辜　姣，郭　龍，江　健，池麗平，李　煒

(1.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無錫214122； 2.華中師范大學(xué)蓋爾曼復(fù)雜性科學(xué)研究所，武漢 430079；3.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074；4.武漢紡織大學(xué)非線性研究所，武漢 430200)

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多層網(wǎng)絡(luò)和含時網(wǎng)絡(luò)的相關(guān)問題研究

辜姣1,2，郭龍3，江健4，池麗平2，李煒2

(1.江南大學(xué)理學(xué)院，江蘇 無錫214122； 2.華中師范大學(xué)蓋爾曼復(fù)雜性科學(xué)研究所，武漢 430079；3.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074；4.武漢紡織大學(xué)非線性研究所，武漢 430200)

摘要：從多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性、多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜、含時網(wǎng)絡(luò)的時間特征、社會網(wǎng)絡(luò)含時性和多層性對輿情演化動力學(xué)的影響4個方面，就近年來的一些活躍的研究課題作了綜述。

關(guān)鍵詞：多層網(wǎng)絡(luò);含時網(wǎng)絡(luò)

0引言

在復(fù)雜系統(tǒng)研究中，一類主要的問題就是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)和動力學(xué)性質(zhì)之間的關(guān)系。近幾年來，網(wǎng)絡(luò)研究出現(xiàn)了兩類新的熱點問題，其一就是關(guān)于多層網(wǎng)絡(luò)的研究，涉及到各種不同網(wǎng)絡(luò)之間的依賴與合作，比如電網(wǎng)與通信網(wǎng)絡(luò)，疾病傳播網(wǎng)絡(luò)與社交網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)濟網(wǎng)絡(luò)與金融網(wǎng)絡(luò)等；另一類就是關(guān)于含時網(wǎng)絡(luò)的研究，系統(tǒng)中個體間的相互作用屬性是時間的函數(shù)，比如社交網(wǎng)絡(luò)，疾病傳播網(wǎng)絡(luò)等。因此，在拓撲結(jié)構(gòu)引入一些新的屬性后，相應(yīng)地網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)性質(zhì)也出現(xiàn)一些新的特征。本文從多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性、多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜、含時網(wǎng)絡(luò)的時間特征、含時網(wǎng)絡(luò)下的輿論動力學(xué)4個方面，對近期的相關(guān)研究作了一個綜述。

1相互依賴多層網(wǎng)絡(luò)的魯棒性分析

隨著現(xiàn)代科技的迅猛發(fā)展，各種不同類型的復(fù)雜系統(tǒng)之間的聯(lián)系也越來越緊密，如通信與電力系統(tǒng)，水和食物供應(yīng)系統(tǒng)等等[1]。這些具有相互作用的復(fù)雜系統(tǒng)都可以用相互依賴網(wǎng)絡(luò)來刻畫。在相互依賴網(wǎng)絡(luò)中，一個網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點發(fā)生故障而失效會導(dǎo)致其他網(wǎng)絡(luò)中依賴節(jié)點也發(fā)生故障，這樣會進一步導(dǎo)致第一個網(wǎng)絡(luò)中更多節(jié)點的失效，從而形成級聯(lián)失效。這樣網(wǎng)絡(luò)間的相互影響給其魯棒性分析帶來了新的挑戰(zhàn)，如何設(shè)計具有強魯棒性的相互依賴網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)已經(jīng)成為當今網(wǎng)絡(luò)科學(xué)的熱點話題之一。

自從2010年，Buldyrev等[2]在《Nature》上發(fā)表了相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性的重要論文之后，這方面的相關(guān)工作猶如雨后春筍，相繼涌現(xiàn)。在文獻[1]中，Buldyrev發(fā)現(xiàn)了一個重要的結(jié)論: 相互依賴網(wǎng)絡(luò)比單一網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊時更加脆弱，并且會出現(xiàn)與單一網(wǎng)絡(luò)里二階連續(xù)相變行為完全不同的一階非連續(xù)相變。Parshani等[3]發(fā)現(xiàn)相互依賴網(wǎng)絡(luò)的相變行為與網(wǎng)絡(luò)間的依賴強度有關(guān)，當依賴強度減弱到某個臨界值時，系統(tǒng)出現(xiàn)二階相變，魯棒性得到加強。Zhou D和Huang X等[4-5]分別發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)間的聚集性和異質(zhì)性會減弱系統(tǒng)的魯棒性。高建喜等[6-7]理論分析了兩個具有多重依賴關(guān)系的相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，還將蓄意攻擊映射到隨機攻擊上，并建立了相關(guān)理論框架分析完全相互依賴和部分相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性。董高高等[8-9]較為系統(tǒng)的研究了4類不同相互依賴網(wǎng)絡(luò)的魯棒性問題，它們分別是網(wǎng)絡(luò)間只存在依賴邊；網(wǎng)絡(luò)間只存在連接邊；網(wǎng)絡(luò)間存在連接邊和依賴邊；網(wǎng)絡(luò)間存在支持-依賴的有向連邊。除此之外，Li W等[10]考慮了真實網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)在空間地理中的情況。Morris等[11]調(diào)研了耦合空間網(wǎng)絡(luò)中的運輸過程。文獻將二重相互依賴網(wǎng)絡(luò)擴展到多重相互依賴網(wǎng)絡(luò)即網(wǎng)絡(luò)中的網(wǎng)絡(luò)[12-16]。唐明等[17]還考慮了相互依賴網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播動力學(xué)行為。更多相關(guān)研究可以參考綜述文章[18]。

