賈達(dá)明，文平

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇常州213002)

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基于VaR的報(bào)童問(wèn)題新解

賈達(dá)明，文平

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇常州213002)

摘要：試圖解釋管理者的報(bào)童問(wèn)題決策，這些決策基于以下兩方面原因可能系統(tǒng)性偏離利潤(rùn)最大化：一決策者可能具有不同于最大化利潤(rùn)的偏好；二決策者可能應(yīng)用其他方法選擇訂貨量。在2種不同決策方法下，討論了報(bào)童問(wèn)題的解，并進(jìn)行了必要的比較靜態(tài)分析。

關(guān)鍵詞：損失厭惡；報(bào)童問(wèn)題；VaR

0引言

一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)存貨管理模型是單階段報(bào)童問(wèn)題。自從Arrow等[1]開(kāi)始關(guān)注該問(wèn)題之時(shí)，報(bào)童問(wèn)題得到了來(lái)自各領(lǐng)域?qū)W者的廣泛研究。與之同名的故事是這樣講述的：早晨，報(bào)童必須決定從報(bào)社訂多少報(bào)紙。他所遇到的難題是他并不知道有多少顧客要買他的報(bào)紙，而他所訂報(bào)紙?zhí)?，將有可能因?yàn)閳?bào)紙賣不出去而遭受損失，所訂報(bào)紙?zhí)?，則有可能失去獲得額外利潤(rùn)的機(jī)會(huì)。這種經(jīng)典的單階段存貯問(wèn)題被稱為報(bào)童問(wèn)題。報(bào)童問(wèn)題在企業(yè)管理中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)，商業(yè)企業(yè)的訂貨量問(wèn)題和生產(chǎn)企業(yè)的產(chǎn)出量問(wèn)題都可歸結(jié)為報(bào)童問(wèn)題，因此對(duì)報(bào)童問(wèn)題的研究非常重要。

經(jīng)典的報(bào)童模型是建立在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，認(rèn)為報(bào)童會(huì)選擇使期望利潤(rùn)達(dá)到最大的訂貨量。然而，實(shí)證表明實(shí)際訂貨量往往偏離經(jīng)典報(bào)童模型的最優(yōu)訂貨量，且大部分實(shí)證結(jié)果還表明報(bào)童傾向于訂購(gòu)比經(jīng)典報(bào)童模型最優(yōu)訂貨量少的貨物。為了解釋這種現(xiàn)象，學(xué)者們從不同角度對(duì)報(bào)童問(wèn)題進(jìn)行了研究。Eeckhoudt等[2]在期望效用理論框架下討論了風(fēng)險(xiǎn)厭惡的報(bào)童的訂貨量，并對(duì)影響訂貨量的各因素進(jìn)行了比較靜態(tài)分析。文平[3]則在Kahneman、Tversky等[4-6]提出的預(yù)期理論(prospect theory)框架下對(duì)報(bào)童問(wèn)題進(jìn)行了討論，他的研究表明，訂貨量不僅與價(jià)格等因素有關(guān)，還與報(bào)童的損失厭惡程度有關(guān)，并且損失厭惡使得訂貨量比經(jīng)典報(bào)童模型的訂貨量少。Gotoh等[7]利用條件在值風(fēng)險(xiǎn)討論了報(bào)童問(wèn)題。Wang等[8-9]同樣將損失厭惡運(yùn)用于報(bào)童問(wèn)題模型中，他發(fā)現(xiàn)假如短缺成本不被忽略，損失厭惡的報(bào)童的訂貨量要比經(jīng)典的報(bào)童的訂貨量要多。不過(guò)Wang所用的效用函數(shù)與文平所用的效用函數(shù)不同，自然所得研究結(jié)果也不相同。Herweg[10]假設(shè)報(bào)童是基于期望的損失厭惡的人，他認(rèn)為報(bào)童的參照點(diǎn)是以往的利潤(rùn)數(shù)據(jù)，在這些假設(shè)下，他推出報(bào)童的訂貨量要比經(jīng)典報(bào)童模型的訂貨量少。

