李長軍, 任幸福

(中國海洋大學數(shù)學科學學院，山東 青島 266100)

具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的周期解的存在性?

李長軍, 任幸福

(中國海洋大學數(shù)學科學學院，山東 青島 266100)

摘要：由于具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的應用越來越廣泛，因此對其進行研究不但是理論需要也是應用需要。本文通過利用拓撲度理論和不等式技巧，研究了具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡周期解的存在性，給出了周期解存在的判據(jù)，并舉例說明了所得結果的正確性，推廣了相關文獻[4，7]等的結果。

關鍵詞：細胞神經(jīng)網(wǎng)絡； 拓撲度理論； 周期解； S-分布時滯

引用格式：李長軍. 具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的周期解的存在性[J].中國海洋大學學報(自然科學版)，2016, 46(5)： 138-144.

LI Changjun. The Existence of periodic solutions of Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed delays[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(5)： 138-144.

細胞神經(jīng)網(wǎng)絡是由Chua和Yang 1998年提出的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡[1-3]。它是一個大規(guī)模非線性模擬系統(tǒng)，且能高速并行計算，提高運行速度。目前，關于細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的動力學行為研究已經(jīng)有很多結果[4-7]。由于受到時滯，參數(shù)以及各種隨機因素的影響，細胞神經(jīng)網(wǎng)絡表現(xiàn)出了復雜的動力學行為。因此被應用于各種復雜的力學、化學、電磁學以及生物學等各個領域[7-13]。因為離散時滯與分布時滯互不包含，而S-分布時滯包含這兩部分，所以本文用S-分布時滯替換原有的離散時滯與分布時滯，解除了人們的困擾，同時又加上了中立型，將已有的結果進行了推廣，使得具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的應用更加廣泛，更具有研究的必要性。本文通過利用拓撲度理論和不等式技巧，研究了某種具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡周期解的存在性，給出了周期解存在的判據(jù)，并舉例說明了所得結果的正確性，推廣了文獻[4,7]等的結果。

1模型

首先給出具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的數(shù)學模型：

(1)

假設：

定義映射L,N如下：

L:X→Y

N:X→Y

2預備知識

為了方便起見，引入下面一些符號說明：

定義 2.2設X,Y是兩個向量空間，L:DomL?X→Y是一線性映射，如果dimker=codimImL<+∞和ImL是Y中的閉集，則稱映射L是一零指標的Fredholm算子。

設L:X→Y是一個零指標的Fredholm算子,記

對所有的有界子集A∈X}。

引理2.1[5]設L:X→Y是一個零指標的Fredholm算子,Ω?X是有界開集，并且關于0∈Ω對稱,N:Ω→X是k-集合壓縮映射且k

引理2.4[10]令，如果x:[0,+∞)→R是周期的，則

gi(t,x,x1,…，xn,z)-gi(t,u,u1,…，un,z)=

所以，

3周期解的存在性

現(xiàn)在討論系統(tǒng)(1)的周期解的存在性。

D=diag(1-pa1,L,1-pan)。

定理3.1若在條件(T1)-(T3)下，且下列條件成立

證：(1)考慮算子方程：

(2)

(3)

(4)

因此，可得

由上式，則有

AX≤BY+H

(5)

其中，

由(T2)、(T3)和引理2.7可得

所以，

其中1-aipi>0，上式等價于

DY≤CX+H

(6)

由(5)和(6)可得

由(T5)可得

即：

(7)

類似可得

將方程(3.2)兩端從0到ω積分，有

由假設(T2)、(T3)和引理2.7和Cauchy-Schwarz不等式知

(8)

另一方面，由方程(3)可得

(9)

則由式子(8)和(9)，可得

同理可得

所以，綜上可知

將(3.2)從0到ω積分，得

所以，

又因為

-Bi。

其中,

由系統(tǒng)(3)、條件(T2)和(T3)可得

(2)定義投影算子：

不失一般性，設x≡M，

則取適當大的A0和C0使得

則

同理可得

所以可得，QNx≠0,?x∈?Ω∩kerL。

4舉例

例考慮二維具有S-分布時滯的中立型細胞神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)，

且各個參量的取值結果如下：

顯然D是一個對角陣且dii>0，又因為

1.6663>0,1.7726>0,-0.3525<0,-0.2925<0

且det(A-BD-1C)=2.8506>0。

所以矩陣A-BD-1C為非奇異的M矩陣。上述二維系統(tǒng)滿足定理3.1的所有條件，因此該系統(tǒng)至少有一個以2π為周期的解。

5結語

本文通過利用拓撲度理論和不等式技巧，證明了此類具有S-分布時滯的中立型神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的周期解的存在性，并給出了周期解存在的判據(jù)。在研究的過程中猜測此系統(tǒng)的周期解還具有穩(wěn)定性，但是由于該系統(tǒng)的復雜性以及個人專業(yè)知識的欠缺，沒能證明該系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性。此類問題還有待于近一步研究。

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責任編輯陳呈超

The Existence of Periodic Solutions of Neutral Type Cellular Neural Networks with S Type Distributed Delays

LI Chang-Jun, REN Xing-Fu

(School of Mathematical Sciences, Oceean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:With the development of science and technology, the Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed Delays were widely used in many fields. So its study is not only needed by theory but also by practice. By using the theory of coincidence degree and with the help of methods of differential inequality, the problem on the existence of periodic solutions of Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed Delays was studyed. A criterion of periodic solutions was obtained. An example was given to demonstrate the accuracy of the proposed results and some results were extended in the paper.

Key words:Cellular Neural Network; coincidence degree theory; periodic solutions; S type distributed delays

基金項目：?國家自然科學基金項目(41275013)資助

收稿日期：2014-06-15；

修訂日期：2015-04-20

作者簡介：李長軍(1956-)，男，博士，副教授，主要分析領域為復分析，離散群幾何。E-mail:licj@ouc.edu.cn

中圖法分類號：O175

文獻標志碼：A

文章編號：1672-5174(2016)05-138-07

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140174

Supported by National Natural Science Foundation of China(41275013).