與此相關(guān)的我們自己的研究中，主要著眼于相互依賴網(wǎng)絡(luò)間的依賴強度及依賴關(guān)系對系統(tǒng)魯棒性的影響，通過構(gòu)建二重相互依賴無標度網(wǎng)絡(luò)和相互依賴隨機網(wǎng)絡(luò)的理論模型，解析分析擇優(yōu)依賴和隨機依賴對系統(tǒng)級聯(lián)失效行為的影響，研究發(fā)現(xiàn)相互依賴無標度網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出二階相變，其魯棒性隨依賴強度增大而加強，然而相應(yīng)依賴隨機網(wǎng)絡(luò)則表現(xiàn)相反，并且網(wǎng)絡(luò)間的擇優(yōu)依賴關(guān)系相比隨機依賴關(guān)系更能提高系統(tǒng)的魯棒性[19]。

2多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜性質(zhì)

考慮一個包含M層，每層N個節(jié)點的簡單(無向、全連通、不存在自循環(huán))多層網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)多層網(wǎng)絡(luò)的每一個節(jié)點是可以標記的，其中第α層的鄰接矩陣或強度矩陣可以表示為W(α)∈RN×N，對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為L(α)=S(α)-W(α)，其中S(α)為對角元素為這一層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點強度的對角矩陣。依次寫出每一層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣，并使其為對角元素構(gòu)成對角矩陣，則為只考慮層內(nèi)聯(lián)系，整個多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣。定義WI∈RM×M為多層網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點層間的聯(lián)系矩陣，其對應(yīng)的拉普拉斯矩陣為LI=SI-WI。整個多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯算子為L=LL+LI，其中，LL描述多層網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點層內(nèi)聯(lián)系的拉普拉斯算子(其對應(yīng)矩陣為L(α)，α=1,…,M的對角矩陣)，LI描述多層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點層間聯(lián)系的拉普拉斯算子。

多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜與其網(wǎng)絡(luò)的拓撲性質(zhì)相關(guān)。在多層網(wǎng)絡(luò)中，L算子的譜包含LI算子的譜。當M較小時，LI的本征值可以由層間聯(lián)系強度決定[23]，例如，當M=2時，LI的本征值為{0,2D}，其中，D為層間關(guān)聯(lián)的強度。當多層網(wǎng)絡(luò)中層間為完全連接并具有相同的權(quán)重D時，LI的本征值可寫為{0,MD{M-1}}，M-1為本征值MD的重數(shù)。

在多層網(wǎng)絡(luò)中，通過對每一層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯譜與層間不存在聯(lián)系時的拉普拉斯譜進行比較時，可以看出此多層網(wǎng)絡(luò)的層間關(guān)聯(lián)是否緊密。例如，設(shè)Dx為多層網(wǎng)絡(luò)中層間關(guān)聯(lián)強度最大值和層內(nèi)關(guān)聯(lián)強度最大值的比值，若兩者本征值近差別一個小量(約為γiDx，γi為節(jié)點i的層間聯(lián)系強度)，即Dx?1，即多層網(wǎng)絡(luò)層間關(guān)聯(lián)較弱。當然，不論Dx如何設(shè)置，多層網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯算子譜始終包含一個0的特征值，并且存在M-1個與Dx相關(guān)的特征值。