為此，有必要在一種合理而又簡(jiǎn)單的決策準(zhǔn)則下對(duì)報(bào)童問(wèn)題進(jìn)行討論。本文試圖用一個(gè)替換的決策模型——損失厭惡來(lái)解決報(bào)童問(wèn)題。之所以用損失厭惡去描述報(bào)童問(wèn)題有兩方面原因：一是損失厭惡在金融、經(jīng)濟(jì)和組織行為等領(lǐng)域得到了強(qiáng)有力的支持；二是用損失厭惡去描述管理者的決策仍處于開(kāi)始的階段。研究的目的就是從另外一個(gè)角度構(gòu)筑框架用以解釋為什么管理者的實(shí)際訂貨量異于經(jīng)典報(bào)童模型的最優(yōu)訂貨量。

1經(jīng)典報(bào)童模型

在報(bào)童問(wèn)題中，管理者必須在面對(duì)隨機(jī)需求的前提下選擇訂貨量。設(shè)X為某一階段的隨機(jī)需求，其分布函數(shù)為F(x)，其概率密度函數(shù)為f(x)。假設(shè)貨物的單位成本為c，貨物的單位售價(jià)為p。如果貨物因賣不出去不得不以價(jià)格s售出，這里假設(shè)p>c>s。在經(jīng)典的報(bào)童問(wèn)題中，最優(yōu)訂貨量Q*是在最大化期望利潤(rùn)下得到的，它滿足

(1)

定義設(shè)X為1個(gè)隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x)。對(duì)于任意α∈(0,1)，稱相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)在值為F-1(α)，記為VaRα(X)。

根據(jù)以上定義，經(jīng)典報(bào)童問(wèn)題的最優(yōu)訂貨量為

Q*=VaRα(X)

(2)

2損失厭惡的報(bào)童模型

2.1安全第一決策準(zhǔn)則

一種決策準(zhǔn)則是控制損失的概率，與之對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度是損失概率。根據(jù)Roy的觀點(diǎn)，人們決策時(shí)主要考慮的是避免災(zāi)難的可能性。他提出的決策準(zhǔn)則是安全第一，而給出的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度為損失的概率。Roy的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度被定義為

R(X)=P(X≤r)

(3)

(4)

則

(5)

所以

(6)

式中β反映管理者對(duì)虧損的容忍程度，β的取值越小，說(shuō)明管理者對(duì)虧損的容忍程度越小，他的損失厭惡程度就越高；反之，β的取值越大，說(shuō)明管理者對(duì)虧損的容忍程度越大，他的損失厭惡程度就越小。

為了獲得進(jìn)一步的結(jié)論，下面對(duì)損失厭惡的管理者的最優(yōu)訂貨量進(jìn)行比較靜態(tài)分析。

故有定理1 的結(jié)論。

該決策準(zhǔn)則雖然簡(jiǎn)單，卻具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義，不僅表現(xiàn)在定理內(nèi)容與筆者的直覺(jué)是一致的，而且與實(shí)證也是一致的。定理1與定理2表明：管理者的損失厭惡程度是另外一個(gè)決定定貨量的重要因素，管理者的損失厭惡程度越高，管理者的最優(yōu)定貨量就越少；反之，管理者的損失厭惡程度越小，管理者的最優(yōu)定貨量就越多。定理2還表明隨著β從0變化到1，最優(yōu)定貨量從(p-s)L/(c-s)變化到(p-s)M/(c-s)。

2.2加權(quán)期望損失最小化

經(jīng)典報(bào)童問(wèn)題的解決是在期望利潤(rùn)最大準(zhǔn)則下得到的，同樣經(jīng)典管理者問(wèn)題的解決也可以在期望損失最小準(zhǔn)則下得到。損失函數(shù)為

L(Q,X)=(p-c)max(0,X-Q)+(c-s)max(0,Q-X)

(7)

加權(quán)期望損失為

(8)

求導(dǎo)后，有

(9)

(c-s)F(Q)+(p-c)F(Q)-(p-c)=0

(10)

所以

(11)

可見(jiàn)，期望利潤(rùn)最大準(zhǔn)則與期望損失最小準(zhǔn)則是等價(jià)的。仔細(xì)分析一下期望收益最大準(zhǔn)則和期望損失最小準(zhǔn)則，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者均存在缺陷。就以期望損失最小準(zhǔn)則而言，它將欠缺損失與超額損失在人們決策中視為一樣的，這顯然與實(shí)際不符。所謂欠缺損失，即銷售量低于定貨量時(shí)由于部分產(chǎn)品賣不出去所遭受的損失，是看得見(jiàn)摸得著的損失，不妨稱之為顯性損失。而超額損失是由于銷售量高于定貨量時(shí)由于部分產(chǎn)品不夠賣所遭受的損失，是看得見(jiàn)摸不著的損失，不妨稱之為隱性損失。2種損失在決策中所起的作用是不同的。一般來(lái)講，欠缺損失所起的作用要大于超額損失。為了反映兩者作用的不同，在決策中應(yīng)綜合考慮兩者的作用，為了正確衡量欠缺損失與超額損失的作用，不妨將期望損失最小準(zhǔn)則修正為加權(quán)期望損失最小準(zhǔn)則。加權(quán)期望損失為

