劉永迅　呂文元

摘 要：文章針對生產(chǎn)線上庫存生產(chǎn)的隨機(jī)故障設(shè)備，制定一個(gè)新定期預(yù)防維修策略。在該策略中假設(shè)設(shè)備的壽命，預(yù)防維修時(shí)間都是服從隨機(jī)分布，同時(shí)假定設(shè)備故障事后維修為不完美維修，其設(shè)備壽命服從準(zhǔn)更新過程。然后結(jié)合該策略構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，通過計(jì)算最小化預(yù)防維修周期內(nèi)設(shè)備維修成本、庫存成本和短缺成本的總和，獲得反映該策略的兩個(gè)決定性變量目標(biāo)庫存量和定期預(yù)防維修周期的最優(yōu)值。

關(guān)鍵詞：定期預(yù)防維修；隨機(jī)故障；不完美維修

中圖分類號：F253 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Abstract： The paper derived out a new regular preventive maintenance strategy for randomly failure inventory production unit of line production system. Suppose in the policy life of the equipment， preventive maintenance time are subject to a random distribution， while assuming that the equipment failure corrective maintenance is not perfect repair， equipment life follows its quasi-renewal process. The optimum values of the decision variables S and T， which decide of this strategy， are obtained by trading off the maintenance cost， the inventory holding cost， and the shortage cost such as their sum is minimum.

Key words： preventive maintenance； randomly failing； imperfect maintenance

0 引 言

很多文獻(xiàn)表明預(yù)防維修可以有效地延長隨機(jī)故障設(shè)備壽命和減少生產(chǎn)成本[1-3]。在提倡最小化庫存與周轉(zhuǎn)次數(shù)的just-in-time生產(chǎn)環(huán)境下，預(yù)防維修的效果日漸凸顯，其影響越來越大[4]。目前預(yù)防維修的研究已取得很多階段性的成果，Zhao研究了一個(gè)執(zhí)行周期性預(yù)防維修的設(shè)備，假定每一次預(yù)防維修之后設(shè)備開始新的失效過程，并用退化率來表示不完全維修的影響，其為一個(gè)變量，最后推導(dǎo)出了設(shè)備生命周期內(nèi)的可使用率、成本函數(shù)，并獲得了最佳的維修次數(shù)和時(shí)間間隔[5]。韓幫軍等提出了等效役齡的概念，建立了預(yù)防性維修周期故障率的遞推關(guān)系，并以故障時(shí)間符合威布爾分布的設(shè)備為例，構(gòu)建可靠度約束條件下有限時(shí)間區(qū)間的預(yù)防性維修策略的優(yōu)化模型，反映系統(tǒng)在特定時(shí)間段內(nèi)預(yù)防性維修活動的控制方法考慮設(shè)備的可靠性與成本之間的相互約束關(guān)系[6-7]。

然而這些策略大部分圍繞解決單設(shè)備的維修次數(shù)和預(yù)防維修間隔問題。對于兩隨機(jī)故障設(shè)備之間存在依賴關(guān)系這樣的生產(chǎn)環(huán)境，不清楚在何時(shí)如何去制定預(yù)防維修計(jì)劃[8]，因?yàn)樵趫?zhí)行預(yù)防維修或故障維修時(shí)需要設(shè)備停止生產(chǎn)，這樣會使得其依賴設(shè)備由于所需求的生產(chǎn)材料不足而影響整條生產(chǎn)線的產(chǎn)能，從而造成非常大的損失。因此如何將生產(chǎn)與維修結(jié)合制定，也是目前維修領(lǐng)域需要考慮的問題。

