王龍飛 ， 韓志軍 ， 閆曉鵬 ， 路國(guó)運(yùn)

(1.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原　030024； 2.太原理工大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，太原　030024)

橫縱激勵(lì)下幾何非線性復(fù)合材料層合梁的混沌同步

王龍飛1， 韓志軍1， 閆曉鵬1， 路國(guó)運(yùn)2

(1.太原理工大學(xué) 力學(xué)學(xué)院，太原030024； 2.太原理工大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，太原030024)

摘要：基于里茲-伽遼金法，將考慮幾何非線性的一端固支一端夾支復(fù)合材料層合梁的控制方程簡(jiǎn)化為典型的Duffing方程；引入了Duffing-Van Der Pol系統(tǒng)，通過(guò)兩種系統(tǒng)的分岔圖說(shuō)明了它們共同達(dá)到混沌時(shí)的參數(shù)值；通過(guò)廣義投影同步法，實(shí)現(xiàn)了Duffing系統(tǒng)和Duffing-Van Der Pol系統(tǒng)的精確同步，得到了實(shí)現(xiàn)兩種系統(tǒng)同步的控制器；分別將兩種系統(tǒng)通過(guò)Matlab進(jìn)行了數(shù)值仿真，得到了兩種系統(tǒng)的同步誤差曲線圖、二維相圖和三維相圖，從而驗(yàn)證了混沌同步的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：復(fù)合材料；混沌同步；DVP系統(tǒng)；廣義投影同步

混沌運(yùn)動(dòng)研究是近20年發(fā)展起來(lái)的關(guān)于非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中一種特殊運(yùn)動(dòng)方式的研究，它起源于人類(lèi)對(duì)大自然的不斷探索，其同步被廣泛的應(yīng)用于各種工程技術(shù)方面，尤其在保密通訊中的應(yīng)用令人矚目，由此引申出了三大技術(shù)：混沌遮掩、混沌調(diào)制和混沌開(kāi)關(guān)技術(shù)。此外，混沌在超寬帶通信和數(shù)字水印等方面的應(yīng)用也在最近幾年飛速發(fā)展。因此，關(guān)于混沌同步的研究有重大的意義和實(shí)際價(jià)值，被越來(lái)越多的學(xué)者所關(guān)注[1-3]。

混沌同步最早是由美國(guó)海軍實(shí)驗(yàn)室的Pecora等[4]提出的，他們?cè)陔娐穼?shí)驗(yàn)中首次實(shí)現(xiàn)了混沌的同步，其后，關(guān)于混沌同步的研究也越來(lái)越熱門(mén)；Kocarev等[5]提出了一種新的APD分解法，改進(jìn)了之前的PC同步法，并將其應(yīng)用到了通信工程中；Pyragas[6]基于反饋調(diào)節(jié)的思想，提出了一種變量反饋同步法，該方法因?yàn)椴桓淖冊(cè)到y(tǒng)的混沌特性而被廣泛應(yīng)用于電路、激光和振蕩器等系統(tǒng)之間的同步；Mainieri等[7]提出了投影同步法，將對(duì)應(yīng)狀態(tài)的振幅按照一個(gè)比例因子進(jìn)行演化，且得到了廣泛應(yīng)用；基于此，Yan等[8]提出了廣義投影同步，可以使所有響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量都滿足比例關(guān)系且相空間可以自由拉伸或壓縮；Hu等[9]提出了一種更一般的方法，這種方法不局限于狀態(tài)變量滿足相同的比例關(guān)系，稱(chēng)之為全狀態(tài)混合投影同步；閔富紅等[10-11]分別研究了兩個(gè)相同的四維混沌系統(tǒng)的同結(jié)構(gòu)廣義投影同步以及Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的改進(jìn)自適應(yīng)廣義投影同步；王宇野等[12]研究了異結(jié)構(gòu)的不確定混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，并以R?ssler系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)的同步為例說(shuō)明了異結(jié)構(gòu)同步的問(wèn)題；馮浩等[13]研究了Chen系統(tǒng)和Liu系統(tǒng)的廣義投影同步，并將其應(yīng)用在電路設(shè)計(jì)方面。以上研究分別利用了不同的方法實(shí)現(xiàn)了不同系統(tǒng)之間的混沌同步，然而關(guān)于復(fù)合材料層合梁在橫縱外載激勵(lì)下的新型混沌同步方法的研究，卻鮮有文獻(xiàn)提及。

