欽　爽，曹　磊，張道祥

(安徽師范大學數學與計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003)

一類帶有非線性發(fā)生率和大眾傳播媒體影響的傳染病模型的穩(wěn)定性及分支的研究

欽爽，曹磊，張道祥

(安徽師范大學數學與計算機科學學院，安徽 蕪湖 241003)

摘要：文章研究了一類帶有非線性發(fā)生率和大眾媒體影響的傳染病模型，結果表明該模型存在兩個平衡點，即無病平衡點和地方病平衡點.對平衡點的穩(wěn)定性進行了研究，并討論了分支的存在性.

關鍵詞：傳染病模型；大眾媒體；平衡點；穩(wěn)定性；分支

0引言

微分方程理論在數學生態(tài)學中的應用在近些年得到迅速的發(fā)展.為了分析傳染病的傳播和控制，建立一個合理的接近現(xiàn)實的數學模型顯得尤為重要.

傳染病的傳播主要在易感染者和感染者之間的接觸中發(fā)生，此外，接種疫苗、住院治療、移民等因素也會影響傳染病的傳播[1-6].進入信息時代，大眾媒體也會對傳染病的傳播帶來重要影響.它能讓群眾迅速了解傳染病的發(fā)展形勢、自己是否需要隔離或者接種疫苗等信息，也會影響當地政府的決策.但大眾媒體對于傳染病的影響是相當復雜的，媒體的報道及其覆蓋范圍、對信息的加工、個體對媒體報道的警惕性反應、官方的控制、阻止措施和政策等相互交錯，共同影響著傳染病的傳播和發(fā)展[7].媒體的某些片面?zhèn)鞑?，也有可能造成傳染病的形勢顯著惡化[8].Cui等[9]介紹了一類帶有媒體報道的倉室模型，并假設媒體報道有助于減少與感染者的接觸率，并且減少傳染.研究表明，傳染病可以經由相應的宣傳方案得以控制，即使通過移民，傳染病仍然會保持在一個地方病平衡點[10].

受到文[7-11]的啟發(fā)，下文考慮由微分方程描述的帶有媒體影響及非線性發(fā)生率的傳染病模型:

(1)

即總人口N(t)被分為4個子類：未受大眾傳媒宣傳影響的易感染者、感染者、康復者、受大眾傳媒宣傳影響的易感染者，它們的數量由S,I,R,Sm分別表示，且N=S+I+R+Sm.令M(t)是該地區(qū)對考慮媒體宣傳方案的人群的累積密度.人口的補充率A>0，系數r和rm分別表示自然康復率和受到媒體宣傳方案影響的康復率.另外，一個感染者在單位時間內接觸易感染者的次數乘以一次接觸造成傳染的概率所得的積用傳播系數β表示，系數ε和d表示癥狀的升級率和由疾病帶來的額外死亡率，v表示康復者喪失免疫力再次感染疾病的復發(fā)率，γ表示由于大眾傳媒宣傳傳播使得未被宣傳的易感染者變?yōu)槭艿叫麄饔绊懙囊赘腥菊叩母怕?，δ表示由于大眾傳媒的缺失使得受到媒體宣傳影響的易感染者變?yōu)槲词苊襟w宣傳影響的易感染者的概率，常數μ1和μ2表示受到感染者數量影響的媒體宣傳強度和宣傳方案的自然衰減率.

由N=S+I+R+Sm，考慮如下簡化模型:

(2)

1基本再生數以及可能存在的平衡點

基本再生數R0表示當所有人均為易感染者時，一個傳染病患者在其平均患病周期內感染人數的期望，也稱作基本再生率，是數學上描繪傳染病傳播時一種常用的闕值，幫助確定這種傳染病是否會在人群中蔓延.本文采用類似Driessche等[12]的方法計算基本再生數.

(3)

A1(I*)2+A2I*+A3=0

(4)

關于地方病平衡點的存在性，有如下結果：

定理1對于模型(2)，

(a)當R0>1時，存在一個獨立的地方病平衡點；

(b)當R0=1且A2<0時，存在一個獨立的地方病平衡點；

2穩(wěn)定性分析

關于平衡點的局部穩(wěn)定性，本文給出如下結論.

