劉家學(xué)　林松巖

(中國民航大學(xué)航空自動(dòng)化學(xué)院　天津 300300)

?

高階無跡卡爾曼濾波算法在飛機(jī)定位中的應(yīng)用

劉家學(xué)林松巖

(中國民航大學(xué)航空自動(dòng)化學(xué)院天津 300300)

摘要無跡卡爾曼濾波算法(UKF)在飛機(jī)定位和跟蹤的過程中精度不夠，原因在于誤差變量的偏度和峰態(tài)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中對其分布影響很大。為了解決這一問題，將高階無跡卡爾曼濾波算法應(yīng)用到QAR數(shù)據(jù)中。首先，根據(jù)高階UT變換，選取一組樣本點(diǎn)(sigma點(diǎn))表征k時(shí)刻最優(yōu)估計(jì)值前四階矩的分布特征，通過傳遞得到k+1時(shí)刻一步預(yù)測值的先驗(yàn)概率分布。然后以觀測數(shù)據(jù)作為量測值，帶入濾波算法得到k+1時(shí)刻飛機(jī)狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)值。最后根據(jù)計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的模擬噪聲數(shù)據(jù)和真實(shí)的QAR數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)飛機(jī)定位的仿真驗(yàn)證。從仿真結(jié)果看，高階無跡卡爾曼濾波算法比無跡卡爾曼濾波精度更高，誤差更小，對QAR數(shù)據(jù)中其他類型的數(shù)據(jù)形式有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞QAR數(shù)據(jù)高階UT變換高階無跡卡爾曼濾波

0引言

對民航客機(jī)進(jìn)行精確的定位和跟蹤尤為重要，但是在以經(jīng)度、緯度和高度為參考的坐標(biāo)系中無法有效表示飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)過程，所以常常轉(zhuǎn)化到WGS-84坐標(biāo)系中進(jìn)行計(jì)算，再通過經(jīng)度和緯度表示出來。由于這一過程存在非線性變換，所以常常利用無跡卡爾曼濾波算法(UKF)來估計(jì)飛機(jī)的位置和狀態(tài)信息。和擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)相比，UKF能夠獲得非線性函數(shù)二階以上的精度[1,2,8]。

無跡卡爾曼濾波用于高維非線性系統(tǒng)時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不收斂的現(xiàn)象，為了解決有限點(diǎn)后數(shù)值發(fā)散的問題，Arasaratnam等提出了容積卡爾曼濾波器CKF(Cubature Kalman filter)[3]。Jia等擴(kuò)展了三階容積變換CT(Cubature transform)，得到了任意階精度的高階CKF[4]。高階CKF是高階UKF的一種特例。高階CKF和高階UKF的估計(jì)精度都取決于高階CT變換或高階UT變換中k階矩的精度[5]。但是當(dāng)階數(shù)提高后，存在未知變量交叉耦合項(xiàng)，導(dǎo)致無法求出解析解。張勇剛等給出了一種高階無跡卡爾曼濾波器的解析解的近似解[6]。同時(shí)出于穩(wěn)定性的考慮，討論了自由參數(shù)k的取值，從理論上證明了，和無跡卡爾曼濾波器相比，高階無跡卡爾曼濾波器提高了非線性系統(tǒng)的定位和跟蹤的精度。

本文在這一結(jié)論的基礎(chǔ)上，將高階UKF算法應(yīng)用到真實(shí)的飛機(jī)飛行數(shù)據(jù)中。分別使用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的模擬噪聲和真實(shí)飛機(jī)運(yùn)行的QAR數(shù)據(jù)作為觀測值，利用高階UKF算法進(jìn)行了飛機(jī)位置和狀態(tài)信息的仿真驗(yàn)證。仿真結(jié)果標(biāo)明，和UKF相比，高階UKF算法可以獲得精度更高的狀態(tài)信息。

1飛機(jī)在巡航階段的運(yùn)動(dòng)模型

飛機(jī)在巡航階段的運(yùn)動(dòng)可近似認(rèn)為是沿地表平行的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。在平流層，由風(fēng)向和風(fēng)速引起的速度變化很小，可看做高斯白噪聲；QAR數(shù)據(jù)以1 Hz的頻率記錄GPS采集的飛機(jī)的位置信息，位置誤差可能由衛(wèi)星或傳播路徑引起，也可以看做是高斯白噪聲。由大氣慣性基準(zhǔn)系統(tǒng)(ADIRS)可知，飛機(jī)的高度信息基本維持不變，地速、空速等飛機(jī)狀態(tài)參數(shù)也保持近似穩(wěn)定。

