翟彥彥

（河海大學(xué)商學(xué)院，江蘇南京211100）

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一級(jí)倒立擺模糊控制、LQR控制和PID控制的比較研究

翟彥彥

（河海大學(xué)商學(xué)院，江蘇南京211100）

摘要：基于控制倒立擺平衡性的目的，通過(guò)系統(tǒng)分析倒立擺的各個(gè)組成部分，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并設(shè)計(jì)了模糊控制器、LQR控制器和PID控制器。最后通過(guò)MATLAB對(duì)一級(jí)倒立擺的三種模型進(jìn)行仿真分析，結(jié)果顯示三種控制器均可很好地控制一級(jí)倒立擺，但LQR控制效果最好，仿真角度曲線由小增大并從4開(kāi)始平穩(wěn)維持在0.1處，倒立擺仿真位置曲線也在較短的時(shí)間內(nèi)平穩(wěn)維持在0處，即具有相對(duì)較短的調(diào)解時(shí)間，較小的超調(diào)量和較好的動(dòng)靜態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：一級(jí)倒立擺；模糊控制；MATLAB；仿真

倒立擺是典型的重上支下的系統(tǒng)，具有多個(gè)特點(diǎn)，包括不穩(wěn)定性、快速多變性、耦合性等，其系統(tǒng)成本低廉、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室操作。而且倒立擺具有多種功能，能對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行檢驗(yàn)、對(duì)機(jī)器人的行走和火箭發(fā)射等進(jìn)行控制，而且還能影響衛(wèi)星的飛行姿勢(shì)。因此，倒立擺的研究在理論突破和實(shí)踐應(yīng)用等方面具有重要意義。

起擺控制和穩(wěn)定控制是學(xué)術(shù)界對(duì)倒立擺研究的兩大內(nèi)容。所謂起擺控制就是倒立擺從初始位置進(jìn)行運(yùn)動(dòng)達(dá)到指定工作位置的控制，能量反饋法能夠很好地實(shí)現(xiàn)倒立擺的起擺控制［1］。而穩(wěn)定控制是對(duì)倒立擺工作平衡點(diǎn)的控制，其控制規(guī)律眾多，較有名的是應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng)平衡穩(wěn)定控制的二次最優(yōu)控制及基于方法創(chuàng)新的智能控制［2-3］。

但是大部分關(guān)于倒立擺的文獻(xiàn)都限定在一種控制器的研究上［4］，各個(gè)控制器之間的優(yōu)缺點(diǎn)不能有效地體現(xiàn)出來(lái)。因此，如何用統(tǒng)一的方法標(biāo)準(zhǔn)對(duì)個(gè)控制器進(jìn)行評(píng)估將是未來(lái)研究的重點(diǎn)。本文將通過(guò)MATLAB對(duì)3種控制器模糊控制器、線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR控制器）和比例-積分-微分控制器（PID控制器）進(jìn)行建模評(píng)估，進(jìn)而比較和分析各控制器優(yōu)缺點(diǎn)，為以后進(jìn)行倒立擺平衡控制提供理論依據(jù)。

1　倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模

倒立擺系統(tǒng)的硬件系統(tǒng)由倒立擺本身、包含運(yùn)動(dòng)控制卡的計(jì)算機(jī)和電控箱3大部件組成。倒立擺本身包括被控的對(duì)象、角度傳感器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其中被控的對(duì)象包括小車(chē)和擺桿，執(zhí)行機(jī)構(gòu)包括伺服電機(jī)和傳動(dòng)裝置。各部件組成了一個(gè)循環(huán)系統(tǒng)［5］，如圖1所示。

圖1　倒立擺硬件系統(tǒng)

一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，需要對(duì)其進(jìn)行機(jī)理建模。在研究過(guò)程中，應(yīng)忽略空氣摩擦等，而后可將倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行抽象化，認(rèn)為其由小車(chē)和勻質(zhì)剛性桿兩部分組成，并對(duì)這兩部分進(jìn)行如圖2所示的受力分析。

圖2　小車(chē)與擺桿受力分析

其中，M和m分別為小車(chē)的質(zhì)量和擺桿的質(zhì)量；b、F和x分別為小車(chē)的摩擦系數(shù)、施加在小車(chē)上的作用力和小車(chē)的位置；I和l分別為擺桿的慣量和擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到質(zhì)心的長(zhǎng)度；Ф和θ分別為擺桿與豎直向上方向和豎直向下方向的夾角；N和P分別為擺桿作用力的水平與豎直分量。2

可得到擺桿在豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程：將作用力F用u代替，同時(shí)進(jìn)行線性化，即得到：

