方楠楠，谷　峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

b-度量空間中兩對自映象的公共不動點定理

方楠楠，谷峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：在完備b-度量空間的框架下，討論了一類新的壓縮型映象，證明了此類映象公共不動點的存在性和唯一性，獲得了一個新的公共不動點定理，推廣和發(fā)展了原有的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：相容映象；自映象；弱相容；b-度量空間；公共不動點

1預(yù)備知識

1993年，Czerwik[1]首次提出了b-度量空間的概念，此后，許多人研究了該空間中的不動點問題，得到了一些有重要意義的研究結(jié)果[1-6].2009年，李亞瓊等[7]在度量空間中研究了兩對相容映象的一個公共不動點問題, 在某些條件下，證明了一個新的公共不動點定理. 本文的目的是把文[7]在度量空間中的相應(yīng)結(jié)果推廣到b-度量空間之中.

定義1[1]設(shè)X是一個非空集合，b≥1是一個給定的實數(shù). 稱函數(shù)d:X×X→R+是集合X上的一個b-度量，若?x,y,z∈X，有以下條件被滿足:

(ii)d(x,y)=d(y,x);

(iii)d(x,y)=b[d(x,z)+d(z,y)].

這時稱(X,d)是一個b-度量空間，實數(shù)b≥1稱為該b-度量空間的系數(shù).

注1當(dāng)b=1時，b-度量空間即為通常的度量空間，但一般情況下，b-度量空間未必是度量空間，如文[2]中例3.1.

注2集合X上的一個b-度量不一定連續(xù)，如文[3]中例1.3.

定義2[4]設(shè)(X,d)是b-度量空間，{xn}?X，

(ii)若d(xn,xm)→0(n,m→∞),則稱{xn}為X中的一個b-Cauchy列.

注3[4]每個b-收斂點列的極限是唯一的，而且每個b-收斂點列都是b-Cauchy列.

定義3[4]設(shè)(X,d)是b-度量空間，如果X中的每個b-Cauchy都在X中b-收斂，則稱b-度量空間(X,d)是b-完備.

定義4[5]設(shè)(f,g)是b-度量空間(X,d)上的自映象對，稱(f,g)是相容的，如果?{xn}?X,只要fxn→x,gxn→x(n→∞),x∈X，就有d(fgxn,gfxn)→0(n→∞).

定義5[8]集合X上的自映象對(f,g)稱為是弱相容的，如果{t∈X:f(t)=g(t)}?{t∈X:fg(t)=gf(t)}.

注4顯然，相容映象對一定是弱相容映象的，但反之不真，反例可見[8].

引理2[5]設(shè)(X,d)是一個b-度量空間，{xn},{yn}?X，若xn→t(n→∞)且d(xn,yn)→0(n→∞)，則yn→t(n→∞).

2主要結(jié)果

定理1設(shè)(X,d)是具有系數(shù)b≥1的完備b-度量空間，S,T,A,B:X→X是4個映象，設(shè)φ(x,y)是X×X到[0,∞)的對稱連續(xù)函數(shù)，滿足φ(x,x)=0，?x∈X. 如果存在α,β∈[0,1)，使得以下條件成立：

(i)SX?BX，TX?AX；

(Ⅰ)A,S之一連續(xù)，(S,A)相容，(T,B)弱相容；

(Ⅱ)B,T之一連續(xù)，(T,B)相容，(S,A)弱相容.

證明由于SX?BX，TX?AX，因此?x0∈X,?x1∈X,使得Sx0=Bx1=y0；?x2∈X,使得Tx1=Ax2=y1；…；?x2n+1∈X,使得Sx2n=Bx2n+1=y2n；?x2n+2∈X，使Tx2n+1=Ax2n+2=y2n+1；…；這樣得到點列{xn}和{yn}.

下證{yn}是X中的Cauchy列.根據(jù)條件(iii)可以得到：

d(y2n,y2n+1)=d(Sx2n,Tx2n+1)≤

當(dāng)d(y2n-1,y2n)≥d(y2n,y2n+1)時，

(1)

當(dāng)d(y2n-1,y2n)

(2)

綜合式(1)和(2)，得

(3)

同理可證

(4)

從而由式(3)和(4)可知，對一切n≥1，有

(5)

由條件(ii)可知

(6)

(7)

由式(5)和(7)得

(8)

因為對任意整數(shù)m,n,m>n，由三角不等式和式(8)，有

下面分兩種情況證明z是S,T,A和B的公共不動點.