基于此，本文考慮系統(tǒng)的幾何非線性，應(yīng)用廣義投影同步法，研究復(fù)合材料層合梁在發(fā)生非線性振動(dòng)時(shí)的混沌同步，從而通過(guò)適當(dāng)?shù)目刂破?，將其精確同

步為Duffing-Van Der Pol系統(tǒng)，并廣泛應(yīng)用于力學(xué)與工程、激光物理、化學(xué)以及生命科學(xué)中。

1系統(tǒng)的控制方程

圖1是一端固支一端夾支的復(fù)合材料層合梁，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，橫截面A=bh，軸向壓力為P1=F0，橫向擾動(dòng)力為P2=Fcosωt。若不考慮軸向慣性，由Hamilton原理可導(dǎo)出復(fù)合材料層合梁的振動(dòng)方程，如下：

(1)

(2)

圖1　一端固支一端夾支下梁的受載示意圖Fig.1 Theclamped-fixed bar by the load

整理式(1)和式(2)，得到由橫向位移表達(dá)的控制方程為：

(3)

令：

(4)

取滿足一端固支一端夾支的邊界條件，即：w(0,t)=w(L,t)=w′(0,t)=w′(L,t)=0，由此可得到位移模態(tài)為：

(5)

根據(jù)里茲-伽遼金法，通過(guò)變分和分步積分，式(4)可化簡(jiǎn)為：

(6)

式(6)可寫(xiě)成如下Duffing方程的形式：

(7)

式(7)是復(fù)合材料層合梁控制方程的Duffing方程系統(tǒng)，因?yàn)閮烧叨际峭徽駝?dòng)系統(tǒng)，所以可以進(jìn)行等價(jià)替代。

2Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)的混沌同步

DVP系統(tǒng)(Duffing-Van Der Pol,DVP)是Duffing系統(tǒng)和Van Der Pol振蕩系統(tǒng)的結(jié)合，它既具備了Duffing系統(tǒng)的非線性項(xiàng)、具有一定的恢復(fù)力，又兼?zhèn)淞薞an-Der Pol振蕩系統(tǒng)非線性阻尼項(xiàng)，有一定的維持自激振動(dòng)的能力，可以用來(lái)模擬人心臟的振動(dòng)以及含有負(fù)阻原件的電路等，受迫DVP系統(tǒng)可以表示為下式：

(8)

利用廣義投影同步法[14]，可以將DVP系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，Duffing系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，于是這兩個(gè)系統(tǒng)可以分別表示為：

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)：

(9)

響應(yīng)系統(tǒng)：

(10)

考察μ、ω和f的取值，要滿足Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)能同時(shí)進(jìn)入混沌，進(jìn)而方便討論它們?cè)诎l(fā)生混沌下的同步，下面先討論兩種系統(tǒng)隨著分岔參數(shù)f變化的系統(tǒng)分岔圖，然后給出兩系統(tǒng)同時(shí)發(fā)生混沌的參數(shù)值，令μ=0.2，ω=1，可得圖2分岔圖。

圖2　系統(tǒng)隨f變化的分岔圖(左為Duffing，右為DVP)Fig.2 Bifurcation diagrams with the change ofparameters f (Duffing in the left, DVP in the right)

圖2表明：當(dāng)f=3時(shí)，無(wú)論是Duffing系統(tǒng)還是DVP系統(tǒng)都已進(jìn)入了混沌狀態(tài)，因而可取μ=0.2，ω=1，f=3進(jìn)行分析討論。

(11)

u1=(κ1-κ2)x2-e1

(12a)

0.4κ2x2+3(κ2-κ3)x3-e1

(12b)

u3=(κ4-κ3)x4-e3

(12c)

u4=(κ4-κ3)x3-e3-e4

(12d)

可用Matlab模擬給出式(9)和(10)的異結(jié)構(gòu)混沌同步過(guò)程。

3數(shù)值仿真和討論

取兩個(gè)系統(tǒng)的初值如下：

(13)

本文研究?jī)蓚€(gè)異結(jié)構(gòu)之間的精確同步，取縮放系數(shù)都為1，在同步控制器u的作用下，可以得到圖3兩個(gè)四維映射系統(tǒng)間的同步誤差曲線圖。

圖3　兩系統(tǒng)間的同步誤差曲線圖Fig.3 Synchronous error curve diagrams of two systems

圖4是同步前Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)的二維相圖，圖5是同步前Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)的三維相圖，可以看出DVP系統(tǒng)的二維相圖類(lèi)似于“蠶豆”型，而Duffing系統(tǒng)的二維相圖為“倒八”型，兩者有明顯的區(qū)別。圖4和圖5共同表明：Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)在達(dá)到混沌時(shí)，相軌跡圖均雜亂無(wú)序，但兩者之間有一定的區(qū)別，這與DVP系統(tǒng)本身的非線性阻尼項(xiàng)有關(guān)。在經(jīng)過(guò)控制器作用，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到精確同步后，可以得到圖6。

