí)驗(yàn)測得的各階模態(tài)是相互獨(dú)立的。由文獻(xiàn)[20]的研究，對結(jié)構(gòu)曲率模態(tài)進(jìn)行離散處理，得到的離散曲率模態(tài)也是正交的，即:

(7)

式中,c為非零常數(shù)。

由式(7)知，如果在式(5)中把第m階離散曲率模態(tài)值作為PVDF的加權(quán)系數(shù)，即：

W(k,m)=φ″m(xξ)

(8)

把式(8)代入式(5)，則加權(quán)后的PVDF陣列輸出為：

(9)

從式(9)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)用第m階離散曲率模態(tài)值作為加權(quán)系數(shù)來對階梯梁進(jìn)行模態(tài)濾波得到的是第m階模態(tài)坐標(biāo)。

1.2陣列式PVDF實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)曲率模態(tài)測量

由陣列式PVDF模態(tài)傳感器的設(shè)計(jì)可以看出，只要能知道相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)離散曲率模態(tài)的值，就可以得到陣列式PVDF的加權(quán)系數(shù)向量，進(jìn)而可以在實(shí)驗(yàn)條件下直接測得階梯梁的相應(yīng)模態(tài)坐標(biāo)Am。

注意到目前對曲率模態(tài)的研究一般是通過結(jié)構(gòu)模態(tài)而展開[21-23]。也就是說，首先通過傳統(tǒng)的加速度計(jì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到其結(jié)構(gòu)模態(tài)，然后通過對結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行中心二次差分、多項(xiàng)式插值等數(shù)值方法得到其曲率模態(tài)。但是對結(jié)構(gòu)模態(tài)進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)有可能放大其測量誤差，使得數(shù)值處理得到的曲率模態(tài)往往失真。近來Wang等[19-20]理論上證明了通過壓電材料直接測量結(jié)構(gòu)曲率模態(tài)的可行性。本文在文獻(xiàn)[19-20]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步從實(shí)驗(yàn)角度驗(yàn)證通過PVDF陣列直接測量結(jié)構(gòu)的曲率模態(tài)。

對式(2)運(yùn)用拉格朗日微分中值定理，式(2)可重新表示為：

(10)

式中xξ滿足xk-l/2

從式(10)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)位置xf固定(即為φm(xf)為常數(shù))，PVDF傳感器按梁的n等分點(diǎn)均勻移動，可以測量到階梯梁的曲率模態(tài)φ″m(xξ)的n個(gè)離散值。通過實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析軟件即可得到離散曲率模態(tài)的值。

2實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證本文的陣列式PVDF模態(tài)傳感器的濾波效果，取一鋁質(zhì)階梯梁進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。如圖2所示，階梯梁有效長度為800 mm，階梯位置位于200 mm、440 mm、640 mm處，每段階梯對應(yīng)的寬度分別為50 mm、40 mm、50 mm、30 mm，厚度均為5 mm。階梯梁被平均分成20個(gè)單元，20片PVDF傳感器貼于階梯梁的背面，位于每個(gè)單元的中央?yún)^(qū)域。PVDF的物理參數(shù)見表1。

表1　PVDF傳感器物理參數(shù)

實(shí)驗(yàn)過程中，用LC-01A沖擊力錘作為外部力源位于xd處，通過力錘上的CL-YD303力傳感器測量激勵(lì)力，把布置在1～20號單元上的PVDF傳感器輸出信號傳入江蘇聯(lián)能YE6251數(shù)據(jù)采集儀，采樣頻率設(shè)置為4 kHz,采用上升沿觸發(fā)。實(shí)驗(yàn)整體過程如圖2所示，首先力錘位于A點(diǎn)：xd=80 mm處，測量PVDF薄膜的輸出信號H(k)。將測得的輸出信號導(dǎo)入南京航空航天大學(xué)研發(fā)的N-Modal模態(tài)分析軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到實(shí)驗(yàn)離散曲率模態(tài)，然后直接把該離散曲率模態(tài)數(shù)值作為陣列式PVDF加權(quán)系數(shù)，用每片PVDF的輸出信號乘以相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)后相加得到各階模態(tài)坐標(biāo)。