情形1設(shè)條件(Ⅰ)被滿足.

因為序列{Sx2n}={Bx2n+1}={y2n}和{Tx2n-1}={Ax2n}={y2n-1}都是{yn}的子列，因此它們也收斂于z，又因為(S,A)是X上的一對相容映象，則有d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞).

先設(shè)A連續(xù)，則A2x2n→Az,ASx2n→Az(n→∞)，由d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞)及引理2知SAx2n→Az(n→∞). 根據(jù)條件(iii)可得

由引理1得

所以

d(Az,z)≤αd(Az,z)+b2φ(Az,z).

(9)

(10)

所以由式(10)及0≤β<1,b≥1易知，有φ(Az,z)=0. 將其代入式(9)中得d(Az,z)≤αd(Az,z)，由0≤α<1得d(Az,z)=0，故Az=z.

再由條件(iii)可知

由引理1知

(11)

再根據(jù)條件(iii)及Az=Sz，Tz=Bz得

綜上可知，Sz=Tz=Az=Bz=z，即z是S,T,A和B的公共不動點.

再設(shè)S連續(xù)，則S2x2n→Sz,SAx2n→Sz(n→∞)，因為(S,A)是相容映象對，故d(SAx2n,ASx2n)→0(n→∞)，因此由引理2知ASx2n→Sz(n→∞).

利用條件(iii)可得

(12)

由引理1可得

由引理1得

(13)

綜上可知，Sz=Tz=Az=Bz=z，即z是S,T,A和B的公共不動點.

情形2設(shè)條件(Ⅱ)被滿足.這種情況與情形1的證明類同，此處省略.

最后證明z是S,T,A,B的唯一公共不動點，而且z也分別是映象對(S,A)和(T,B)的唯一公共不動點. 設(shè)z′≠z,z′∈X也是S和A的一個公共不動點，根據(jù)條件(iii)可知

(14)

再根據(jù)條件(ii)得

注5定理1不僅將[7]中定理2.1從度量空間拓廣至b-度量空間，而且還將兩對映象都相容減弱為一對相容另一對弱相容.

注6在定理1中?。?)φ(x,y)=0；2)A=B=I(其中I表恒等映象,下同)；3)S=T,A=B；4)S=T,A=B=I，可得到對應(yīng)的新結(jié)果，此處省略.

在定理1中取b=1，則得到如下推論.

推論1設(shè)(X,d)是完備度量空間，S,T,A,B:X→X是4個映象，設(shè)φ(x,y)是X×X到[0,∞)的對稱連續(xù)函數(shù)，滿足φ(x,x)=0，?x∈X. 如果存在α,β∈[0,1)，使得以下條件成立：

(i)SX?BX，TX?AX；

(Ⅰ)A,S之一連續(xù)，(S,A)相容，(T,B)弱相容；

(Ⅱ)B,T之一連續(xù)，(T,B)相容，(S,A)弱相容.

注7推論1將[7]中定理2.1的條件從兩對映象都相容減弱為一對相容另一對弱相容.

參考文獻:

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Two Pairs of Self-image Common Fixed Point Theorem inb-metric Space

FANG Nannan， GU Feng

(School of Science， Hangzhou Normal University， Hangzhou 310036， China)

Abstract:In the framework of complete b-metric space, a type of new contractive mappings was discussed， the existence and uniqueness of the common fixed point were proved, a new common fixed theorem was obtained, the existing conclusions were extended.

Key words:compatible mappings; self-image; weakly compatible; b-metric space; common fixed point

收稿日期：2015-06-10

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11071169)；浙江省自然科學(xué)基金項目(Y6110287).

通信作者：谷峰(1960—)，男，教授，主要從事非線性分析及應(yīng)用研究.E-mail：gufeng99@sohu.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.011

中圖分類號:O189；O177MSC2010： 47H10；54H25；55M20

文獻標(biāo)志碼:A

文章編號:1674-232X(2016)03-0282-08