徐藝超，王福忠，姚　波

(1.沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110034;2.沈陽(yáng)工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 沈陽(yáng) 110136)

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條形區(qū)域極點(diǎn)配置靜態(tài)輸出反饋可靠控制

徐藝超1，王福忠2，姚波1

(1.沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110034;2.沈陽(yáng)工程學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，遼寧 沈陽(yáng) 110136)

摘要：針對(duì)線性系統(tǒng)，考慮連續(xù)增益故障模型，研究了具有執(zhí)行器故障的條形區(qū)域極點(diǎn)配置的靜態(tài)輸出反饋可靠控制問(wèn)題。首先，在執(zhí)行器無(wú)故障的前提下，給出使極點(diǎn)能夠配置在條形區(qū)域內(nèi)的充分條件，進(jìn)而得出系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋可靠控制率。然后，基于執(zhí)行器故障，重新設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋可靠控制器，利用求解線性矩陣不等式的方法，完成靜態(tài)輸出反饋可靠控制器的設(shè)計(jì)。由可靠控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，使得當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)，也可使閉環(huán)系統(tǒng)的所有極點(diǎn)保持在條形區(qū)域內(nèi)。最后，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了其結(jié)果的有效性和可行性。

關(guān)鍵詞：極點(diǎn)配置；執(zhí)行器故障；靜態(tài)輸出反饋；可靠控制；線性矩陣不等式(LMI)

反饋控制是指在控制系統(tǒng)中，將系統(tǒng)的實(shí)際輸出和期望輸出進(jìn)行比較，形成誤差，從而為確定下一步的控制行為提供依據(jù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制的任務(wù)，即反饋控制原理。文獻(xiàn)[1]提出了不確定時(shí)滯系統(tǒng)的反饋控制問(wèn)題，并且給出了當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)魯棒鎮(zhèn)定的條件。文獻(xiàn)[2]基于線性矩陣不等式給出了保成本可靠控制器的參數(shù)化表示。文獻(xiàn)[3]利用凸組合方法，得出當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的條件。目前反饋控制中主要是動(dòng)態(tài)輸出反饋和狀態(tài)輸出反饋，動(dòng)態(tài)輸出反饋結(jié)構(gòu)復(fù)雜、消耗能量，狀態(tài)輸出反饋需要系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)進(jìn)行采集，但一般很難做到。文獻(xiàn)[4]給出了線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋鎮(zhèn)定的LMI方法。文獻(xiàn)[5]利用線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了隨機(jī)混合系統(tǒng)的無(wú)脈沖以及隨機(jī)穩(wěn)定的靜態(tài)輸出反饋控制器。文獻(xiàn)[6]通過(guò)構(gòu)造一個(gè)二次Lyapunov函數(shù)，結(jié)合線性矩陣不等式的約束條件，給出了控制器存在的充分條件。以上文獻(xiàn)中涉及到的靜態(tài)輸出控制都不是可靠的，一旦系統(tǒng)的傳感器或者執(zhí)行器發(fā)生故障，系統(tǒng)將不再穩(wěn)定，所以設(shè)計(jì)一個(gè)靜態(tài)輸出可靠控制是必要的，也是具有實(shí)際意義的。

可靠控制是將系統(tǒng)可能發(fā)生的故障考慮在系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，主要考慮系統(tǒng)執(zhí)行器和傳感器的故障，故障類(lèi)型分為“中斷”故障和增益故障。自1980年Siljak發(fā)表關(guān)于可靠鎮(zhèn)定的文章以后，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入研究，如文獻(xiàn)[7-9]。文獻(xiàn)[10]給出了在連續(xù)故障的前提下，基于LMI方法的反饋控制器存在的充分條件，并且提出了考慮執(zhí)行器和傳感器雙故障的系統(tǒng)完整性設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[11]以執(zhí)行器故障診斷為前提，解決了連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的可靠時(shí)滯控制問(wèn)題。

區(qū)域極點(diǎn)配置是指把閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部配置在左復(fù)平面中給出的指定區(qū)域內(nèi)，那么系統(tǒng)將會(huì)具有所需的穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性。文獻(xiàn)[12]在考慮執(zhí)行器故障的前提下，給出了扇形區(qū)域極點(diǎn)配置的可靠控制率。文獻(xiàn)[13]針對(duì)不確定系統(tǒng)，研究了在混合故障的前提下使極點(diǎn)配置在圓盤(pán)區(qū)域的可靠控制問(wèn)題。文獻(xiàn)[14]研究了在一類(lèi)線性系統(tǒng)的梯形區(qū)域極點(diǎn)配置問(wèn)題下，執(zhí)行器不同通道的增益值的容忍區(qū)間算法。

