聶曉華，張夫鳴

(南昌大學(xué) 信息工程學(xué)院，　南昌 330031)

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·數(shù)據(jù)處理·

針對(duì)臨近空間目標(biāo)跟蹤的自適應(yīng)AMCKF算法

聶曉華，張夫鳴

(南昌大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌 330031)

摘要：臨近空間飛行器具有機(jī)動(dòng)特性復(fù)雜、運(yùn)動(dòng)軌跡多階段性等特點(diǎn)，在目標(biāo)跟蹤的過程中，易出現(xiàn)由于系統(tǒng)模型誤差較大導(dǎo)致跟蹤精度降低、濾波發(fā)散的問題。針對(duì)該問題，在容積卡爾曼濾波的過程中加入衰減因子，通過衰減記憶的方法補(bǔ)償模型誤差；同時(shí)，提出了一種實(shí)時(shí)辨識(shí)容積卡爾曼濾波衰減因子的方法，達(dá)到自適應(yīng)跟蹤的目的。仿真結(jié)果表明：衰減記憶容積卡爾曼濾波算法能夠很好地解決模型失配問題，自適應(yīng)算法實(shí)時(shí)對(duì)衰減因子賦值，避免了衰減因子取值的困難，可以達(dá)到更好的跟蹤效果。

關(guān)鍵詞：臨近空間；容積卡爾曼濾波；衰減記憶；自適應(yīng)算法

0引言

臨近空間一般泛指距離海平面高度10 km到100 km的高空區(qū)域，臨近空間飛行器逐漸成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。此類飛行器的機(jī)動(dòng)速度、加速度均非常大，如近幾年出現(xiàn)的X-51A高超聲速飛行器[1]，有著機(jī)動(dòng)特性強(qiáng)、運(yùn)動(dòng)軌跡變化快等顯著特點(diǎn)。如何良好地對(duì)臨近空間目標(biāo)進(jìn)行跟蹤成為一個(gè)備受關(guān)注的問題，對(duì)相關(guān)跟蹤算法的研究也具有重要的軍事戰(zhàn)略意義。

眾所周知，卡爾曼濾波算法在線性高斯條件下可以獲得狀態(tài)估計(jì)的最優(yōu)輸出，該理論建立在已知系統(tǒng)模型、觀測(cè)模型和噪聲統(tǒng)計(jì)分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)不滿足這些條件時(shí)，估計(jì)誤差將會(huì)增大。Singer模型[2]將機(jī)動(dòng)加速度建模為時(shí)間相關(guān)過程，更符合實(shí)際物理意義，通過調(diào)節(jié)機(jī)動(dòng)頻率系數(shù)達(dá)到更好的跟蹤效果，得到了廣泛的應(yīng)用。隨之出現(xiàn)了自適應(yīng)跟蹤算法中的典型代表，即文獻(xiàn)[3]提出的當(dāng)前“統(tǒng)計(jì)”模型，該模型在Singer模型實(shí)現(xiàn)的過程中，將加速度噪聲假設(shè)為瑞利分布，通過加速度均值實(shí)時(shí)地更新狀態(tài)噪聲的分布。

文獻(xiàn)[4]分析了臨近空間飛行器的滑躍式機(jī)動(dòng)，將加速度建模為正弦自相關(guān)過程，取得了較好的跟蹤精度。

當(dāng)所使用的系統(tǒng)模型誤差較大時(shí)，通常采用加入虛擬噪聲的方法讓濾波器對(duì)系統(tǒng)模型的信任程度降低，但很難確定需要加入多大的虛擬噪聲，此時(shí)則應(yīng)該考慮舍棄之前的觀測(cè)數(shù)據(jù)，更側(cè)重于新產(chǎn)生的觀測(cè)值，讓濾波器具有更好的穩(wěn)定性。

本文將衰減記憶算法與容積卡爾曼濾波(CKF)[5]相結(jié)合，形成衰減記憶容積卡爾曼濾波(AMCKF)，即利用衰減因子對(duì)狀態(tài)估計(jì)的預(yù)測(cè)協(xié)方差陣加以權(quán)重，使得濾波器最終的輸出值更趨近于新的觀測(cè)數(shù)據(jù)，同時(shí)描述了衰減因子的自適應(yīng)方法。

1容積卡爾曼濾波

對(duì)于一般的非線性機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤，常用的非線性濾波方法主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)、無味卡爾曼濾波(UKF)[6]以及通過高斯厄米特求積準(zhǔn)則近似的求積分卡爾曼濾波(QKF)[7]。