表2是實(shí)驗(yàn)階梯梁前五階固有頻率實(shí)驗(yàn)值, 為避免電噪聲對實(shí)驗(yàn)設(shè)備的影響，取2～5階模態(tài)進(jìn)行分析。圖3表示A激勵(lì)點(diǎn)xd=80 mm時(shí)，PVDF頻率響應(yīng)曲線, 由圖可以看出，每片PVDF的輸出信號測得的各階模態(tài)下的頻率是一致的。

圖2　階梯梁實(shí)驗(yàn)示意圖 Fig.2 Diagram of the stepped beam experiment

圖4表示實(shí)驗(yàn)曲率模態(tài)分析的2～5階模態(tài)置信矩陣(Modal Assurance Criterion，MAC)直方圖，由圖可以看出對角線元素的值均為100，其他元素值遠(yuǎn)小于對角元素，說明各階曲率模態(tài)具有很好的獨(dú)立性，模態(tài)分析效果很好。

表2　實(shí)驗(yàn)梁前5階固有頻率實(shí)驗(yàn)值

圖3　A激勵(lì)點(diǎn)下PVDF頻率響應(yīng)曲線Fig.3 Frequency response function of PVDF films under A incentive point

圖4　曲率模態(tài)置信矩陣直方圖Fig.4 MAC of the experimental beam (curvature mode shapes)

由式(10)和式(8)可知，實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的結(jié)構(gòu)曲率模態(tài)離散值即為PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)。圖5表示A激勵(lì)點(diǎn)下實(shí)驗(yàn)測得的PVDF加權(quán)系數(shù)直方圖。

圖6表示通過PVDF陣列得到的實(shí)驗(yàn)輸出信號平均值，由于只分析2～5階模態(tài)，頻率截?cái)嗟? 500 Hz。圖7是利用圖5中相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)對實(shí)驗(yàn)階梯梁進(jìn)行模態(tài)濾波得到的結(jié)果。從圖7中2到5階模態(tài)濾波可以看出，各目標(biāo)階固有頻率處峰值明顯高于非目標(biāo)階固有頻率處峰值，說明模態(tài)傳感器對目標(biāo)階模態(tài)的濾波效果很好。對比圖6和圖7可看出，非目標(biāo)階固有頻率處的峰值也明顯下降，但仍未能全部濾除，這與梁表面劃分的單元數(shù)目和PVDF傳感器數(shù)量有關(guān)，由于傳感器數(shù)量有限使得只有部分模態(tài)參與濾波，使得非目標(biāo)階模態(tài)仍出現(xiàn)小的峰值。

圖5　PVDF加權(quán)系數(shù)直方圖Fig.5 Weighting coefficient histogram of PVDF films

圖6　PVDF傳感器陣列輸出信號平均值Fig.6 Average outputs of PVDF films

圖7　A激勵(lì)點(diǎn)下實(shí)驗(yàn)梁濾波效果Fig.7 Modal filtering results of the experimental beam under A incentive point

由于PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)與外激勵(lì)力性質(zhì)(如激勵(lì)力類型、頻率以及位置等)無關(guān)[24]，所以通過該加權(quán)系數(shù)可以測量任意激勵(lì)下的模態(tài)坐標(biāo)。圖8表示當(dāng)激勵(lì)力移動到B點(diǎn)：xd=260 mm時(shí)，通過圖5所示的PVDF加權(quán)系數(shù)得到的模態(tài)坐標(biāo)。由圖8可以看出，當(dāng)激勵(lì)點(diǎn)改變后，頻率響應(yīng)曲線的幅值發(fā)生了相應(yīng)的變化。非目標(biāo)階模態(tài)幅值與目標(biāo)階模態(tài)幅值相比，有明顯下降。對比圖7和圖8可以看出，設(shè)計(jì)出來的PVDF陣列式模態(tài)傳感器對激勵(lì)點(diǎn)A、B具有同樣明顯的濾波效果，對模態(tài)坐標(biāo)的識別效果很好。這也說明了模態(tài)傳感器不受激勵(lì)力位置影響。

圖8　B激勵(lì)點(diǎn)下實(shí)驗(yàn)梁濾波效果Fig.8 Modal filtering results of the experimental beam under B incentive point