針對(duì)在條形區(qū)域下極點(diǎn)配置的靜態(tài)輸出反饋可靠控制的一些問(wèn)題，通過(guò)求靜態(tài)輸出反饋可靠控制率的方法，論證當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí)，使原系統(tǒng)極點(diǎn)仍舊可以配置在所確定的條形區(qū)域下的充分條件，并且利用LMI求帶有執(zhí)行器故障的靜態(tài)輸出反饋可靠控制器的設(shè)計(jì)方法，最后通過(guò)數(shù)值仿真來(lái)驗(yàn)證其結(jié)果的有效性和可行性。

1問(wèn)題描述

考慮線性定常系統(tǒng)：

(1)

其中，x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，u(t)∈Rp為系統(tǒng)的控制輸入變量，y(t)∈Rm是系統(tǒng)的輸出變量，A∈Rn×n和B∈Rn×p是不依賴(lài)系統(tǒng)的常規(guī)矩陣，C∈Rm×n是系統(tǒng)的測(cè)量行滿(mǎn)秩矩陣。

執(zhí)行器連續(xù)增益故障矩陣模型為

uf(t)=Fau(t)

故障處理(凸組合法)：

Δa={Fa|Fa=diag(fa1,fa2,…,fap),

由文獻(xiàn)[15]可知：

引理1：已知S是n×n正定對(duì)稱(chēng)矩陣(m≤n)，G是適維行滿(mǎn)秩矩陣，則矩陣GSG′可逆。

分析：證明GSG′可逆，等價(jià)于證明方程GSG′X=0只有零解。

證明：

設(shè)GSG′X=0

∵XGSG′X=0整理得(G′X)′S(G′X)=0

∵S是n×n正定對(duì)稱(chēng)矩陣

∴G′X=0

故有GG′X=0

又∵GG′可逆，則只有零解X=0

綜上可得，方程只有零解，即GSG′可逆，引理得證。

引理4：根據(jù)引理3，矩陣A的所有特征值均在(h1,h2)的條形區(qū)域內(nèi)的充分必要條件是存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣X，使得

2主要結(jié)論

首先，給出了正常線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋可靠控制器設(shè)計(jì)，對(duì)線性系統(tǒng)(1)引入靜態(tài)輸出反饋控制器：

u(t)=Ky(t)

(2)

由此得到閉環(huán)系統(tǒng)：

(3)

定理1：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(3)，存在靜態(tài)輸出反饋控制器(2)，使其滿(mǎn)足引理4的充分條件為對(duì)于正定對(duì)稱(chēng)矩陣X和矩陣U，使得下列線性矩陣不等式(4)存在可行解。

(4)

如果可行解為(X,U)，則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器為K=UW-1。其中，∏=AX+BUC，W可以由WC=CX求得。

證明：由引理4可知，把閉環(huán)系統(tǒng)(3)的極點(diǎn)配置在規(guī)定的條形區(qū)域內(nèi)必須滿(mǎn)足：

整理可得

故有

即

也就是不等式(4)，其中，WC=CX，U=KW，∏=AX+BUC。

下證W可逆:

對(duì)等式WC=CX兩邊乘以C′得WCC′=CXC′

則W=CXC′(CC′)-1

即證CXC′可逆。

由引理1可知CXC′可逆，故W可逆。

定理得證。

然后，討論系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障時(shí)，線性系統(tǒng)靜態(tài)輸出反饋可靠控制器的設(shè)計(jì)方法。

當(dāng)線性系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障，系統(tǒng)可以描述為

(5)

對(duì)系統(tǒng)(5)引入靜態(tài)輸出反饋控制器：

u(t)=Ky(t)

(6)

由此得到閉環(huán)系統(tǒng)：

(7)

定理2：對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(7)，如果存在靜態(tài)輸出反饋控制器(6)，使其滿(mǎn)足引理4的充分條件為對(duì)于正定對(duì)稱(chēng)矩陣X和矩陣U，線性矩陣不等式(8)均存在可行解。

(8)

如果可行解為(X,U)，則相應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋控制器矩陣增益為K=UW-1。其中，Ω=AX+BφaiUC，W可以由WC=CX求得。