3含時網(wǎng)絡(luò)的時間特征

含時網(wǎng)絡(luò)主要用來刻畫復(fù)雜系統(tǒng)中微觀相互作用斷續(xù)存在的情形[24]。例如，在手機通訊網(wǎng)絡(luò)中，A和B之間的連邊僅當A和B發(fā)生通話時才存在。通話結(jié)束后，A和B之間的連邊也隨之消失。按傳統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法，僅在A、B之間產(chǎn)生一條連邊已經(jīng)不足以描述微觀相互作用時刻變化的特點。于是，“時間”作為一個獨立自由度引入到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，稱之為含時網(wǎng)絡(luò)，用G(V,E,t)表示，其中t代表連邊發(fā)生的時刻，如圖1所示。相應(yīng)地，含時網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣為A：a(i,j,t)=1代表節(jié)點i和j在t時刻有聯(lián)系；否則a(i,j,t)=0。因此，在含時網(wǎng)絡(luò)中，每一條連邊都帶有時間，每一條路徑都要考慮時間的先后順序。含時網(wǎng)絡(luò)的研究目的就在于揭示時間的引入對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及傳播過程的影響。

圖1　含時網(wǎng)絡(luò)示意圖，代表節(jié)點

本文將著重從時間的角度簡要介紹含時網(wǎng)絡(luò)的研究現(xiàn)狀：一是時間累計(time-aggregation)方法，側(cè)重于探討含時網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點。另一類是時序(time-ordering)的影響，側(cè)重于分析時間先后順序如何影響含時網(wǎng)絡(luò)上的動力學(xué)過程。詳細內(nèi)容可參考Holme等的綜述文獻。

3.1時間累計方法

在時間累加的框架下，時間間隔Δt對描述含時網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)起著重要作用。時間間隔太小，每一個時間間隔內(nèi)包含的節(jié)點和連邊也少，無法觀察到一些重要子圖的形成或消失。時間間隔太大，每一個時間間隔內(nèi)幾乎包含了所有的節(jié)點和連邊，無法觀察到關(guān)鍵連邊的出現(xiàn)等現(xiàn)象。目前大家主要選取自然時間單位作為時間間隔來研究。Krings等[25]以小時、天、星期等為時間間隔研究了手機通訊網(wǎng)絡(luò)。池麗平等[26]以天、年為時間間隔分別研究了AutonomousSystems網(wǎng)絡(luò)、科學(xué)家合作網(wǎng)的演化特征。Trajanovski等[27]則探討了一定時間間隔下含時網(wǎng)絡(luò)在隨機刪除與蓄意攻擊下的魯棒性；Ribeiro等[28]研究了時間間隔對隨機行走過程的影響。

圖2　將含時網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的3種方法[29]

除了利用時間分段法將含時網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)之外，Holme還提出了另外兩種方法，分別為重復(fù)出現(xiàn)法和指數(shù)閾值法[29]，如圖2所示。重復(fù)出現(xiàn)法是指，如果兩個節(jié)點在tstart之前或tstop之后均有聯(lián)系，則這兩個節(jié)點之間產(chǎn)生一條連邊。tstart與tstop的選擇對靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建非常重要。指數(shù)閾值法是指，每一條連邊按e-t/τ賦予權(quán)重，其中t為連邊發(fā)生的時刻，τ為調(diào)節(jié)參數(shù)。如果該權(quán)重大于閾值Ω，則這條連邊可以出現(xiàn)在靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中。

忽略連邊的時間先后順序，將含時網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)，有助于運用靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)中一些成熟的方法來研究含時網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，從而簡化時間維度的分析。然而，如何選擇合適的時間間隔來轉(zhuǎn)化含時網(wǎng)絡(luò)、并且最大程度地保留其時序特征，到目前為止仍是一個開放問題。

3.2時序的影響

連邊存在時間先后順序，使含時網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)一些特有的性質(zhì)，并對含時網(wǎng)絡(luò)上的傳播過程產(chǎn)生重要影響。例如，可到達性是指某個時間以后，從任一節(jié)點按時間先后順序所能到達其它節(jié)點的數(shù)目；最短時間路徑定義為從節(jié)點按時間先后順序到達節(jié)點所需的最短時間；等等。這其中最引人關(guān)注的時序特征就是陣發(fā)性。陣發(fā)性是指相繼兩個事件(連邊)的時間間隔是不均勻的，而且多數(shù)服從冪律分布。