文獻(xiàn)[25]討論了矩形PVDF薄膜大小對測量的影響，當(dāng)矩形PVDF傳感器過大時(shí)，其輸出電荷會受到結(jié)構(gòu)軸向振動的影響，從而對模態(tài)濾波產(chǎn)生影響。該文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)采用30 mm×12 mm的矩形PVDF時(shí)，可以精確測量1 400 Hz內(nèi)的結(jié)構(gòu)法向振動信息。因此本文采用了文獻(xiàn)[25]建議的30 mm×12 mm的矩形PVDF，避免了軸向振動對模態(tài)分析的影響。

為了更好地說明PVDF傳感器數(shù)目對模態(tài)分析精度的影響，在A激勵(lì)點(diǎn)下，取圖5中序號為偶數(shù)的PVDF傳感器進(jìn)行濾波分析。圖9為10片PVDF的加權(quán)系數(shù)，圖10為相應(yīng)的濾波效果。對比圖7和圖10可以發(fā)現(xiàn)，采用10片PVDF的濾波效果與20片PVDF時(shí)基本相同。這主要是因?yàn)? 500 Hz內(nèi)只包含8階結(jié)構(gòu)模態(tài)。文獻(xiàn)[5,15-17,25-26]已經(jīng)證明：M片PVDF可以實(shí)現(xiàn)在頻率范圍0～ωM內(nèi)的模態(tài)濾波。文獻(xiàn)[26]分析了PVDF布置間距失諧的情況，從中可以看出，對PVDF的布置進(jìn)行一定優(yōu)化，可以減少對非目標(biāo)階模態(tài)的濾除誤差。對于本文中前8階模態(tài)濾波效果，主要受PVDF傳感器數(shù)目的影響，當(dāng)取10片或20片PVDF時(shí)，濾波效果已經(jīng)滿足模態(tài)識別要求。

圖9　10片PVDF加權(quán)系數(shù)直方圖Fig.9 Weighting coefficient histogram of ten PVDF films

圖10　10片PVDF實(shí)驗(yàn)梁濾波效果Fig.10 Modal filtering results of the experimental beam with ten PVDF films

3結(jié)論

本文通過實(shí)驗(yàn)方法設(shè)計(jì)階梯梁的PVDF陣列式模態(tài)傳感器，把模態(tài)傳感器推廣應(yīng)用于非均勻結(jié)構(gòu)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于：只需要測量一組在某一激勵(lì)力下PVDF陣列的頻率響應(yīng)函數(shù)，就可以通過實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法得到PVDF陣列的加權(quán)系數(shù)，該P(yáng)VDF加權(quán)系數(shù)可用于計(jì)算任意激勵(lì)下的模態(tài)坐標(biāo)。同時(shí)本文方法一個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)是不需要任何復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文方法的模態(tài)濾波效果良好，基于階梯梁結(jié)構(gòu)模態(tài)測試結(jié)果，該理論框架可以拓展至一般復(fù)雜結(jié)構(gòu)。

參 考 文 獻(xiàn)

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Design of modal sensors for a stepped beam based on PVDF array

ZHONG Hai-bin, MAO Qi-bo

(School of Aircraft Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063,China)

Abstract:With an example of a clamped-clamped beam containing multiple steps, a new test approach was presented to design modal sensors by using an array of polyvinylidene fluoride (PVDF) sensors. An array of rectangular segments of PVDF film uniformly was stuck on the surface of the beam, was taken as sensors. Firstly, an experimental modal analysis method was applied to obtain the beam’s curvature modal shapes directly. Then the measured curvature modal shapes were taken as the corresponding weighted coefficients of the output signals of the PVDF films, the weighted combinations of the outputs directly lead to the target modal coordinates. The experimental results showed that PVDF array modal sensors have advantages of easily bonded on the surface of the stepped beam,accurately and conveniently measuring tested curvature modes, independence of positions of external excitations, and good effect of modal filtering, etc.

Key words:PVDF sensors; experimental modal analysis; curvature mode; modal filtering; stepped beam

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51265037;11464031)；江西省高等學(xué)?？萍悸涞仨?xiàng)目(KJLD12075)

收稿日期：2015-03-09修改稿收到日期：2015-05-15

通信作者毛崎波 男，博士,教授，1975年生

中圖分類號:TP212.9

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.020

第一作者 鐘海彬 男，碩士，1990年生