證明：由引理5可知，把閉環(huán)系統(tǒng)(7)的極點(diǎn)配置在規(guī)定的條形區(qū)域內(nèi)必須滿(mǎn)足：

整理得

故有

(9)

故有

整理可得

即不等式(8)。

其中，U=KW，Ω=AX+BφaiUC，WC=CX。

3數(shù)值仿真

首先，考慮正常的線性系統(tǒng)在無(wú)故障的情況下，通過(guò)設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)在條形區(qū)域內(nèi)；再考慮正常的線性系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障，閉環(huán)系統(tǒng)的部分極點(diǎn)無(wú)法配置在條形區(qū)域，通過(guò)重新設(shè)計(jì)控制器，使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。

對(duì)于相同系統(tǒng)考慮同一故障給出條形區(qū)域極點(diǎn)配置圖像。系統(tǒng)如下：

設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器為

使閉環(huán)系統(tǒng)(3)的極點(diǎn)在條形區(qū)域內(nèi)，如圖1所示。

圖1　正常系統(tǒng)極點(diǎn)配置在條形區(qū)域內(nèi)

考慮發(fā)生執(zhí)行器故障F=diag(f1,f2)，其中0≤f1≤1，0.5≤f2≤1.2，原控制器無(wú)法使所有極點(diǎn)均配置在條形區(qū)域，如圖2所示。

圖2　部分極點(diǎn)不在條形區(qū)域內(nèi)

針對(duì)同一故障，設(shè)計(jì)新的靜態(tài)輸出反饋控制器為

使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)全部配置在條形區(qū)域內(nèi)，如圖3所示，在F=diag(f1,f2)、0≤f1≤1、0.5≤f2≤1.2的故障前提下，重新設(shè)計(jì)靜態(tài)輸出反饋控制器，使所有極點(diǎn)均配置在條形區(qū)域內(nèi)。

圖3　所有極點(diǎn)均在條形區(qū)域內(nèi)

4結(jié)論

針對(duì)線性系統(tǒng)研究了條形區(qū)域下具有執(zhí)行器故障的區(qū)域極點(diǎn)配置的靜態(tài)輸出反饋可靠控制問(wèn)題。首先在不考慮故障的情況下，通過(guò)設(shè)計(jì)控制器使所有極點(diǎn)可以配置在條形區(qū)域下；然后系統(tǒng)發(fā)生故障，在原控制器的作用下，部分極點(diǎn)無(wú)法配置在條形區(qū)域下；最后針對(duì)同一系統(tǒng)同一故障，通過(guò)設(shè)計(jì)可靠控制器，使系統(tǒng)的所有極點(diǎn)可以配置在同一條形區(qū)域下，并通過(guò)數(shù)值仿真以及系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線證明了可靠控制器的有效性。

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(責(zé)任編輯張凱校對(duì)佟金鍇魏靜敏)

Static Output Feedback Reliable Control of Pole Placementin Bar Region

XU Yi-chao1,WANG Fu-zhong2,YAO Bo1

(1.College of Mathematics and System Science,Shenyang Normal University,Shenyang 110034; 2.Department of Preparatory Courses,Shenyang Institute of Engineering,Shenyang 110136,Liaoning Province)

Abstract：A static output feedback reliable control of pole placement with actor faults in bar regionofa linear systemwas proposed,considered the continuous fault mode.First,we studied the system without any faults.We got a feedback reliable controller when the poles were in the bar region,but the controller would lose efficacy when the system had actor faults.Then under the actor faults,the Lyapunoytheory was usedto deduce the sufficient condition that made all the poles werestill in the same bar region.A static output feedback reliable controller was obtained by using linear matrix inequality.A simulation example illustrates the feasibility and effectiveness of the results.

Key words：pole placement; actor faults; static output feedback; linear system; reliable control; linear matrix inequality(LMI)

中圖分類(lèi)號(hào)：O151

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-1603(2016)02-0187-06

DOI：10.13888/j.cnki.jsie(ns).2016.02.020

作者簡(jiǎn)介：徐藝超(1992-)，女，遼寧沈陽(yáng)人，碩士研究生。通訊作者： 王福忠(1963-)，男，遼寧沈陽(yáng)人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事模糊控制、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的魯棒控制和容錯(cuò)控制方面的研究。

收稿日期：2015-12-30