林 津, 曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州　350116)

一類非線性拋物方程組解的爆破時間下界估計

林 津, 曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院，福建 福州350116)

摘要：使用構造輔助函數和微分不等式方法，得到在有界區(qū)域Ω?Rn(n≥3)且滿足齊次Dirichlet邊界條件情況下，帶有梯度項的非線性拋物方程組解的爆破時間下界.

關鍵詞：下界； 爆破時間； 拋物方程組； 梯度項

0引言

考慮一類帶梯度項的非線性拋物方程組解的爆破時間下界，方程具體形式如下：

(1)

其中： Ω?Rn(n≥3)是邊界光滑的有界區(qū)域；Δ為n維Laplace算子；為n維梯度算子； T是解的爆破時間； (1, 1)≤(q1, q2)<(p1, p2)； 這里(x1, y1)≤(x2, y2)表示x1≤x2且y1≤y2.

Payne等在文獻[1]中運用微分不等式方法得到當Ω?R3，半線性熱傳導方程

(2)

解的爆破時間下界. 其中f滿足適當的條件且式(2)帶有Dirichlet邊界條件.此后，在Ω?R3情況下，對各類拋物方程解的爆破時間下界進行估計，得到許多有效結論.例如Payne等在文獻[2]中對

(3)

Liu等在文獻[3]中對

(4)

進行研究，得到了相應解的爆破時間下界. 但是，以上文獻都只是在Ω?R3的情形下對解的爆破時間下界進行估計，對于n≥3的情況并未給出相應結論.

Baghaei等在文獻[4]中對Ω?Rn(n≥3)的爆破時間下界進行估計，得到滿足Dirichlet邊界條件時，解的爆破時間下界. 文獻[5]和[6]分別得出滿足一定邊界條件且Ω?Rn(n≥3)時，式(3)和擬線性拋物方程解的爆破時間下界估計.本文根據文獻[7]的方法，對式(3)的方程組形式進行討論，得出式(1)解的爆破時間下界.

(5)

在文獻[8]中, Chen等對一類擬線性拋物型方程組進行研究，得出當對應函數滿足一定條件時，方程組解的全局存在性和爆破性結論，包括式(1)形式的方程組. 由于本文討論的是解的爆破時間T的下界估計，因此只對方程組的解在有限時刻爆破的情況進行考慮.

1主要結論

定理1設(u, v)是問題(1)的非負古典解，其中(1, 1)≤(q1, q2)<(p1, p2)，Ω?Rn(n≥3)是帶有光滑邊界的區(qū)域. 定義

Θ(t)=∫Ωukdx+∫Ωvkdx

其中： k是滿足如下條件的參數

(6)

如果問題(1)的解在有限時間T爆破，那么T的下界滿足如下估計

(7)

其中:C1和C2是正值常數，將在證明過程中具體定義.

證明對方程(1)進行計算，根據散度定理，有

(8)

參考文獻[9]可知:

(9)

其中正值常數λ是如下問題的第一特征值

(10)

結合式(8)和(9)，有

(11)

根據式(6)中k的定義，針對式(8)右端第二項，由H?lder不等式和Young不等式，有

(12)

其中i=1, 2.

將式(12)代入式(11)，有

(13)

對式(13)的第三項，運用H?lder不等式，有

(14)

(15)

(16)

再根據帶ε的Young不等式，有

(17)

同理可得

(18)

這里的ε1和ε2為正值常數，具體定義之后給出. 接著運用H?lder不等式，得到

(19)

根據式(6)中k的定義，對式(17)和(18)相關項運用帶ε的Young不等式，得到

(20)

其中:

ε3和ε4為正值常數，具體定義之后給出. 將式(17)～(20)代入式(13), 有

(21)

(22)

可知式(22)為

(23)

對微分不等式(23)從0到t進行積分，得到

(24)

最后，對t取極限，即t→T-，得到

(25)

定理證明完畢.

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(責任編輯：蔣培玉 )

Lower bounds for the blowup time of solutions to a nonlinear parabolic system

LIN Jin，ZENG Youdong

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

Abstract:In this paper, by means of constructing an auxiliary function and the differential inequality technique, we derive a lower bound for the blow-up time of solutions to a parabolic system with a gradient nonlinearity under homogeneous Dirichlet boundary conditions in a bounded domain Ω?Rn for any n≥3.

Keywords:lower bounds; blow-up time; parabolic system; gradient nonlinearity

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0354

文章編號：1000-2243(2016)03-0354-05

收稿日期:2014-04-22

通訊作者:曾有棟(1961-)，教授，主要從事偏微分方程研究，zengyd@fzu.edu.cn

基金項目：福建省自然科學基金資助項目(Z0511015)

中圖分類號：O175.26

文獻標識碼：A