周　平

(文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000)

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M-矩陣與其逆矩陣的q(A°A-1)的進一步研究

周平

(文山學院 數(shù)學學院，云南 文山 663000)

摘要：利用特征值包含域定理，對M-矩陣A與其逆矩陣的τ(A°A-1)作了進一步研究，并獲得新的估計式；理論分析且數(shù)值算例表明，新估計式改進了Fiedler和Markham的猜想，同時也改進了有關的結果.

關鍵詞：M-矩陣；最小特征值；下界；雙隨機

1符號說明和基本定義

定義1[1]設A=(ai j)∈Rn×n,若aij>0;i,j∈N,則稱A為正矩陣,記為A>0；若aij≥0;i,j∈N,則稱A為非負矩陣,記為A≥0.

定義2[1-10]設A=(ai j)∈Rn×n且ai j≤0;i≠j;i,j∈N，則稱A為Z-矩陣,記所有n×n階Z-矩陣所成之集為Zn.

定義3[2-3]若A=(ai j)∈Zn可表示為A=sI-P,其中P≥0,s≥ρ(P),則稱A為M-矩陣.特別地,當s=ρ(P)時,稱A為奇異M-矩陣；當s>ρ(P)時,稱A為非奇異M-矩陣.記所有n階非奇異M-矩陣所組成的集合為Mn.

定義4[4]設A=(ai j)∈Cm×n,B=(bi j)∈Cm×n,定義A°B=(ai jbi j)∈Cm×n，即：

A°B稱為A和B的Hadamard積.

定義6[2]設A=(ai j)∈Zn,記q(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)},稱q(A)為A的最小特征值.

定義8[4]設A≥0且A的每一列元素和為1，則A稱為隨機的；若A≥0，A的每一列元素和為1且A的每一行元素和也為1，則A稱為雙隨機矩陣.

2τ(A°A-1)的新估計式

引理2[6-7]設A-1是雙隨機矩陣，則Ae=e，ATe=e，其中e=(1,1,…,1)T.

引理3[8]設A=(ai j)∈Rn×n,若A有如下不可約標準形：

其中P為置換矩陣，Ai或不可約或為0，i=1,2,…,s,則:

引理4[10]如果A=(ai j)為行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，那么A-1=(βi j)存在，且有：

定理1設A=(ai j)∈Rn×n是非奇異M-矩陣,A-1=(βi j)是雙隨機矩陣，則:

證明當n=1時顯然成立.下面對n≥2的情況進行證明.

情形Ⅰ 記λ=q(B°A-1).當A為不可約矩陣時，根據(jù)已知條件和引理2有：

所以

即

故

情形Ⅱ當A是可約矩陣時，為了不失一般性，根據(jù)引理3，假設A具有如下塊上三角形式：

文獻[10]中給出的定理3.3,說明文獻[10]中的結果包含于定理1內(nèi).

3數(shù)值例子

根據(jù)定義3知，A∈Mn,且既是嚴格行對角占優(yōu)又是嚴格列對角占優(yōu)矩陣.又應用引理2便知，A-1是雙隨機的.

應用Fiedler和Markham在文獻[4]中的猜想，得q(A°A-1)≥2n-1=0.2.

應用LiHou-biao等在文獻[6]中給出的定理3.1，得q(A°A-1)≥0.742 3.

應用ZhouDuan-mei等在文獻[9]中給出的定理3.1，得q(A°A-1)≥0.447 1.

應用ChenFu-bin在文獻[10]中給出的定理3.3，得q(A°A-1)≥0.897 6.

但應用本文定理1，當α=1/2時，得τ(A°A-1)≥0.936 7.

事實上，應用Matlab7.1計算得q(A°A-1)≥0.967 8.對比以上各估計式的計算結果，可以發(fā)現(xiàn)文中給出的對非奇異M-矩陣與其逆的q(A°A-1)下界的估計式有效地改進了Fiedler和Markham的猜想以及一些現(xiàn)有的結果，提高了現(xiàn)有的估計精確度.

注2矩陣的特征值最主要是與矩陣的元素相關，但Fiedler和Markham的猜想給出的估計式僅與矩陣的階數(shù)有關，文獻[4,6,9,11,12,13]中給出的估計式，要么與M-矩陣的最小特征值相關,要么與Jacobi迭代矩陣的譜半徑相關,當矩陣的階數(shù)較大時，這些量都是難以計算的,從而應用它們估計q(A°A-1)的下界是難以實現(xiàn)的，但文中定理給出的這些估計式僅與矩陣的元素有關系，計算簡單易行.

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責任編輯：時凌

Further Research on theq(A°A-1) of anM-matrix and its Inverse

ZHOU Ping

(School of Mathematics，Wenshan University，Wenshan 663000，China)

Abstract：The q(A°A-1)of an M-matrix and its inverse is further researched by using the theorem for localizations of matrix eigenvalues，and some new estimations are obtained.There are the theoretical analysis and numerical figure show that the new estimating formulas have improved the conjecture of Fiedle and Markham effectively and other existing results in some cases.

Key words：M-matrix;minimum eigenvalue;lower bound;doubly stochastic

收稿日期：2016-01-07.

基金項目：國家自然科學基金項目(11261049)；云南省科技廳應用基礎研究項目(2013FD052)；文山學院“解析幾何”精品課程項目.

作者簡介：周平(1987- )，女，碩士,講師，主要從事數(shù)值代數(shù)和矩陣理論及其應用.

文章編號：1008-8423(2016)01-0031-04

DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.03.008

中圖分類號：O151.21

文獻標志碼：A