(12)

式中λ為欠缺損失的權(quán)重，它介于0與1之間。

管理者選擇的報(bào)紙訂購(gòu)量Q就是使w(Q)達(dá)到最小值的Q，為此讓w(Q)對(duì)Q求導(dǎo)得

(13)

則

(14)

所以

(15)

λ(c-s)F(Q)+(1-λ)(p-c)F(Q)-(1-λ)(p-c)=0

(16)

(17)

證明：

故定理3成立。

證明：

加權(quán)期望損失最小準(zhǔn)則與控制損失概率準(zhǔn)則雖然是2種不同的決策準(zhǔn)則，但是得到的結(jié)論卻是類似的，比較靜態(tài)分析充分地說(shuō)明了這一點(diǎn)。

2種決策準(zhǔn)則中β與λ所起得作用卻不同，在加權(quán)期望損失最小準(zhǔn)則中表示管理者對(duì)欠缺損失與超額損失的敏感程度。數(shù)值越大表明管理者對(duì)欠缺損失比較敏感,越小表明管理者對(duì)超額損失比較敏感。

3結(jié)論

報(bào)童問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理中常見(jiàn)的重要問(wèn)題，對(duì)它的研究討論有助于管理者做出科學(xué)的、有效的決策。本文在控制損失概率準(zhǔn)則以及加權(quán)期望損失最小準(zhǔn)則下對(duì)報(bào)童問(wèn)題進(jìn)行了研究，并進(jìn)行了比較靜態(tài)分析。研究發(fā)現(xiàn)：

1)報(bào)童的最優(yōu)訂貨量不僅與需求量的概率分布、價(jià)格、成本等因素有關(guān)外，還與人的損失厭惡程度以及人對(duì)欠缺損失與超額損失的厭惡程度不同有關(guān)。

2)在控制損失概率準(zhǔn)則下,報(bào)童的損失厭惡程度越高，報(bào)童的最優(yōu)定貨量就越少；反之，報(bào)童的損失厭惡程度越小，報(bào)童的最優(yōu)定貨量就越多。隨著損失厭惡程度從0變化到1，最優(yōu)定貨量在需求量所在區(qū)間內(nèi)變化。

3)在加權(quán)期望損失最小準(zhǔn)則下，如果報(bào)童對(duì)欠缺損失的厭惡程度高于超額損失，則報(bào)童的最優(yōu)定貨量較之經(jīng)典的最優(yōu)定貨量要小；反之，如果報(bào)童對(duì)欠缺損失的厭惡程度低于超額損失，則報(bào)童的最優(yōu)定貨量較之經(jīng)典的最優(yōu)定貨量要大。

4)一般來(lái)說(shuō)，報(bào)童對(duì)欠缺損失的敏感程度要高于對(duì)超額損失的敏感程度，正是基于此，報(bào)童的最優(yōu)定貨量一般小于經(jīng)典的最優(yōu)定貨量。

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責(zé)任編輯：陳亮

A New Solution to Newsvendor Problem Based on Value-at-Risk

JIA Daming，WEN Ping

(School of Sciences and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology,Changzhou 213002)

Abstract：This paper expounds on managers′ newsvendor decisions.These decisions may systematically deviate from profit maximization for several reasons.First,the decision maker may have preferences other than profit maximization.Second,the decision maker may apply a heuristic method to choose an inventory degree.Under the two different decision making,this paper discusses the newsvendor problem and reaches a solution to the newsvendor problem.Finally,comparative static effects of changes in the various price and cost are analyzed.

Key words：loss aversion;newsvendor problem;Value-at-Risk

doi:10.3969/j.issn.1671- 0436.2016.02.013

收稿日期：2016- 01- 03

作者簡(jiǎn)介：賈達(dá)明(1958—)，男，副教授。

中圖分類號(hào)：F224

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1671- 0436(2016)02- 0055- 06