當(dāng)系統(tǒng)的非線性比較嚴(yán)重時(shí)，通過線性化方法的EKF估計(jì)效果很不理想，該濾波方法依靠對(duì)模型作線性化處理來傳遞均值，與真實(shí)的狀態(tài)均值僅匹配到一階項(xiàng)，存在較大的誤差。UKF算法通過無味變換(UT)經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞之后的狀態(tài)均值可以達(dá)到真實(shí)均值的前三階精度[8]；但由于濾波初始參數(shù)的選擇問題，在三維以上的高維空間中作UT變換會(huì)出現(xiàn)濾波發(fā)散的可能，穩(wěn)定性有所下降[9]。而QKF的采樣點(diǎn)數(shù)會(huì)隨著空間維數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，一般不適用于高維情況。

CKF算法在三階容積準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上作積分近似，有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)，可以達(dá)到和UT變換相同的近似精度；同時(shí)，在高維空間中濾波的穩(wěn)定性良好。有關(guān)CKF算法與其他濾波算法的性能對(duì)比，可參考文獻(xiàn)[10]。

在高斯分布的假設(shè)下，考慮以下積分

(1)

將多維空間的積分區(qū)域由直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到球面徑向坐標(biāo)系，令x=ry，其中，yTy=1，xTx=r2，則該積分可表示為

(2)

可將其改寫為

(3)

采用高斯求積準(zhǔn)則和容積準(zhǔn)則可得

(4)

即

(5)

取ma=1，mb=2n，n為x的維數(shù)?？傻脴?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的積分近似為

(6)

其中

(7)

對(duì)于卡爾曼濾波系統(tǒng)來說，有

(8)

式中：S為對(duì)協(xié)方差矩陣P進(jìn)行Cholesky分解所得到的上三角矩陣。

可得

(9)

非線性濾波使用的數(shù)學(xué)模型可用狀態(tài)空間中的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型表示

(10)

式中：xk為k時(shí)刻的狀態(tài)向量；zk為k時(shí)刻的觀測(cè)值；wk和vk分別為相互獨(dú)立的狀態(tài)噪聲與觀測(cè)噪聲，且滿足wk～N(0，Qk)，vk～N(0，Rk)。

根據(jù)式(9)中的積分近似結(jié)果，對(duì)n維狀態(tài)向量x選取m個(gè)采樣點(diǎn)，m=2n，可得

(11)

經(jīng)過系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)傳遞有

(12)

再次選取m個(gè)采樣點(diǎn)

(13)

經(jīng)過系統(tǒng)的觀測(cè)函數(shù)傳遞有

(14)

可計(jì)算狀態(tài)向量與觀測(cè)值的互協(xié)方差陣

(15)

由式(11)～式(15)得到CKF算法的狀態(tài)更新方程為[11]

(16)

經(jīng)過一個(gè)時(shí)刻的濾波循環(huán)后，得到k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值及其協(xié)方差陣與觀測(cè)值一起作為k+1時(shí)刻的濾波輸入量。

2自適應(yīng)衰減記憶方法

2.1衰減記憶濾波算法

在系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確，或者發(fā)生模型失配的情況下，當(dāng)前觀測(cè)值對(duì)估計(jì)值僅起到很小的修正作用，而相對(duì)時(shí)間較久遠(yuǎn)的觀測(cè)值是引起跟蹤誤差增大、濾波發(fā)散的一個(gè)重要原因。衰減記憶算法就是重新分配當(dāng)前觀測(cè)數(shù)據(jù)的作用，提高濾波器的魯棒性。

已知離散系統(tǒng)模型如式(10)所示，卡爾曼濾波器通過最小化E(J)得到狀態(tài)向量的輸出序列[12]，J可寫作

(17)

為了讓濾波器更依靠此時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)，應(yīng)使得當(dāng)前數(shù)據(jù)的權(quán)重更大，重新定義上式

(18)

式中：β為衰減因子，且β≥1。

由此可將CKF算法中式(12)中的協(xié)方差陣改寫為

βP*+Qk-1

(19)

若有β=1，衰減記憶算法等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)容積卡爾曼濾波。其中，P*可以看作理想情況下系統(tǒng)模型完全匹配目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方式時(shí)的協(xié)方差陣，即Q=0。此時(shí)衰減因子則變?yōu)楦鶕?jù)當(dāng)前觀測(cè)數(shù)據(jù)改變?yōu)V波器協(xié)方差陣的系數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)模型與真實(shí)系統(tǒng)狀態(tài)的偏離程度越大時(shí)，該系數(shù)取值則越大。