以地球質(zhì)心為原點(diǎn)，以WGS-84坐標(biāo)系作為空間參考坐標(biāo)系。帶噪聲的勻速直線運(yùn)動(dòng)模型和觀測模型如下：

(1)

(2)

2高階UKF算法

考慮如下系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程：

xk+1=fk+1|k(xk)+wkzk=hk(xk)+vk

(3)

其中，xk為系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，zk為系統(tǒng)的量測估計(jì)，f(·)為非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，h(·)為非線性測量函數(shù)，vk為系統(tǒng)的模型噪聲，vk為系統(tǒng)的觀測噪聲，wk和vk為高斯白噪聲，且滿足：

E[wk]=0,

E[vk]=0,

Cov[wk,wj]=Qkδkj

δkj為狄拉克函數(shù)

Cov[vk,vj]=Rkδkj

Cov[wk,vj]=0對?k≠j

狀態(tài)和量測的一步預(yù)測[6]：

計(jì)算狀態(tài)向量xk-1|k-1的Sigma點(diǎn)及其權(quán)值：

第一類Sigma點(diǎn)及其權(quán)值：

(4)

第二類Sigma點(diǎn)及其權(quán)值：

(5)

第三類Sigma點(diǎn)及其權(quán)值：

(6)

其中：

通過非線性函數(shù)f(·)傳遞狀態(tài)向量xk-1的Sigma點(diǎn)，得到樣本點(diǎn)的傳遞值：

(7)

(8)

k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)方差的一步預(yù)測值Pk|k-1：

(9)

通過高階UT變換，得到三類Sigma點(diǎn)及其權(quán)值：

(10)

(11)

(12)

通過非線性測量函數(shù)h(·)傳遞預(yù)測狀態(tài)向量xk|k-1的Sigma點(diǎn)，得到變換的樣本點(diǎn)：

(13)

計(jì)算k時(shí)刻量測的一步預(yù)測值均值：

(14)

計(jì)算k時(shí)刻量測的一步預(yù)測誤差方差陣：

(15)

計(jì)算k時(shí)刻預(yù)測與量測的互相關(guān)協(xié)方差矩陣：

(16)

計(jì)算高階UKF增益，更新狀態(tài)向量和方差：

(17)

3仿真分析

實(shí)驗(yàn)1仿真條件下基于高階UKF算法驗(yàn)證

飛機(jī)的初始坐標(biāo)為(114.8051°E，35.8702°N)，大氣壓高度為7190米。以速度(-55,162.1,-233.3)米/秒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以經(jīng)度，緯度作為觀測數(shù)據(jù)。模型噪聲即速度噪聲均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差在三個(gè)方向都為1 m/s2，測量誤差均值為0，緯度和經(jīng)度誤差標(biāo)準(zhǔn)差都為0.1°，高度誤差標(biāo)準(zhǔn)差為10 m。

圖1、圖2表示模擬數(shù)據(jù)緯度，經(jīng)度的觀測值以及高階UKF的濾波值，從圖中可以看出，雖然觀測值偏離零軸即理想值較大，但是經(jīng)過濾波后的估計(jì)值幾乎和理想值重合。

采用如下定義的誤差性能指標(biāo)：

(18)

圖1　緯度量測值和四階UKF估計(jì)值的誤差分布

圖2　經(jīng)度量測值和四階UKF估計(jì)值的誤差分布

在本次實(shí)驗(yàn)中，以四階UKF濾波值作為基準(zhǔn)，仿真100次，比較UKF和高階UKF的性能。從圖3可以看出，UKF的濾波誤差都高于高階UKF的濾波誤差，說明高階UKF算法總體性能要好于UKF。

圖3　兩種濾波算法的性能比較

實(shí)驗(yàn)2基于QAR數(shù)據(jù)的高階UKF濾波算法驗(yàn)證

QAR數(shù)據(jù)包含了大量飛機(jī)飛行過程中的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，因此可以以QAR數(shù)據(jù)作為測量數(shù)據(jù)。飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)模型和測量模型如式(1)、式(2)所示，觀測數(shù)據(jù)來自2014年6月10日CES5658次航班QAR數(shù)據(jù)，模型的理想值來自本次航班導(dǎo)航臺(tái)的導(dǎo)航信息。

圖4、圖5表示飛機(jī)真實(shí)的緯度和經(jīng)度的測量值和高階UKF濾波值。從圖中可以看出，GPS接收到的數(shù)據(jù)并不僅僅受高斯噪聲影響，高階UKF濾波值跟隨了測量值的趨勢，同時(shí)更平滑。但是和模擬數(shù)據(jù)相比起伏很大，這表明飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)軌跡和理想的勻速直線運(yùn)動(dòng)差距較大。