時序?qū)鞑ミ^程的影響目前仍具有爭議。一方面，有研究發(fā)現(xiàn)時間先后順序的引入會減慢傳播過程。Karsai等[30]在手機通訊數(shù)據(jù)上研究謠言傳播時，發(fā)現(xiàn)時間序列會減慢傳播速度。Starnini等[31]在研究含時網(wǎng)絡(luò)上的隨機行走時發(fā)現(xiàn)，時間序列同樣導(dǎo)致傳播過程減慢。另一方面，也有研究發(fā)現(xiàn)考慮時間序列之后會加速傳播過程。Jo等[32]通過SI 模型，發(fā)現(xiàn)具有冪律分布的陣發(fā)性會加速傳播過程。Rocha等[33]研究發(fā)現(xiàn)，不穩(wěn)定的陣發(fā)性過程會使得SI、SIR模型的傳播速度加快。與此同時，還有研究指出，時間先后順序?qū)鞑ミ^程的影響需要綜合多種因素。Lambiotte等[34]發(fā)現(xiàn)陣發(fā)性冪律分布的首、尾位置對傳播過程的影響不同；Holme等[35]認為傳播過程與起始時間有關(guān)；Miritello[36]認為等待時間會阻礙傳播，而組群對話則加速傳播。

含時網(wǎng)絡(luò)研究雖然在結(jié)構(gòu)、動力學(xué)等方面取得了一定進展，然而還有很多問題亟待解決。首先，缺乏統(tǒng)一的理論框架來描述含時網(wǎng)絡(luò)。比如Erd?s-Rényi隨機網(wǎng)絡(luò)用參數(shù)連接概率p表示；Watts-Strogatz小世界網(wǎng)絡(luò)由重繞概率pr決定；Barabási-Albert 無標度網(wǎng)絡(luò)通過優(yōu)先連接概率π(k)生成。然而，對于含時網(wǎng)絡(luò)，目前還沒有某個特定參量，它可以概括含時網(wǎng)絡(luò)的時序、陣發(fā)性等特征。其次，時間間隔的影響程度還需進一步明確。怎樣選擇時間間隔來轉(zhuǎn)化含時網(wǎng)絡(luò)是最優(yōu)的？如何衡量和評價其最優(yōu)性？時間間隔內(nèi)忽略了連邊的時間先后順序，必然會導(dǎo)致信息丟失，如何測量這些丟失的信息？最后，時間序列的重要作用還需深入探討。時間序列為什么會影響以及怎樣影響含時網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)和傳播過程？怎樣的時序斑圖在網(wǎng)絡(luò)的演化和傳播中起主導(dǎo)作用？這些都是擺在我們面前尚未解決的問題。時間的引入使含時網(wǎng)絡(luò)研究充滿了機遇和挑戰(zhàn)，也將有助于我們更好地認識微觀相互作用時刻變化的復(fù)雜系統(tǒng)。

4社會網(wǎng)絡(luò)含時性和多層性對輿情演化動力學(xué)的影響

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和存儲技術(shù)的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代已拉開帷幕。人類行為痕跡被詳盡記錄下來，為研究人類行為動力學(xué)和社會現(xiàn)象的涌現(xiàn)機制理論研究提供了實證分析和理論驗證之前期準備。這也吸引了許多物理學(xué)家對其理論量化研究的廣泛關(guān)注，促進了社會物理學(xué)這一交叉領(lǐng)域的進一步發(fā)展[37-39]。許多物理學(xué)家利用統(tǒng)計物理和圖論的方法和思想量化研究社會現(xiàn)象和社會動力學(xué)。例如：社會網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)及其演化、語言演化、人口動力學(xué)、疾病傳播動力學(xué)、輿情演化動力學(xué)等等。

輿情演化動力學(xué)是人類社會中集群動力學(xué)現(xiàn)象之一。輿情被認為是個體對某一感興趣話題的判斷、觀點、情感和態(tài)度的表達。這種表達往往依賴于個體的主觀性和客觀性判斷。相互影響的個體(或團體)之間輿情的趨同和分化是非常重要的社會過程[40]，類似于統(tǒng)計物理中Ising模型中有序-無序相變。物理學(xué)中有序相對應(yīng)于社會系統(tǒng)中個體(或團體)中輿情的一致態(tài)；而無序相對應(yīng)于個體(或團體)因輿情不同而形成的群體分化現(xiàn)象[38]。顯而易見的問題是：如何從數(shù)學(xué)或物理的角度量化分析有限尺寸大小的社會系統(tǒng)中的輿情演化動力學(xué)？為此，D.Stauffer和S.Solomon綜述了基本的物理模型和概念，例如元胞自動機、含溫度的Ising范例、逾滲理論、主方程方法[38]和平均場近似[41]。他們也展示了這些模型和概念在社會動力學(xué)中的應(yīng)用，例如選舉過程、金融市場和語言演化等。另外，R.Toral和C.J.Tessone概述了系統(tǒng)有限尺寸效應(yīng)對社會動力學(xué)演化的影響，例如輿情演化的Galam模型和文化分化形成的Axelrod模型[42]。

