駱明旭，王文勝，王施施

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

關(guān)于加權(quán)的尾部均值方差準(zhǔn)則下最優(yōu)資本分配

駱明旭，王文勝，王施施

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：文章針對總風(fēng)險(xiǎn)超過一定閾值的資本配置問題，在傳統(tǒng)資本分配準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，研究了一種加權(quán)的尾部均值方差原則.

關(guān)鍵詞：資本分配；均值方差；尾部風(fēng)險(xiǎn)

0引言

最優(yōu)資本配置是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中的核心問題之一.這個(gè)問題起源于美國金融學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、諾貝爾獎獲得者M(jìn)arkowitz[1]的研究.自Markowitz的開創(chuàng)性工作以來,投資組合理論已成為現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的基石之一，廣泛應(yīng)用于資本配置等投資組合管理.最優(yōu)資本配置就是研究在不確定情況下，投資者如何將資本分配于各種業(yè)務(wù)部門，使得收益率最大和風(fēng)險(xiǎn)最小，從而得到整體風(fēng)險(xiǎn)與收益之間最優(yōu)均衡關(guān)系.

這一問題引起了國內(nèi)外學(xué)者們的廣泛興趣.在最近的研究中，Laeven等[2]在研究動態(tài)資本分配的問題上，將其歸結(jié)為如下優(yōu)化問題：假設(shè)一個(gè)公司和n個(gè)部門所面臨的風(fēng)險(xiǎn)分別為X1,X2,…,Xn，要將總資本p分配到這n個(gè)部門以應(yīng)對相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)，總資本p被要求外生給定.在一定風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下，使得分配到第i個(gè)部門的資本數(shù)額pi充分地“接近”其相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)Xi，用數(shù)學(xué)模型表述：

(1)

其中，ρ[·]是分配規(guī)則，π[·]是風(fēng)險(xiǎn)度量.

根據(jù)將資本配置問題歸結(jié)為最優(yōu)化問題的思路，Dhaene等[3]提出了一個(gè)更一般的準(zhǔn)則，即使得各個(gè)部門損失與各自分得的資金的偏離程度的加權(quán)和.記p∈A={p∈Rn:p1+…+pn=p},

(2)

(3)

在Dhaene的特殊模型以及Xu等[4]提出的損失函數(shù)基礎(chǔ)上，Ostaszewski等[5]提出了均值方差準(zhǔn)則，這一準(zhǔn)則克服了只考慮損失函數(shù)期望的缺陷，將損失函數(shù)的方差帶入了模型當(dāng)中：

(4)

進(jìn)一步，F(xiàn)urman等[6]使用尾部方差風(fēng)險(xiǎn)(TVP)來估算保險(xiǎn)費(fèi)用.記TCEq(X)=:E(X|X>VaRq(X)),TVq(X)=:Var(X|X>VaRq(X)),TVPq=:TCEq(X)+βTVq(X),其中VaRq(X)=inf{x:F(x)≥q},F(x)=P(X≤x)和β≥0.

在此基礎(chǔ)上，Xu等[7]給出了尾部均值方差準(zhǔn)則，即求解下列問題：

(5)

本文將在Dhaene等的加權(quán)方法和均值方差準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，結(jié)合Xu等給出的尾部均值方差準(zhǔn)則，討論在加權(quán)的尾部均值方差模型下資產(chǎn)分配的最優(yōu)化問題.在考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上，這一模型不僅能夠更加靈活使用加權(quán)變量，還大大減小在厚尾情形下對企業(yè)不利的情況.

1模型和結(jié)論

基于上述討論，本文考慮加權(quán)的尾部均值方差模型下的資本配置方法，該方法不僅考慮損失函數(shù)的變異性和加權(quán)，還將尾部風(fēng)險(xiǎn)納入其中.筆者考慮的模型就是求解下列問題：

(6)

本文得到如下結(jié)果.

(7)

2定理的證明

定理的證明需要用到下面引理.

▽pL(p*,λ*)=0,▽λL(p*,λ*)=0,

那么函數(shù)f受限于h(p*)=0有嚴(yán)格局部最小解p*，其中▽是微分算子，x的轉(zhuǎn)移矩陣是xt.

定理1的證明記

則用引理1有

(8)

(9)

下面先把加權(quán)后的損失函數(shù)的方差做一些轉(zhuǎn)變，分離出與p1有關(guān)的項(xiàng)，與p1無關(guān)的項(xiàng)分別用C1,C2表示：

然后按照引理1的步驟對p1求偏導(dǎo)數(shù)，得到如下等式:

同樣，對于i=2,3,…,n，也有上述表達(dá)，因此得到

(10)

(11)

綜合式(10)和(11)，即得定理1.

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Optimal Capital Allocation Based on the Weighted Tail-mean-variance Principle

LUO Mingxu， WANG Wensheng， WANG Shishi

(School of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

Abstract:Aiming at the capital allocation problems with the aggregate risk exceeding a certain threshold, this paper proposes a novel weighted tail-mean-variance principle basing on traditional allocation principles.

Key words:capital allocation；mean-variance；tail risk

收稿日期：2015-09-30

通信作者：王文勝(1970—)，男，教授，主要從事隨機(jī)過程和金融數(shù)學(xué)研究.E-mail:wswang2008@163.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.016

中圖分類號:O211.9；O224MSC2010: 90C27

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號:1674-232X(2016)03-0312-04