在衰減記憶算法中，衰減因子的取值尤為重要。當(dāng)濾波過程中發(fā)生模型失配的情況，為了補(bǔ)償模型失配帶來的估計(jì)誤差，必須對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)給予更高的信任度，即β不能取值過?。划?dāng)β非常大時(shí)，最終導(dǎo)致濾波器的輸出值收斂于觀測(cè)值，造成狀態(tài)估計(jì)的精度損失。

對(duì)比線性卡爾曼強(qiáng)跟蹤濾波器[13]，引入漸消因子λ與遺忘因子ρ，其中，ρ為一個(gè)先驗(yàn)性的系數(shù)，λ的計(jì)算方法如下

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

有些文獻(xiàn)會(huì)對(duì)觀測(cè)噪聲協(xié)方差陣R加入弱化因子。強(qiáng)跟蹤濾波器有效地提升了線性卡爾曼濾波性能，但將其應(yīng)用在非線性容積卡爾曼濾波中，需要對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和觀測(cè)函數(shù)求一階偏導(dǎo)計(jì)算雅可比矩陣，同時(shí)，需對(duì)遺忘因子和弱化因子作一定的先驗(yàn)性分析，增加了濾波過程中的不確定性。

2.2衰減因子的自適應(yīng)方法

在濾波算法實(shí)現(xiàn)的過程中，可以將式(14)中的協(xié)方差陣Pzz作為評(píng)判狀態(tài)預(yù)測(cè)不確定性的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；同時(shí)，預(yù)測(cè)殘差dk是一個(gè)只能由觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的誤差，對(duì)應(yīng)著狀態(tài)估計(jì)的誤差信息。定義下式

(24)

可知，通過S的值可以判斷濾波器是否發(fā)散。當(dāng)S>1時(shí)，說明了狀態(tài)估計(jì)的實(shí)時(shí)誤差比狀態(tài)預(yù)測(cè)的協(xié)方差要大，此時(shí)則需要對(duì)系統(tǒng)模型做一定的調(diào)整。若在衰減記憶算法中，可以提高當(dāng)前觀測(cè)值所占的權(quán)重，即增大衰減因子。

根據(jù)S值所對(duì)應(yīng)的性質(zhì)描述，可以建立一個(gè)針對(duì)AMCKF算法衰減因子可行的自適應(yīng)方法

Qk-1

(25)

(26)

這樣確保了當(dāng)由于模型失配引起的估計(jì)誤差增大時(shí)，衰減因子β可以自適應(yīng)地增大，提高對(duì)觀測(cè)值的信任度，使得濾波器有更好的穩(wěn)定性；在實(shí)際誤差較小的時(shí)候，β自動(dòng)置為1，變成標(biāo)準(zhǔn)容積卡爾曼濾波，保證了估計(jì)精度。

3仿真分析

參考已公布的有關(guān)臨近空間飛行器的一些資料[14-15]，近似地模擬其運(yùn)動(dòng)特性和實(shí)際環(huán)境參數(shù)，擬合出飛行軌跡，如圖1所示。使用該飛行軌跡進(jìn)行仿真分析，初始參數(shù)如下：水平方向的初始位置為10 000 m，初始速度為1 000 m/s；縱軸方向的初始位置為10 000 m，初始速度為0 m/s。

圖1　臨近空間目標(biāo)擬合軌跡圖

仿真分別將標(biāo)準(zhǔn)CKF算法和自適應(yīng)AMCKF算法進(jìn)行對(duì)比，并將無自適應(yīng)AMCKF和加入自適應(yīng)過程的算法進(jìn)行對(duì)比。系統(tǒng)模型均采用勻加速運(yùn)動(dòng)模型，即CA模型

(27)

狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣為

(28)

式中：T為采樣時(shí)間間隔；q為加速度方差。

觀測(cè)模型如下

(29)

式中：xk和yk分別為目標(biāo)的水平距離和縱向高度；vr和vt分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)的徑向距離誤差和方位角誤差。

本文在仿真中設(shè)置T為1 s，q取值為100；使用的觀測(cè)噪聲設(shè)置徑向距離標(biāo)準(zhǔn)差為92.5 m，方位角標(biāo)準(zhǔn)差為0.022 4°[16]。