圖4　QAR數(shù)據(jù)緯度量測值和估計(jì)值的誤差分布

圖5　QAR數(shù)據(jù)經(jīng)度量測值和估計(jì)值的誤差分布

圖6表示QAR數(shù)據(jù)中UKF和高階UKF的性能表現(xiàn)，使用式(18)來判斷性能。在圖中可以看出，帶入真實(shí)的QAR數(shù)據(jù)后，高階UKF的精確度依然高于UKF，表明高階UKF確實(shí)優(yōu)于UKF。

圖6　QAR數(shù)據(jù)中兩種濾波算法的性能比較

4結(jié)語

仿真結(jié)果表明，本文所討論的高階UKF算法，在采樣過程中提取了前一時(shí)刻估計(jì)值的前四階矩的分布特性。與常規(guī)高階UKF相比，提高了估計(jì)值的精確度，因此在雷達(dá)和精確導(dǎo)航與制導(dǎo)方面應(yīng)用前景廣泛。但是與此同時(shí)增大了計(jì)算量。如果在線性條件下，還可以使用擴(kuò)維或部分?jǐn)U維的方法[7,9,10]，進(jìn)一步簡化計(jì)算。

參考文獻(xiàn)

[1] Julier S J,Uhlmann J K.Consistent debiased method for converting between polar and Cartesian coordinate systems[C]//AeroSense’97.International Society for Optics and Photonics,1997:110-121.

[2] Lefebvre T,Bruyninckx H,De Schuller J.Comment on A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators[with authors’ reply][J].Automatic Control,IEEE Transactions on,2002,47(8):1406-1409.

[3] Arasaratnam I,Haykin S.Cubature kalman filters[J].Automatic Control,IEEE Transactions on,2009,54(6):1254-1269.

[4] Jia B,Xin M,Cheng Y.High-degree cubature Kalman filter[J].Automatica,2013,49(2):510-518.

[5] Julier S J,Uhlmann J K.Unscented filtering and nonlinear estimation[J].Proceedings of the IEEE,2004,92(3):401-422.

[6] 張勇剛,黃玉龍,武哲民,等.一種高階無跡卡爾曼濾波方法[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2014,40(5):838-848.

[7] 黃銚,張?zhí)祢U,高清山,等.一種提高無跡卡爾曼濾波精確度的方法[J].計(jì)算機(jī)仿真,2010(3):348-352.

[8] Novara C,Ruiz F,Milanese M.A new approach to optimal filter design for nonlinear systems[C]//Decision and Control,2009 held jointly with the 2009 28th Chinese Control Conference.CDC/CCC 2009.Proceedings of the 48th IEEE Conference on.IEEE,2009:5484-5489.

[9] 張晶.基于部分?jǐn)U維的無跡卡爾曼濾波算法研究[J].科學(xué)技術(shù)與工程,2014,14(24):302-307.

[10] 黃銚,張?zhí)祢U,李越雷,等.一種擴(kuò)維無跡卡爾曼濾波[J].電子測量與儀器學(xué)報(bào),2009,23(51):56-60.

APPLICATION OF HIGH-ORDER UNSCENTED KALMAN FILTER IN AIRPLANE LOCALISATION

Liu JiaxueLin Songyan

(SchoolofAeronauticalAutomation,CivilAviationUniversityofChina,Tianjin300300,China)

AbstractThe cause of inadequate accuracy of unscented Kalman filter (UKF) in localising and tracing an airplane is due to the very big influence of skewness and kurtosis of error variables on the distribution of coordinate during its transformation process. In order to solve the problem, we applied high-order UKF algorithm to quick access recorder (QAR) data. First, according to high-order unscented transformation (UT) we chose a set of sample points (sigma points) to characterise the distribution feature of the first four moments of optimal estimating value at time k, and obtained the priori probability distribution of one-step prediction value at time k+1 through transferring. Then we took the observation data as the measured value, and brought in the filtering algorithm to get the optimal estimation value of airplane state at time k+1. At last, according to computer-generated simulative noise data and actual QAR data we achieved the simulated validation of airplane localisation. From the simulation result it is aware that the high-order UKF algorithm has higher accuracy and less error than UKF, this has certain reference significance to the data form of other types in QAR data.

KeywordsQAR dataHigh-order unscented transformationHigh-order UKF

收稿日期：2014-10-23。民航局科技基金項(xiàng)目(MHRD201121)；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目(ZXH2012D015,ZXH2012G004)。劉家學(xué)，教授，主研領(lǐng)域：信號(hào)處理，飛控算法理論研究。林松巖，碩士生。

中圖分類號(hào)TP391

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.05.064