本文考慮針對提倡just-in-time環(huán)境的生產(chǎn)線上隨機(jī)故障設(shè)備，結(jié)合緩沖庫存策略制定一個(gè)新的預(yù)防維修計(jì)劃。在提出的策略中，預(yù)防維修固定在T，2T，3T…時(shí)刻執(zhí)行，在每個(gè)T間隔周期開始，設(shè)備以最大的生產(chǎn)速度α來積累庫存S，直至達(dá)到目標(biāo)庫存量。該目標(biāo)庫存量需要保證在設(shè)備由于隨機(jī)故障或定期執(zhí)行預(yù)防維修而停機(jī)生產(chǎn)的時(shí)間內(nèi)，能夠滿足下游設(shè)備的生產(chǎn)原料的固定需求，使得整條組裝線可以持續(xù)以固定的速度β運(yùn)行。針對該策略，構(gòu)建一個(gè)數(shù)學(xué)模型，在模型中設(shè)備壽命，故障維修時(shí)間以及預(yù)防維修時(shí)間都是服從隨機(jī)分布的，且假定每次的定期預(yù)防維修周期都是設(shè)備的一次更新過程。同時(shí)基于現(xiàn)實(shí)維修能力的限制，假定定期預(yù)防維修周期內(nèi)設(shè)備故障事后維修是不完美的維修，服從更新理論，也就是設(shè)備每次發(fā)生故障之后，設(shè)備的壽命退化為故障發(fā)生前設(shè)備狀態(tài)的a倍（0

1 模型假設(shè)

1.1 基本假設(shè)

為了模型簡化和研究的方便，在構(gòu)建模型之前做如下的假設(shè)：

（1）設(shè)備壽命和維修時(shí)間的概率分布是已知的；

（2）一旦機(jī)器發(fā)生故障可以馬上反應(yīng)并修理；

（3）每次維修操作執(zhí)行之后，設(shè)備恢復(fù)到最新的狀態(tài)；

（4）假設(shè)執(zhí)行完維修操作之后機(jī)器可以馬上投入生產(chǎn)，同時(shí)假定在構(gòu)建目標(biāo)庫存量之前設(shè)備不會發(fā)生隨機(jī)故障；

（5）允許機(jī)器有足夠的能力以速度α快速的生產(chǎn)出大小為S的緩沖庫存；

（6）假定所有維修成本和庫存成本都是已知的。

1.2 符號定義

全文中，如下符號會被用到：

2 數(shù)學(xué)模型

制定生產(chǎn)維修策略的目標(biāo)就是降低總的生產(chǎn)單元維修成本。依據(jù)定義的策略，本文的目標(biāo)就是在于尋找最優(yōu)的預(yù)防維修周期T和庫存大小S，從而使得在這個(gè)維修策略下，整個(gè)生產(chǎn)過程的每單位時(shí)間內(nèi)總維修成本最低。下面通過分析來建立成本的數(shù)學(xué)表達(dá)式。圖1表示周期T內(nèi)緩沖庫存的變化。

其中：MT·β·MTTR的大小表示在周期T內(nèi)設(shè)備進(jìn)行故障維修的時(shí)間內(nèi)組裝線的消耗庫存量的平均值。MT是預(yù)防維修周期T內(nèi)設(shè)備可能發(fā)生故障次數(shù)的期望值。參考文獻(xiàn)[9]，基于擬更新理論，在假定設(shè)備壽命服從伽瑪分布Gammaα，β情況下，設(shè)備在0，t時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生隨機(jī)故障次數(shù)表達(dá)式如下：

2.1 維修成本

周期T內(nèi)維修成本包括故障維修和執(zhí)行一次預(yù)防維修的成本，表達(dá)式如下：

cm=C ·MT+C

2.2 庫存成本期望

由模型假設(shè)4和5，考慮MT·MTTR·β≤S≤αT，總庫存成本期望表達(dá)式如下：

其中：MTBF= MTBF

2.3 短缺成本期望

在這個(gè)模型中發(fā)生短缺的原因在于當(dāng)某次預(yù)防維修時(shí)間太長，導(dǎo)致剩余的庫存量Q=S-MT·MTTR·β不能夠滿足維修期間組裝線的需要，因此短缺成本的表達(dá)式如下：