標(biāo)準(zhǔn)CKF算法與自適應(yīng)AMCKF算法的跟蹤軌跡對(duì)比如圖2所示，衰減因子的自適應(yīng)變化過程見圖3。

圖2　跟蹤軌跡比較圖

圖3　衰減因子變化圖

由于使用的系統(tǒng)模型為CA模型，而擬合出的目標(biāo)飛行軌跡比較復(fù)雜，使用標(biāo)準(zhǔn)CKF濾波算法的跟蹤效果并不理想。從圖2中可知，CKF跟蹤軌跡在目標(biāo)轉(zhuǎn)彎突變時(shí)發(fā)生了較大的偏離，自適應(yīng)AMCKF算法的跟蹤精度更好。圖3中衰減因子變化驗(yàn)證了該自適應(yīng)濾波算法在實(shí)際運(yùn)用中的可行性，β值隨著模型誤差的變化可以達(dá)到實(shí)時(shí)辨識(shí)的效果。

為了定量地分析跟蹤誤差，進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真得到的均方根誤差(RMSE)曲線如圖4所示。

圖4　位置RMSE曲線圖

從圖4中的RMSE曲線可以看出：AMCKF算法的跟蹤效果明顯好于標(biāo)準(zhǔn)CKF算法。在時(shí)刻100 s附近，標(biāo)準(zhǔn)CKF算法的跟蹤誤差非常大，這時(shí)系統(tǒng)模型嚴(yán)重偏離了目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方式，對(duì)比圖3中的衰減因子，β值在此時(shí)刻變化也很劇烈，取值較大，對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)給予了更大的權(quán)重，很好地彌補(bǔ)了濾波模型造成的誤差。

對(duì)比AMCKF算法加入自適應(yīng)與無自適應(yīng)過程的跟蹤效果，無自適應(yīng)AMCKF算法的衰減因子β取值為1.5。對(duì)其進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真得到的均方根誤差曲線如圖5所示。

圖5　位置RMSE曲線圖

分析圖5，結(jié)果與圖4類似，帶有自適應(yīng)的AMCKF算法跟蹤誤差較小，無自適應(yīng)的算法因?yàn)闊o法確定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)過程中的各種突發(fā)情況，導(dǎo)致無法選定一個(gè)較合適的衰減因子，自適應(yīng)算法有效避免了該問題。

4結(jié)束語

本文簡(jiǎn)單地描述了面對(duì)臨近空間目標(biāo)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)特性的濾波模型失配問題，為了解決此問題，提出了一種可行的自適應(yīng)衰減記憶容積卡爾曼濾波算法。在CKF算法中加入衰減因子的作用與文獻(xiàn)[13]在強(qiáng)跟蹤濾波器中所提到的漸消因子作用相似，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)噪聲的參數(shù)變化較大時(shí)，也能讓濾波器得到比較精確的狀態(tài)估計(jì)值，屬于強(qiáng)跟蹤濾波器的一種。但本文算法從預(yù)測(cè)誤差與實(shí)際估計(jì)誤差的角度說明了衰減因子取值的可行方法，避免了非線性強(qiáng)跟蹤理論雅可比矩陣的計(jì)算及由于一階線性化帶來的偏差問題。對(duì)該算法做出蒙特卡洛仿真分析，仿真結(jié)果說明了該算法的穩(wěn)定性及魯棒性，是一種改善臨近空間目標(biāo)跟蹤效果的有效手段。

參 考 文 獻(xiàn)

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聶曉華男，1969年生，博士，副教授。研究方向?yàn)闋顟B(tài)估計(jì)理論、電力電子等。

張夫鳴男，1993年生，碩士研究生。研究方向?yàn)樽顑?yōu)狀態(tài)估計(jì)與目標(biāo)跟蹤技術(shù)。

Adaptive AMCKF Algorithm for Near Space Target Tracking

NIE Xiaohua，ZHANG Fuming

(Information Engineering College, Nanchang University,Nanchang 330031, China)

Abstract：Near space vehicle has complex maneuvering and multi-phased trajectory characteristics. In the process of target tracking, lower tracking accuracy or filtering divergence problem is prone to happen due to the large model error. For this problem, added attenuation factor is introduced into the cubature Kalman filter to compensate the model error by attenuating memory method. Also a real-time identification method for cubature Kalman filter attenuation factor is proposed to achieve adaptive tracking purpose. The simulation results show that attenuation memory cubature Kalman filter can solve the model mismatch problem, adaptive algorithm will assign attenuation factor in real-time to avoid difficult issues for ranging attenuation factor so as to get a better tracking performance.

Key words：near space; cubature Kalman filter; attenuation memory; adaptive algorithm

DOI：10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.05.012

通信作者：張夫鳴Email：zfmdata@163.com

收稿日期：2016-01-13

修訂日期：2016-03-17

中圖分類號(hào)：TN957.52

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-7859(2016)05-0049-05