定理2當R0<1，無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定；當R0>1時，P0是不穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)在無病平衡點P0處的Jacobian矩陣為：

注意到R0<1時，所有的5個特征值均有負實部，當R0>1時，4個特征值有負實部，1個特征值有正實部.從而，當R0<1時，無病平衡點P0是局部漸近穩(wěn)定的，當R0>1 時，是不穩(wěn)定的，證畢.

定理3地方病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的，如果如下條件成立：

這里B1,B2,B3,B4,B5會在此定理證明過程中給出.

證明系統(tǒng)在地方病平衡點P*處的Jacobian矩陣為：

J的特征方程滿足P(λ)=λ5+B1λ4+B2λ3+B3λ2+B4λ+B5=0, 這里:

B1=-(a11+a22+a33+a44+a55),

B2=a11a22+a11a33+a11a44+a11a55-a12a21+a22a33+a22a44+a22a55-a23a32-a24a42+a33a44+a33a55+a44a55,

B3=-a11a22a33-a11a22a44-a11a22a55+a11a23a32+a11a24a42-a11a33a44-a11a33a55-a11a44a55+a12a21a33+a12a21a44+a12a21a55-a12a24a41-a22a33a44-a22a33a55-a22a44a55+a23a32a44+a23a32a55-a24a32a43+a24a33a42+a24a42a55-a24a45a52-a33a44a55,

B4=a11a22a33a44+a11a22a33a55+a11a22a44a55-a11a23a32a44-a11a23a32a55+a11a24a32a43-a11a24a33a42-a11a24a42a55+a11a24a45a52+a11a33a44a55-a12a21a33a44-a12a21a33a55-a12a21a44a55+a12a24a33a41+a12a24a41a55+a22a33a44a55-a23a32a44a55+a24a32a43a55-a24a33a42a55+a24a33a45a52,

B5=-a11a22a33a44a55+a11a23a32a44a55-a11a24a32a43a55+a11a24a33a42a55-a11a24a33a45a52+a12a21a33a44a55-a12a24a33a41a55.

由Routh-Hurwitz判別法[13]可知，當所有假設滿足時，地方病平衡點P*是局部漸近穩(wěn)定的.

定理4當R0<1時，無病平衡點P0是全局漸近穩(wěn)定的；當R0>1時，不穩(wěn)定.

證明下面用比較定理證明該命題.由系統(tǒng)(2)的第二個方程，

3分支分析

定理2表明R0=1是一個分支值.事實上，當R0在1的左右兩邊變化時，無病平衡點的穩(wěn)定性也發(fā)生了相應的變化.下面研究系統(tǒng)(2)中無病平衡點P0的自然分支R0=1，并進一步尋找可以引起向前分支或者向后分支精確的參考值.考慮參數Φ的一般性常微分方程系統(tǒng)

(5)

不失一般性，假設對于任意參數Φ而言，0都是系統(tǒng)(5)的一個平衡點.即Φ=0時f(0,Φ)≡0.

為了得到相應結論，首先引入如下引理：

引理1[15]假設

(a)若a>0,b>0.當Φ<0且|Φ|?1時，x=0是局部漸近穩(wěn)定的，且存在一個正的不穩(wěn)定平衡點；0<Φ?1時，x=0是不穩(wěn)定的，且存在一個局部漸近穩(wěn)定的負平衡點.

(b)若a<0,b<0.當Φ<0且|Φ|?1時，x=0是不穩(wěn)定的;當0<Φ?1時，x=0是局部漸近穩(wěn)定的，且存在一個正的不穩(wěn)定平衡點.

(c)若a>0,b<0.當Φ<0且|Φ|?1時，x=0是不穩(wěn)定的且存在一個全局漸近穩(wěn)定的負平衡點；當0<Φ?1時，x=0是穩(wěn)定的，且存在一個正的不穩(wěn)定平衡點.

(d)若a<0,b>0.當Φ由負到正變化時，x=0從穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定，相應的，從存在一個負的不穩(wěn)定平衡點變?yōu)榇嬖谝粋€局部穩(wěn)定的正平衡點.

容易發(fā)現(xiàn)，在Φ=0處出現(xiàn)超臨界分支，更精確地說，即當a<0且b>0時， 出現(xiàn)向前分支，當 a>0 且b>0時，出現(xiàn)向后分支.