在社會過程中，由非凡的群聚效應(yīng)而導(dǎo)致的宏觀現(xiàn)象多來自于社會系統(tǒng)中大量微觀個體之間的相互作用。大量實證分析表明，社會復(fù)雜系統(tǒng)可抽象為社會網(wǎng)絡(luò)，其中社會系統(tǒng)中的個體映射為社會網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，個體之間潛在的相互作用映射為節(jié)點之間的連邊。社會網(wǎng)絡(luò)在描述節(jié)點之間的相互作用以及作用的頻度和強度等方面都表現(xiàn)出其特有的優(yōu)越性。顯而易見，社會網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對輿情的演化形成起著重要的作用。前人工作中分析了一些真實社會網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)對輿情演化的影響，例如小世界特性、無標度特性和社團特性等[43-45]。近年來，社會網(wǎng)絡(luò)中個體及其相互作用的多樣性和含時性對輿情演化動力學(xué)的影響受到廣泛關(guān)注。

社會網(wǎng)絡(luò)中個體及其相互作用的含時性體現(xiàn)了社會系統(tǒng)中個人類行為動力學(xué)的非平庸性，例如人類活動的間歇性和爆發(fā)性，以及人類之間相互作用(例如書信往來和訊息往來)的時間間隔分布的非泊松性[55]。這對社會系統(tǒng)(社會網(wǎng)絡(luò))上的動力學(xué)行為，例如輿情的演化和形成起著重要的作用。個體之間相互作用的含時性分為兩個方面，一個方面是個體間相互作用的含時性與輿情演化動力學(xué)相互耦合關(guān)聯(lián)，即為諸多學(xué)者研究的自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)下的輿情演化動力學(xué)。自適應(yīng)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點間的相互作用的含時性多體現(xiàn)在隨著節(jié)點輿情的時間演化促使節(jié)點間的連邊的重繞[56]。我們曾分析了依賴輿情演化動力學(xué)下自適應(yīng)社會網(wǎng)絡(luò)上社團結(jié)構(gòu)的涌現(xiàn)機制[57]。另一方面是個體間相互作用的含時性與輿情演化動力學(xué)無關(guān)，是社會網(wǎng)絡(luò)中個體行為的含時性的單獨體現(xiàn)，稱為含時社會網(wǎng)絡(luò)[58]。我們嘗試分析了二維空間格子上由于人類空間行走所造成的節(jié)點間相互作用的時間特性對輿情演化動力學(xué)的影響，發(fā)現(xiàn)人類遷移促使輿情的傳播和輿情社團的形成[59]。(注，含時網(wǎng)絡(luò)上的輿情演化仍是一個開放問題。)

5結(jié)論

我們注意到，在多層網(wǎng)絡(luò)和含時網(wǎng)絡(luò)的研究中都出現(xiàn)了一些新的描述方法和描述手段，盡管目前并不清楚這些新的變化會不會像復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最開始出現(xiàn)的時候帶來的沖擊一樣迅猛。另外，對這些新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的描述目前還缺乏統(tǒng)一的理論和模型框架，但是這些挑戰(zhàn)對于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)甚至復(fù)雜系統(tǒng)的進一步發(fā)展都極為關(guān)鍵，解決這些問題對于理解復(fù)雜系統(tǒng)的多樣性來說或許又是重要的一步。

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(責(zé)任編輯耿金花)

Recent Progress on Multiplayer and Temporal Networks

GU Jiao1,2, GUO Long3, JIANG Jian4, CHI Liping2, LI Wei2

(1.School of Science, Jiangnan University, Wuxi 214122, China;2.College of Physical Science and Technology, Huazhong Normal University, Wuhan 430079, China;3.School of Mathematics and Physics, China University of Geosciences (Wuhan), Wuhan 430074, China;4.Research Center of Nonlinear Science and College of Mathematics and Computer Science,Wuhan Textile University, Wuhan 430200, China)

Abstract:In this article, a review on recent progress of related fields is given, based on the robustness of multilayer networks, the Laplacian spectra of multilayer networks, the time pattern of temporal networks, the opinion dynamics on multilayer networks and temporal networks.

Key words:multilayer networks; temporal networks

文章編號：16723813(2016)01005807;

DOI:10.13306/j.1672-3813.2016.01.004

收稿日期：2015-07-09

基金項目：高等學(xué)校學(xué)科創(chuàng)新引智計劃(B08033)，國家自然科學(xué)基金青年項目(11405118)

作者簡介：辜姣(1983-)，女，湖北黃石人，博士，主要研究方向為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)譜圖分析。通訊作者：郭龍(1982-)，男，河南開封人，博士，副教授，主要研究方向為統(tǒng)計物理及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)。

中圖分類號：O41； O23

文獻標識碼：A