◇陳新福 陳 艷

“小題”也需“大做”
——由一道習(xí)題引發(fā)的一節(jié)課

◇陳新福 陳 艷

北師大版教材六年級(jí)上冊(cè)第一單元“圓”的“練習(xí)一”中，有這樣一道習(xí)題，如圖1所示：

圖1

我對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行有效開發(fā)，設(shè)計(jì)成了一節(jié)課，從而真正凸顯了這道習(xí)題的價(jià)值。

【教學(xué)過程】

一 多角度探究圓與正方形的關(guān)系

教師出示圖2①。

師：請(qǐng)觀察，這幅圖中圓與正方形的關(guān)系是怎樣的？

生：這個(gè)圓是正方形內(nèi)最大的圓。

生：圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。

教師接著出示圖2②、圖2③。

圖2

師：想一想，正方形的邊長(zhǎng)變大，正方形面積與圓面積會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

生：正方形面積和圓面積也會(huì)變大。

在討論交流的基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生完成下表。

圓面積/平方厘米圖2①正方形邊長(zhǎng)/厘米2正方形面積/平方厘米圖2②圖2③我發(fā)現(xiàn)：46

師：通過討論，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)正方形邊長(zhǎng)（圓直徑）變大時(shí)，正方形面積（圓面積）也變大。那么，這個(gè)圓與正方形之間還存在什么關(guān)系呢？圓面積占正方形面積的幾分之幾？

生：計(jì)算出來的結(jié)果是一樣的。

師：通過計(jì)算來尋找關(guān)系，是一種很好的思路。再看圖3，如果圓的半徑用字母r表示,那么，圓面積是多少？

圖3

生：S圓=πr2。

師：那么圓外正方形的面積是多少呢？

生：S正=r2×4=4r2。

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，圓面積÷正方形面積=πr2÷4r2=

師小結(jié)：因?yàn)棣惺且粋€(gè)常數(shù)，圓面積和正方形面積的關(guān)系就是一個(gè)固定的關(guān)系，即

師：這個(gè)固定關(guān)系除了用分?jǐn)?shù)的形式來表示，還可以用什么形式表示？（引導(dǎo)學(xué)生用比的形式與百分?jǐn)?shù)的形式表示）

二 進(jìn)一步探究

教師出示下面的問題，請(qǐng)學(xué)生根據(jù)面積之間的關(guān)系解決問題，題目如下：

如圖4，正方形面積為20㎡，求圓的面積。

圖4

因?yàn)橛星懊娴挠懻撆c交流，學(xué)生比較容易地就算出了圓的面積。

師：運(yùn)用圓與正方形的面積比，能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。圖5中陰影部分的面積你會(huì)求嗎？

圖5

生：陰影部分面積就是正方形中最大的圓的面積。

師：在這個(gè)正方形中，你能設(shè)計(jì)出類似的與圓面積相等的其他圖案嗎？請(qǐng)畫出示意圖，并說明理由。

投影展示學(xué)生作品，如圖6所示：

圖6

同時(shí)組織學(xué)生討論如下的問題。

1.還有不同方案嗎？

2.這些圖案都符合要求嗎？哪些是你一眼就能看出符合要求的？并由此進(jìn)行分類。

3.除了計(jì)算，還有什么辦法能說明面積相等？

4.我們把圓縮小可以畫出4個(gè)小圓，同理我們還可以畫出其他的圖形嗎？縮小為9個(gè)可不可以？16個(gè)呢？（如圖7）

（此環(huán)節(jié)嘗試讓學(xué)生用比的知識(shí)解釋圓半徑同比擴(kuò)大或同比縮小后圓的面積和不變）

圖7

師：這些正方形內(nèi)圓的面積都相等，那么你們能否從圖中發(fā)現(xiàn)圓面積與半徑之間的變化關(guān)系呢？

（引導(dǎo)學(xué)生把圖7中后三個(gè)正方形中的圓分別與第一個(gè)進(jìn)行比較）

生：反過來說，當(dāng)半徑擴(kuò)大若干倍時(shí)，圓的面積就擴(kuò)大為這個(gè)倍數(shù)的平方。

師：說得真棒！那么圓與哪些圖形可能也存在固定的關(guān)系呢？請(qǐng)你課后再研究研究。

三 利用圓與正方形的關(guān)系解決問題

1.基于原題的練習(xí)。

（1）一張正方形紙的邊長(zhǎng)為4厘米，把這張紙剪成一個(gè)最大的圓。剩下部分的面積是多少？

（2）一張正方形紙的面積是80平方厘米，把這張紙剪成一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是多少平方厘米？

2.基于設(shè)計(jì)的練習(xí)。

（1）求陰影部分的面積（如圖8）。

圖8

（2）四張邊長(zhǎng)都是12厘米的正方形鐵皮，分別按圖7剪下不同規(guī)格的圓片。哪張鐵皮剩下的廢料多？

（3）基于拓展的練習(xí)。

如圖9，我們?cè)趫A中畫一個(gè)最大的正方形。如果這個(gè)圓的半徑是r，圓的面積是多少？正方形的面積呢？圓的面積與正方形面積有什么關(guān)系？

圖9

（作者單位：浙江衢州市大成小學(xué)）