2.4 周期內(nèi)的總成本期望

設(shè)備總成本的期望值包括維修成本，庫存成本和短缺成本。所以它的表達(dá)式如下：

將一個(gè)維修周期定義為兩次執(zhí)行預(yù)防維修操作之間的時(shí)間間隔，所以維修周期的平均時(shí)間長度為ET+T ，表達(dá)式如下：

其中：T 為一個(gè)隨機(jī)變量，表示預(yù)防維修操作所需要的時(shí)間。它和預(yù)防維修周期T是相互獨(dú)立的。F t表示為它的概率分布函數(shù)。

因此單元時(shí)間內(nèi)總成本的期望CT表達(dá)式如下：

最后，通過建立如下非線性優(yōu)化問題來獲得最優(yōu)的決定變量周期T和庫存S：

下部分將運(yùn)用枚舉法設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算方案來求解上述非線性規(guī)劃問題以獲得最優(yōu)的解空間S ，T 。

3 數(shù)值計(jì)算

如下迭代計(jì)算步驟用來尋找在給定參數(shù)值f x，f x，f x，C ，C ，C ，C ，α，β，T 時(shí)維修策略最優(yōu)決定變量S ，T ，同時(shí)求得最小的生產(chǎn)總成本。迭代計(jì)算流程如圖2所示。

其中：T 必須取得足夠大，這樣能夠選擇到盡可能多的T值進(jìn)行計(jì)算保證得到最佳表現(xiàn)的預(yù)防維修周期。

4 數(shù)值案例

下面通過一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證本文策略的有效性。

4.1 數(shù)據(jù)模擬

雖然這些數(shù)據(jù)模擬得到的，但主要還是依據(jù)許多制造公司在實(shí)際操作所遇到的情況來設(shè)置，比如在現(xiàn)實(shí)中預(yù)防維修操作的平均時(shí)間遠(yuǎn)比生產(chǎn)單元壽命要小，所以在本文中假設(shè)預(yù)防維修操作時(shí)間的平均值為0.04個(gè)月，而生產(chǎn)單元壽命的平均時(shí)間設(shè)置為0.6個(gè)月，符合實(shí)際的情況。

4.2 計(jì)算結(jié)果

如表1是使用R語言計(jì)算出來的結(jié)果：

由表1最后一列的結(jié)果顯示，最優(yōu)的策略決定變量為T=1.0和

S=1 858.1。按照這個(gè)維修策略，可以得到在周期T內(nèi)每個(gè)設(shè)備的最小平均生產(chǎn)成本為15 121.8。

觀察表1中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)T值逐漸增大到無窮時(shí)（此時(shí)也就相當(dāng)于不對生產(chǎn)單元執(zhí)行預(yù)防維修操作），只有故障維修，此時(shí)最優(yōu)的庫存大小趨近于最小的庫存。這就意味著，緩沖庫存只需滿足由于隨機(jī)故障導(dǎo)致的需求即可。

5 總 結(jié)

本文針對組裝線的庫存生產(chǎn)隨機(jī)故障設(shè)備構(gòu)建一個(gè)結(jié)合庫存生產(chǎn)系統(tǒng)的定期預(yù)防維修策略模型。在這個(gè)模型中假定設(shè)備的故障維修和預(yù)防維修時(shí)間服從隨機(jī)分布，同時(shí)考慮實(shí)際維修能力的限制，假定設(shè)備的故障維修為不完美維修。這個(gè)策略的關(guān)鍵在于兩個(gè)決定變量：定期預(yù)防維修的周期T和用于緩沖作用的庫存量S。這兩個(gè)決定變量的最優(yōu)值是通過最小化每單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的總成本期望來得到的。關(guān)于這個(gè)工作有很多可擴(kuò)展的地方。例如對這個(gè)模型考慮庫存產(chǎn)品會隨著時(shí)間而腐蝕的情況，或者考慮生產(chǎn)和需求的速度是可變的情況。

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