其中θ=π+φ。

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

然后對(duì)擺桿和小車(chē)進(jìn)行參數(shù)賦值，參數(shù)見(jiàn)表1。將參數(shù)帶入狀態(tài)方程，得到：

表1　擺桿和小車(chē)的參數(shù)賦值設(shè)置

運(yùn)用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能控性判定，步驟如下：

＞＞A=［0，1，0，0；40，0，0，0；0，0，0，1；-6，0，0，0］；

＞＞B=［0；-2；0；0.8］；

＞＞C=［1，0，0，0；0，0，1，0］；

＞＞n=sjze（A）

n = 4

＞＞tc=ctrb（A，B）；

＞＞nc=rank（tc）

nc = 4

由運(yùn)行結(jié)果可知，4階方程的能控性矩陣的秩也為4，因此系統(tǒng)是能控的。

然后，運(yùn)用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行能觀性判定，步驟如下：

＞＞To=obsv（A，C）；

＞＞no=rank（To）

no = 4

由運(yùn)行結(jié)果可知，4階方程的能觀性矩陣的秩也為4，因此系統(tǒng)也是能觀的。

2　模糊控制

模糊控制（FC）即模糊邏輯控制，它是一種較為先進(jìn)的計(jì)算機(jī)控制技術(shù)，具有3大基礎(chǔ)：模糊語(yǔ)言變量、模糊集合論和模糊邏輯推理［6］。模糊控制分為3步：第一，確定需要的模糊控制語(yǔ)言值；第二，按照一定比例變換確定的值使其與模糊變量集合中的值相對(duì)應(yīng)，同時(shí)依據(jù)相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行模糊運(yùn)算；第三，模糊數(shù)值精準(zhǔn)化，便于實(shí)際控制［7］。MATLAB仿真所用的模糊控制器的主要設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

1）確定模糊控制器結(jié)構(gòu)：選取標(biāo)準(zhǔn)的二維控制結(jié)構(gòu)，根據(jù)系統(tǒng)的具體要求按照輸入—輸出的原則，確定輸入量、輸出量模糊集及論域定義。其中e、ec和u分別為輸入誤差、誤差變化和輸出，E、EC和U為相應(yīng)的模糊量，（NL，NS，Z，PS，PL）為定義角度與位移E、EC的模糊集，如圖3中的（a）與（b）所示。

2）模糊推理決策算法設(shè)計(jì)：模糊輸出量的決策需要依據(jù)一定的模糊控制規(guī)律，然后進(jìn)行模糊推理。角度的控制規(guī)律和位移的控制規(guī)律分別如表2和表3所示。

根據(jù)適應(yīng)模糊控制器結(jié)構(gòu)框圖，在sjmu1jnk環(huán)境下搭建系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)圖（圖4），并得到最終仿真結(jié)果曲線圖5。

3　LQR控制

圖3　模糊控制器結(jié)構(gòu)

表1　角度的控制規(guī)律

表1　位移控制規(guī)律

圖4　模糊控制器在sjmu1jnk環(huán)境下的系統(tǒng)仿真結(jié)構(gòu)圖

圖5　模糊控制器的仿真結(jié)果

線性二次型指系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程是線性或是近似線性化，其指標(biāo)函數(shù)是控制變量和狀態(tài)變量的二次型［8］。LQR控制器就是借鑒線性二次最優(yōu)控制原理的先進(jìn)理念開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)而成?？刂谱兞亢蜖顟B(tài)變量的二次型任務(wù)是為了是機(jī)體在不消耗過(guò)多能量的情況下，對(duì)系統(tǒng)中各個(gè)變量進(jìn)行平衡控制，不管系統(tǒng)狀態(tài)是否偏離了平衡狀態(tài)?；谧顑?yōu)控制LQR控制的倒立擺控制器結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

圖6　基于最優(yōu)控制LQR控制的倒立擺控制器結(jié)構(gòu)圖

線性二次最優(yōu)控制LQR基本原理如下，首先根據(jù)系統(tǒng)方程：得到最佳的控制向量矩陣K：使性能指標(biāo)達(dá)到最小值：

其中，Q和R分別為正定（或正半定）厄米特或?qū)崒?duì)稱(chēng)陣，能量損耗和誤差的相對(duì)重要性由矩陣R和Q確定。

最優(yōu)狀態(tài)反饋：u（t）=-R-1BTPx（t）=-Kx（t），K=R-1BTP，其中K為最優(yōu)反饋矩陣，P為方程PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0的解。

