劉春曉

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

用相場(chǎng)法優(yōu)化非均勻薄膜的密度分布

劉春曉

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

摘要：采用相場(chǎng)法求解一類橢圓特征值問題相關(guān)的形狀優(yōu)化模型.由于原問題的數(shù)值不穩(wěn)定性，用正則化方法在目標(biāo)泛函中加入長(zhǎng)度懲罰項(xiàng)，進(jìn)而提出一種梯度型求解算法并給出數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了算法的有效性.

關(guān)鍵詞：相場(chǎng)法;特征值;形狀優(yōu)化；有限元

形狀優(yōu)化在工程上有廣泛應(yīng)用[1].這類問題通常希望借助計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬來優(yōu)化區(qū)域的形狀，使得定義在區(qū)域上的偏微分方程的解相關(guān)的目標(biāo)函數(shù)極小或極大，往往含有幾何約束[2].目前，已有一些形狀優(yōu)化方法，如形狀靈敏度分析法[2]、拓?fù)鋬?yōu)化法[1]以及水平集方法[3].

本文考慮對(duì)兩種密度的震動(dòng)薄膜的諧振頻率優(yōu)化[1,4-6].假設(shè)Ω?R2是一有界開區(qū)域，邊界?Ω滿足利普希茨連續(xù).Ω表示一張邊界固定的由兩種材料組成的薄膜.該薄膜密度函數(shù)ρ(x):Ω→{ρ1,ρ2}是一分段常數(shù)函數(shù)，滿足

(1)

其中，0<ρ1<ρ2<∞ 是兩已知材料密度值，ω?Ω是待優(yōu)化的未知區(qū)域.設(shè)χ=χ(ω)是ω的特征函數(shù)，屬于容許集合U:={χ∈L∞(Ω)|χ(x)∈{0,1}a.e.Ω}，則ρ(x)=(ρ2-ρ1)χ(x)+ρ1.給定ρ，薄膜的諧振頻率可通過求解下面的特征值問題得到:

(2)

1相場(chǎng)法

(3)

2基于拉格朗日乘子法的梯度型算法

(4)

最后，∫ΩΦdx-M關(guān)于Φ的梯度為1.綜上，泛函L的鞍點(diǎn)滿足

(5)

(6)

(7)

時(shí)間步長(zhǎng)τ(n)>0.用自適應(yīng)方法來選?。?/p>

(8)

其中τmin和τmax是給定的下界和上界，可通過試錯(cuò)法來選取.

(9)

由式(5)和(9)得ν的更新為：

(10)

3數(shù)值實(shí)驗(yàn)

深色區(qū)域密度大圖1　矩形區(qū)域上得到的最優(yōu)形狀Fig. 1　Optimized shape in rectangle area

A：極大化λ2-λ1; B：極大化λ5-λ4.圖2　目標(biāo)泛函收斂過程Fig. 2　Convergence of the objective functional

圖3　其它區(qū)域上極大化λ2-λ1得到的最優(yōu)形狀Fig. 3　Optimized shape for maximizing λ2-λ1 in other areas

4結(jié)論

本文用相場(chǎng)法優(yōu)化特征值問題.用拉格朗日乘子法可以有效地處理約束條件.本文提出一種梯度型算法，通過交替迭代的方式進(jìn)行數(shù)值求解.最后，矩形區(qū)域和不規(guī)則區(qū)域的數(shù)值例子充分顯示了方法的可行性和有效性.

參考文獻(xiàn):

[1] BENDSOE M P, SIGMUND O. Topology optimization: theory, methods and applications[M]. Heidelberg: Springer-Verlag,2013.

[2] SOKOLOWSKI J, ZOLESIO J P. Introduction to shape optimization: shape sensitivity snalysis[M]. Heidelberg：Springer,1992.

[3] HE L, KAO C Y, OSHER S. Incorporating topological derivatives into shape derivatives based level set methods[J]. J Comput Phys,2007,225(1):891-909.

[4] COX S J, MCLAUGHLIN J R. Extremal eigenvalue problems for composite membranes, I[J]. Appl Math Optim,1990,22(1):153-167.

[5] COX S J, MCLAUGHLIN J R. Extremal eigenvalue problems for composite membranes, II[J]. Appl Math Optim,1990,22(1):169-187.

[6] ZHU S F, WU Q B, LIU C X. Variational piecewise constant level set methods for shape optimization of a two-density drum[J]. J Comput Phys,2010,229(13):5062-5089.

[7] MODICA L. The gradient theory of phase transitions and the minimal iterface criterion[J]. Arch Ration Mech An,1987,98(2):123-142.

A Phase-field Method for Optimizing Density Distribution of a Nonhomogeneous Membrane

LIU Chunxiao

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

Abstract:The paper uses the phase-field method to solve an elliptic eigenvalue problem related shape optimization model. A perimeter penalization term is added to the objective functional due to the numerical instabilities. A gradient-type algorithm is proposed for the new model and numerical results are presented to demonstrate the effectiveness of the algorithm.

Key words:phase-field method; eigenvalue; shape optimization; finite elements

收稿日期：2015-12-03

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301129)；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LQ13A010025).

通信作者：劉春曉(1984—),女,講師,博士,主要從事圖像處理、偏微分方程約束優(yōu)化研究.E-mail:xxliu198431@126.com

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2016.03.012

中圖分類號(hào):O29MSC2010： 65K10;65N25;65M60

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):1674-232X(2016)03-0290-04