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        數(shù)學思想推動證明思路

        2016-06-12 10:01:00王軍
        初中生世界·七年級 2016年8期
        關鍵詞:外角平行線內角

        王軍

        證明是判斷一個命題是真命題的推理過程,有利于培養(yǎng)人的思維品質,培養(yǎng)人的推理意識,是中考命題的重要考點,主要考查對證明推理過程的理解和邏輯推理的能力,題型有選擇題、填空題和解答題.

        證明中的推理過程不能“想當然”,每一步推理都要有根據(jù).這些根據(jù),可以是已知條件,也可以是定義、定理和公理,推理過程要嚴密. 證明中的邏輯推理離不開數(shù)學思想,數(shù)學思想有助于尋找邏輯推理的依據(jù)和途徑.

        一、 方程思想的應用

        在處理兩條直線的平行問題時,我們經(jīng)常會遇到角的關系問題,而這種角的關系又通常需要利用一個等式才能顯現(xiàn)出來,其中也離不開方程.

        例1 如圖1,若a∥b,∠1=3x+70°,∠2=2x+80°,則x=______,∠3=______.

        解:若a∥b,可得:∠1=∠2 (因為∠1與∠2的對頂角是同位角),

        所以可得: 3x+70°=2x+80°,

        解得:x=10°,

        即:∠3=180°-∠1=180°-100°=80°.

        【點評】本題根據(jù)平行線的性質得出圖形中角與角之間的數(shù)量關系,并通過方程求出x的大小,進而使問題獲解.

        二、 轉化思想的應用

        有些數(shù)學題目,初看覺得無從下手,但若能轉化解題思路,問題便能得到順利解決.

        例2 如圖2,AB平行EF,BC垂直CD于C,∠ABC=30°,∠DEF=45°,求∠CDE的大小.

        【解析】本題的條件中雖然給出了平行線與垂直,還給出了兩個具體角的大小,但好像還是與要求的角無關,考慮有平行線,想到可將問題轉化,于是,過點C和D作平行線,這樣就可分別將要求的角轉化到已知角中去.

        解:分別過點C,D作CM∥AB,DN∥AB,

        由AB ∥ EF,得到AB ∥ CM ∥ DN∥ EF,

        ∴∠ABC=∠BCM=30°,∠DEF=∠GDE=45°,∠MCD=∠CDG.

        ∵BC⊥CD,∴∠BCD=90°,

        ∴∠MCD=∠CDG=60°,

        ∴∠CDE=∠CDG+∠GDE=105°.

        【點評】熟練掌握平行線的條件和特征,并能靈活運用是求解本題的關鍵,充分運用條件,及時利用輔助線將問題轉化是正確求解的前提.另外,對于兩條平行線間的“折線”與“拐角”的問題,一般都是在拐點處作平行線,使問題轉化,從而構造出一些相等的角或互補的角,使已知與未知一目了然,達到解題的目的.

        三、 整體思想的應用

        從問題的整體著手進行思考,往往會使問題的解答快捷,迅速,可以培養(yǎng)同學們思維的敏捷性.

        例3 已知在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°.

        (1) ∠ABC+∠ADC=_______;

        (2) 如圖3,若DE平分∠NDC的外角,BF平分∠ABC的外角,請寫出DE與BF的位置關系,并證明.

        (3) 如圖4,若BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=∠CDN,∠CBE=∠CBM),試求∠E的度數(shù).

        【解析】(1) 根據(jù)四邊形內角和等于360°列式計算即可得解;

        (2) 延長DE交BF于G,根據(jù)角平分線的定義可得∠CDE =∠ADC,∠CBF =∠CBM,然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的內角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根據(jù)垂直的定義證明即可;

        (3) 先求出∠CDE+∠CBE,然后延長DC交BE于H,再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可.

        解:(1) ∵∠A=∠C=90°,

        ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°,

        故答案為:180°;

        (2) 延長DE交BF于G,

        ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM,

        ∴∠CDE=∠ADC,∠CBF=∠CBM,

        又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,

        ∴∠CDE=∠CBF,

        又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE,

        ∴∠BGE=∠C=90°,

        ∴DG⊥BF,即DE⊥BF;

        (3) 由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,

        ∵BE、DE分別四等分∠ABC、∠ADC的外角,

        ∴∠CDE+∠CBE=×180°=45°,

        延長DC交BE于H,由三角形的外角性質得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE,

        ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E,

        ∴∠E=90°-45°=45°.

        【點評】本題考查了三角形的內角和定理,四邊形的內角和定理,角平分線的定義,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質,熟記各性質是解題的關鍵,要注意整體思想的利用.

        四、 分類討論思想的應用

        數(shù)學中的許多問題由于題設交代籠統(tǒng),需要進行討論;另外由于題意復雜,包含情況比較多,也要進行討論.分類是按照數(shù)學對象的相同點和差異點,將數(shù)學對象分為不同種類的方法,其目的是使復雜問題簡單化.

        例4 設直線a∥b,在a上任取兩點A,B,在直線b上任取兩點C,D,再在兩平行線之間任取一點E,試判斷∠BED,∠ABE,∠EDC之間有何關系?請猜想并證明你的結論.

        【解析】連接線段BD,考慮到E點與BD之間的位置關系:點E可能在BD上,也可能在線段BD的左側,還可能在線段BD的右側,故解答此問題應注意分三種情況進行討論

        解:連接BD.

        (1) 當E點在線段BD上時,這時∠BED=180°,∠ABE+∠EDC=180°(兩直線平行,同旁內角互補),所以∠BED=∠ABE+∠EDC;

        (2) 當點E在線段BD的左側時,過E點作EF∥AB,交BD于F,所以EF∥CD(平行公理的推論),所以∠BEF=∠ABE,∠FED=∠EDC(兩直線平行,內錯角相等),所以∠BEF+∠FED=∠ABE+∠EDC(等量性質),即∠BED=∠ABE+∠EDC;

        (3) 當點E在線段BD的右側時(解略).

        【點評】利用分類討論思想解題時,需要認真審題,全面考慮,要做到不重不漏.

        (作者單位:江蘇省連云港市贛榆外國語學校)

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