令x1=N,x2=I,x3=R,x4=Sm,x5=M，則系統(tǒng)(2)變?yōu)?/p>

(6)

計算可以得到特征值：λ1=-d，λ2=0，λ3=-(v+d)，λ4=-(d+δ)，λ5=-μ2.

容易看出，λ2=0是矩陣J(P0,b*)的本特征值，且其他特征值均為負實數，無病平衡點P0為非平凡平衡點，從而引理1的條件(i)得到驗證.

通過計算可得

其他的二階導數均為0.那么，引理1中的系數a，b可以分別計算得到：

參考文獻:

[1] LIN Y G, JIANG D Q, WANG S. Stationary distribution of a stochastic SIS epidemic model with vaccination[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications,2014,394:187-197.

[2] GAN G Q, YANG X F, LIU W P, et al. An epidemic model of computer viruses with vaccination and generalized nonlinear incidence rate[J]. Applied Mathematics and Computation,2013,222:265-274.

[3] DE LA SEN M, AGARWAL R P, IBEAS A, et al. On a generalized Time-Varying SEIR epidemic model with mixed point and distributed Time-Varying delays and combined regular and impulsive vaccination controls[J/OL]. Advances in Difference Equations,2010,2010:1-42[2015-06-30].http://link.springer.com/article/10.1155/2010/281612.

[4] MUROYA Y, ENATSU Y, KUNIYA T. Global stability of extended multi-group SIR epidemic models with patches through migration and cross patch infection[J]. Acta Mathematica Scientia,2013,33(2):341-361.

[5] WANG W M, CAI Y L, WU M J, et al. Complex dynamics of a reaction-diffusion epidemic model[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications,2012,13(5):2240-2258.

[6] HE Y Y, GAO S J, LV H M, et al. Asymptotic behavior of an SEIR epidemic model with quadratic treatment[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing,2013,42(1/2):245-257.

[7] LIU R S, WU J H, ZHU H P. Media/psychological impact on multiple outbreaks of emerging infectious diseases[J]. Computational and Mathematical Methods in Medicine,2007,8(3):153-164.

[8] TCHUENCHE J M, DUBE N, BHUNU C P, et al. The impact of media coverage on the transmission dynamics of human influenza[J]. BMC Public Health,2011,11(S1):S5.

[9] CUI J A, SUN Y H, ZHU H P. The impact of media on the spreading and control of infectious disaese[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations,2008,20(1):31-53.

[10] MISRA A K, SHARMA A, SHUKLA J B. Modeling and analysis of effects of awareness programs by media on the spred of infectious diseases[J]. Mathmayical and Computer Modeling,2011，53(5/6):1221-1228.

[11] CAPASSO V, SERIO G. A generalization of the Kermack-McKendrick deterministic epidemic model[J]. Mathematical Biosciences,1978,42(1/2):43-61.

[12] VAN DEN DRIESSCHE P, WATMOUGH J. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission[J]. Mathematical Biosciences,2002,180(1/2):29-48.

[13] HOLTZ O. Hermite-Biehler, Routh-Hurwitz and total positivity[J]. Linear Algebra and its Applications,2003,372:105-110.

[14] LAKSHMIKANTHAM V, LEELA S, MARTYNYUK A A. Stability analysis of nonlinear systems[M]. New York: Marcel Dekker Inc,1989.

[15] CASTILLO-CHAVEZ C, SONG B J. Dynamical models of tuberculosis and their applications[J]. Mathematical Biosciences and Engineering:MBE,2004,1(2):361-404.

Stability and Bifurcation Researches for an Epidemic Model with Nonlinear Incidence and Mass Media

QIN Shuang, CAO Lei， ZHANG Daoxiang

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University， Wuhu 241003, China)

Abstract:In this paper, an epidemic model with nonlinear incidence and mass media is investigated. It is shown that the model exhibits two equilibrium, namely, disease-free equilibrium and endemic equilibrium. The stability of equilibria and the existence of bifurcation are studied.

Key words:epidemic model; mass media; equilibrium; stability; bifurcation.

收稿日期：2015-07-30

基金項目：國家自然科學基金項目(11302002)；安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金重點項目(2011SQRL022ZD).

通信作者：張道祥(1979—)，男，副教授，主要從事生物數學研究.E-mail：18955302433@163.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.013

中圖分類號:O175; Q141MSC2010: 34C17

文獻標志碼:A

文章編號:1674-232X(2016)03-0294-07