然后考慮到期望性能對(duì)指標(biāo)選取的要求，選取Q和R為計(jì)算指標(biāo)，并利用MATLAB命令1qr運(yùn)算得出K值。

K=1qr（A，B，Q，R），其中A、B、Q、R為上面所定義的矩陣。

而且為了確保輸入量和狀態(tài)輪的權(quán)重達(dá)到平衡，選擇R 和Q兩個(gè)參數(shù)，其值如下。

通過(guò)MATLAB求得：K =［-83.8102 -22.8622 -4.4721 -8.1898］。

仿真的sjmu1jnk模型、LQR控制的小車(chē)的位置和角度仿真結(jié)果分別如圖7和圖8所示。

4　PID控制

比例-微分-積分控制器簡(jiǎn)稱(chēng)為PID控制器，該控制器操作原理簡(jiǎn)單，因此使用起來(lái)比較方便，而且適應(yīng)性很強(qiáng)，在生產(chǎn)制造過(guò)程的各個(gè)環(huán)節(jié)得到廣泛應(yīng)用。由于PID控制具有對(duì)被控對(duì)象變化反應(yīng)不敏感的特性，因此，能夠優(yōu)先應(yīng)用于自動(dòng)控制系統(tǒng)。

圖7　LQR控制器sjmu1jnk仿真系統(tǒng)原理圖

圖8　倒立擺LQR仿真結(jié)果

控制器中的微分控制作用，不但能夠降低響應(yīng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)偏差，而且能夠減小調(diào)節(jié)時(shí)間；積分作用能夠消除穩(wěn)態(tài)誤差，但增大了響應(yīng)曲線的動(dòng)態(tài)偏差以及調(diào)節(jié)時(shí)間，因此需要選用PID控制。PID控制，對(duì)于系統(tǒng)上不需要進(jìn)行精確的分析，所以在系統(tǒng)進(jìn)行控制器參數(shù)的設(shè)置上可以選擇實(shí)驗(yàn)的方法。

PID控制倒立擺的位置和倒立擺的角度在sjmu1jnk環(huán)境下所搭的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖9所示，仿真結(jié)果如圖10所示。其中角度PID中Kp1=-100，Kj1=-50，Kd1=-2.5；位移PID中Kp2=-4.5，Kj2=-1，Kd2=-0.1。通過(guò)MATLAB仿真，PID控制倒立擺擺角和小車(chē)位移仿真結(jié)果如圖10所示。

5　仿真結(jié)果比較

圖9　PID控制倒立擺sjmu1jnk仿真系統(tǒng)原理圖

MATLAB仿真模擬顯示LQR控制效果最好，仿真角度曲線由小增大并從4開(kāi)始平穩(wěn)維持在0.1處，倒立擺仿真位置曲線也在較短的時(shí)間內(nèi)平穩(wěn)維持在0處，即具有相對(duì)較短的調(diào)解時(shí)間、較小的超調(diào)量和較好的動(dòng)靜態(tài)性能。PID在20的位置才達(dá)到平衡，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，超調(diào)量較大，而且波動(dòng)較嚴(yán)重。模糊控制方法也取得了較好的效果，在4的位置達(dá)到平橫，得到的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線較好，響應(yīng)時(shí)間短、動(dòng)靜態(tài)性能好，但其開(kāi)始的波動(dòng)比LQR稍大，而且模糊控制的這些優(yōu)點(diǎn)是基于參數(shù)整定的比較好，如果沒(méi)整定理想，該優(yōu)點(diǎn)較難實(shí)現(xiàn)。

6　結(jié)論

文中運(yùn)用PID、LQR及模糊控制3種方法對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬，模擬結(jié)果表明3種控制方法都能取得較滿意的效果。但LQR控制方法模擬效果最好，具有較短的調(diào)節(jié)時(shí)間、較大的超調(diào)量，能夠很好地控制倒立擺擺桿的倒立角度和小車(chē)位置，為以后進(jìn)行倒立擺平衡控制提供很好地參考借鑒。

圖10　倒立擺PID仿真結(jié)果

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A comParatlve study on the fuzzy control，LQR control and PID control of lnverted Pendulum

ZHAI Yan-yan
（Hohai University Business School，Nanjing 211100，China）

Abstract:The system was ana1yzed and mathematjca1 mode1s were used contro1 the ba1ance of the jnverted pendu1um. The fuzzy contro11er，LQR contro11er and PID contro11er were desjgned based on the mathematjca1 mode1. MATLAB was used for the sjmu1atjon study of the jnverted pendu1um. The sjmu1atjon resu1ts of the three contro1 methods jndjcated the jnverted pendu1um can be we11 contro11ed by the fuzzy contro11er，LQR contro11er and PID contro11er，however LQR？had the best effect. Its sjmu1atjon ang1e curve jncreased from a sma11 and began to remajn at 0.1 smooth1y from 4. Sjmu1atjon posjtjon curve of jnverted pendu1um a1so majntajned at 0 wjthjn a short tjme，whjch has a shorter adjustment tjme，？a sma11er overshoot and better dynamjc performance.

Key words:jnverted pendu1um；fuzzy contro1；MATLAB；sjmu1atjon

中圖分類(lèi)號(hào)：TN606

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-6236（2016）07-0116-04

收稿日期：2015-05-08稿件編號(hào)：201505073

作者簡(jiǎn)介：翟彥彥（1989—），女，山東濟(jì)寧人，碩士研究生。研究方向：人力資源管理。