此外，還可以通過(guò)平面相圖或空間相圖來(lái)形象的說(shuō)明Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)之間的混沌同步過(guò)程。

圖4　同步前兩系統(tǒng)的二維相圖(左為DVP，右為Duffing)Fig.4 2D-phase-trajectory diagrams of two systems before synchronization(DVP in the left, Duffing in the right)

圖5　同步前兩系統(tǒng)的三維相圖(左為DVP，右為Duffing)Fig.5 3D-phase-trajectory diagrams of two systems before synchronization(DVP in the left, Duffing in the right)

圖6　同步后兩系統(tǒng)的二維相圖(左為DVP，右為受控Duffing)Fig.6 2D-phase-trajectory diagrams of two systems after synchronization(DVP in the left, Duffing under the control in the right)

圖6表明：如果不計(jì)系統(tǒng)誤差，Duffing系統(tǒng)的吸引子轉(zhuǎn)變?yōu)榱薉VP系統(tǒng)的“蠶豆”型吸引子，說(shuō)明兩種系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了精確同步。

4結(jié)論

本文通過(guò)理論分析和數(shù)值仿真，可以得到如下結(jié)論：

(1) 考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性，分析了受擾復(fù)合材料層合梁的非線性振動(dòng)，利用里茲—伽遼金法得到了與其控制方程等價(jià)的Duffing振子方程。

(2) 通過(guò)Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，得到：Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)的四個(gè)誤差函數(shù)在經(jīng)歷了一段時(shí)間后，都穩(wěn)定在零點(diǎn)，且e3和e4的時(shí)間要短，大概在5 s左右的時(shí)間趨于零點(diǎn)；而前兩個(gè)誤差函數(shù)e1和e2在25 s左右的時(shí)間才趨于零點(diǎn)，這可能與后兩項(xiàng)同為正余弦函數(shù)，短周期內(nèi)容易耦合達(dá)到同步有關(guān)。之后隨著時(shí)間變化，誤差曲線保持水平直線，中間無(wú)任何突變或跳躍，因此可以判定Duffing系統(tǒng)和DVP系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)的精確混沌同步。

(3) 三維空間相圖的t軸是時(shí)間軸，該軸與其他任意兩軸分別可以組成位移和速度的時(shí)程曲線圖，時(shí)程曲線圖如果不是周期性分布，而是無(wú)規(guī)律的，則說(shuō)明系統(tǒng)發(fā)生了混沌，因此三維空間相圖可以更加全面的反映兩種系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)過(guò)程。通過(guò)觀察可知，經(jīng)過(guò)短暫的變化后，Duffing系統(tǒng)的軌跡變成了和DVP系統(tǒng)完全相同的“蠶豆”型吸引子，說(shuō)明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到了同步。

參 考 文 獻(xiàn)

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Chaotic synchronization of a geometric nonlinear composite beam under horizontal-vertical excitations

WANG Long-fei1, HAN Zhi-jun1, YAN Xiao-peng1, LU Guo-yun2

(1. College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China;2. College of Architecture and Civil Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Abstract:Based on Ritz-Galerkin Method, the dynamic governing equations of a composite beam with clamped-fixed boundary conditions were simplified into the typical Duffing equations considering geometric nonlinear. A Duffing-Van Der Pol System was introduced. Parameter values of two systems reaching chaotic state commonly were presented according to their bifurcation diagrams. The accurate synchronization between Duffing system and DVP System (short for Duffing-Van Der Pol) was realized using the generalized projective synchronization method and their synchronization’s controller was also acquired. Finally, numerical simulations for chaotic synchronization of the two systems were conducted with Matlab and synchronous error curve diagrams, 2D-phase-trajectory diagrams, 3D-phase-trajectory diagrams of the two systems were obtained. These diagrams were used to verify the correctness of chaotic synchronization.

Key words:composite; chaotic synchronization; DVP system; generalized projective synchronization method

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11372209)；山西省自然科學(xué)基金(2013011005-1)

收稿日期：2015-03-18修改稿收到日期：2015-05-13

通信作者韓志軍 男，博士，教授，1964年10月生

中圖分類(lèi)號(hào):TB33；O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.09.005

第一作者 王龍飛 男，碩士生，1988年3月生