鄧思平

摘 要：力的空間積累效應和力的時間積累效應是問題的兩個方面。此題中由合力的功較小得到終點速率大并不意味著合沖量一定較小，時間較短。本文采用類比法，通過分析簡單的斜直軌道得到結論后合理外推到弧形軌道。

關鍵詞：福建；理綜；17題；類比法

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）5-0045-3

原題 如圖1，在豎直平面內，滑道ABC關于B點對稱，且A、B、C三點在同一水平線上。若小滑塊第一次由A滑到C，所用的時間為t1，第二次由C滑到A，所用時間為t2，小滑塊兩次的初速度大小相同且運動過程始終沿著滑道滑行，小滑塊與滑道的動摩擦因數恒定，則（ ）

A.t1

C.t1>t2 D.無法比較t1、t2的大小

解析 在AB段，根據牛頓第二定律mg-FN=m，速度越大，滑塊受支持力越小，摩擦力就越小。在BC段，根據牛頓第二定律FN-mg=m，速度越大，滑塊受支持力越大，摩擦力就越大。由題意知從A運動到C相比從C運動到A，在AB段速度較大，在BC段速度較小。所以，從A到C運動過程受摩擦力較小，到達終點的速率較大，用時短。所以，A選項正確。

該解析應用牛頓第二定律分析比較摩擦力大小，應用動能定理比較終點速率。在路程和初速度大小相同的條件下，可推知終點速率較大的A到C運動過程用時較短。粗略看來，似乎沒有什么問題。從網絡回饋的信息來看，此解析也得到了普遍認同。果真如此嗎？筆者細究之下，發(fā)現此解析存在一個問題。該解析錯誤地把力的空間積累效應和力的時間積累效應等同起來，力的空間積累效應（即做功）和力的時間積累效應（即沖量）是問題的兩個方面，由合力的功較小得到終點速率大并不意味著合沖量一定較小，時間較短。而且，分析發(fā)現滑塊的兩個運動過程并不一定是單調的減速運動，在下坡段，可能加速也可能減速，中間過程相當復雜，不能簡單地通過比較終點速率來比較運動時間。

正確方法應該是比較兩個運動過程中滑塊經過滑道上每一個相同位置的瞬時速率，即比較上行速率和下行速率的大小。比如，滑道光滑，動摩擦因數為零的理想情形，依據能量守恒可推知滑塊經過每一個位置的上行速率總等于下行速率，那么A到C過程和C到A過程用時相同。

本題中，A到B過程相比B到A過程，摩擦力做負功較少。依據動能定理可確定，經過B點的下行速率大于上行速率。在拱形段的某個位置（如圖2中的M點），A到M過程相比C到M過程，摩擦力做負功較少，經過M點的下行速率大于上行速率。還可推知 A到B過程和B到A過程的每一個相同位置，均是A到B過程經過的速率較大，則可得到A到B用時較短的結論。但是，在分析凹形段時卻遇到困難，比如對于圖2中的N點。A到N過程相比C到N過程，無法明確比較摩擦力做負功的多少，也就不知該位置的上行速率和下行速率的大小，因此不能比較B到C過程和C到B過程的用時。

為了解決這個問題，我們可以換用另一種思維方法：類比法。首先，把滑道簡化成圖3所示的斜直軌道ADBEC，B是軌道的對稱點，D、E處處理成一段小圓弧，保證滑塊始終在滑道上運動且不會發(fā)生撞擊現象。應用動能定理和運動學知識求解出兩個運動時間進行比較，然后將兩種軌道進行類比推理，得到相關結論。

設軌道高為h，AD、CE段的水平投影為l1，DE段的水平投影為l2，動摩擦因數為μ，滑塊的初速度大小為v0。為了方便作出v-t圖像，除終點速率外，還需要求出D、E兩個位置的速率以及滑塊達到這些速率經過的時間。

同理可得，C到A過程的速率和到達時間分別是：

為了直觀比較t1、t2的大小，筆者將軌道的參數h、l1、l2、μ、v0賦以合適的數值并導入到Excel表格中，然后運用Excel的公式和函數得到計算結果，再運用圖表功能作出v-t圖像得到最直觀的結果。其中一次的計算結果如表1，表中數據全部采用國際單位。

由圖4可見t1

由圖5可見，隨著μ的減小，t1

通過對滑塊在斜直軌道ADBEC上運動情況的分析，可以得到如下結論：①滑塊的運動比較復雜，下坡時可能加速也可能減速；② 兩次過程中滑塊在同一位置受到的摩擦力相同，終點速率也相同，但總用時并不同，總滿足t1t2的情況。

對比兩種軌道會發(fā)現，兩種軌道的聯系點有：① μ=0的理想情況，才有t1=t2；②弧形滑道相當于由在最高點和最低點附近改成弧形的斜直軌道；③滑塊在弧形軌道最高點和最低點附近滑行時摩擦力的變化與μ增大引起摩擦力增大的斜直軌道相當；④斜直軌道上兩次運動過程的終點速率相同，C到A過程用時較長。而弧形軌道C到A過程的終點速率較小，用時應該比斜直軌道還要長。據此，我們可以推測，滑塊在斜直軌道上兩次運動過程用時的大小關系也適用于弧形軌道，即原題答案為