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        矩陣方程AX=B, XC=D的(M,N)-反對稱解

        2016-06-06 03:50:10王柏育
        陜西科技大學學報 2016年3期

        劉 巍, 王柏育

        (長沙學院 數(shù)學與計算機科學系, 湖南 長沙 410022)

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        矩陣方程AX=B, XC=D的(M,N)-反對稱解

        劉巍, 王柏育*

        (長沙學院 數(shù)學與計算機科學系, 湖南 長沙410022)

        摘要:利用奇異值分解和廣義奇異值分解,得到了矩陣方程AX=B,XC=D的(M,N)-反對稱解存在的充要條件,給出了通解表達式及其最佳逼近問題的解,并提供了數(shù)值例子來說明理論結(jié)果的正確性.

        關(guān)鍵詞:(M,N)-反對稱矩陣; 最佳逼近; 廣義奇異值分解

        0引言

        定義1[1]對矩陣A=(aij)∈Rn×m和B=(bij)∈Rn×m,稱A*B=(aijbij)∈Rn×m是A與B的Hadamard乘積.

        定義2給定M∈Rn×p,N∈Rq×n,如果(MXN)T=-MXN,稱X是(M,N)-反對稱矩陣.

        近些年來,文獻[2-16]討論了矩陣方程的無約束解、(反)對稱解、廣義(反)對稱解、廣義自反解、(R,S)-對稱解、(R,S)-共軛解、Hermitian自反解和最小二乘解等,并得到了很好的結(jié)果.

        本文研究以下問題:

        AX=B,XC=D

        (1)

        (2)

        其中,SE是問題I的解集合.

        1問題Ⅰ的解

        在本節(jié)中,利用矩陣的SVD分解和GSVD分解[2],給出問題I有解的充要條件以及一般解的表達式.

        (3)

        其中:

        Σ1=diag(σ11,…,σ1r1)>0,

        Σ2=diag(σ21,…,σ2r2)>0.

        (4)

        其中:

        P2∈OR(q-r2)×(q-r2),

        (5)

        Ω1=diag(α1,…,αs)>0,

        Ω2=diag(β1,…,βs)>0,

        1>α1≥…≥αs>0,

        引理3若矩陣F∈Rn×n,G0∈SRn×n滿足

        G0=F+FT, 則:

        其中,G∈ASRn×n.

        AA+B=B,DC+C=D,BC=AD

        (6)

        并且其一般解的表達式為:

        (7)

        其中,X22是任意的(p-r1)×(q-r2)階實矩陣,V12、U22如引理1中所定義.

        M0=M(A+B+(I-A+A)DC+)N,

        矩陣H的分塊如下

        其中,Q如引理2中所定義,Hii(i=1,2,3,4)是對稱矩陣.則問題Ⅰ的解集SE非空的充要條件是:

        (ⅰ)AA+B=B,DC+C=D,BC=AD.

        (ⅱ)H11=0,H33=0,Hi4=0,H4i=0,

        1≤i≤4.

        當問題Ⅰ有解時,其一般解的表達式為:

        X=A+B+(I-A+A)DC++

        (8)

        其中:

        V12、U22、P1、P2、Ω1、Ω2如引理1和引理2中所定義.

        由(MXN)T=-MXN,有:

        由引理2可得:

        (9)

        (10)

        將式(5)和式(10)代入式(9),得:

        所以:

        H11=0,H33=0,Hi4=0,H4i=0,1≤i≤4

        (11)

        (12)

        (13)

        式(11)即條件(ⅱ).

        2問題Ⅱ的解

        注意到問題Ⅰ的解集是一個閉凸集.因此,問題Ⅱ存在唯一解.先給出以下引理.

        (14)

        證明:設K=(kij)∈ASRn×n,L=(lij)∈Rn×n,則:

        且F(K)是連續(xù)可微函數(shù),根據(jù)函數(shù)在某點處取極小值的必要條件,可得:

        定理2給定矩陣X*∈Rp×q、M∈Rn×p、

        D∈Rp×s,令

        的分塊如下:

        (15)

        (16)

        其中:

        (17)

        V12、U22、P1、P2、Ω1、Ω2如引理1和引理2中所定義.

        ‖X-X*‖2=

        min

        (18)

        對S作形如式(15)的分塊,則式(18)等價于

        (19)

        3數(shù)值例子

        在本節(jié)中,給出相應的數(shù)值例子,說明所得理論結(jié)果的正確性.

        例1考慮矩陣方程AX=B,XC=D,其中

        經(jīng)驗證,滿足定理1的條件,在式(8)中,取可任意取值的矩陣均為零矩陣,可得問題I的一個解為:

        且有:

        ‖AX-B‖=9×10-16,‖XC-D‖=6×10-17,

        ‖(MXN)T+MXN‖=5×10-15

        給定

        根據(jù)式(16),可得問題Ⅱ的解為:

        且有:

        參考文獻

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        【責任編輯:晏如松】

        The (M,N)-antisymmetric solutions of the matrix equations AX=B,XC=D

        LIU Wei, WANG Bai-yu*

        (Department of Mathematics and Computer Science, Changsha University, Changsha 410022, China)

        Abstract:In this paper,based on the singular value decomposition (SVD) of a matrix and the generalized singular value decomposition (GSVD) of a matrix pair,we establish the solvability conditions of matrix equations AX=B,XC=D for (M,N)-antisymmetric matrices,give the expressions of general solutions and the solution of corresponding optimal approximation problem,and give a numerical example to verify the correctness of the theoretical results.

        Key words:(M,N)-antisymmetric matrix; optimal approximation; generalized singular value decomposition

        中圖分類號:O241.6

        文獻標志碼:A

        文章編號:1000-5811(2016)03-0175-05

        作者簡介:劉巍(1982-),男,遼寧建平人,講師,碩士,研究方向:數(shù)值代數(shù)通訊作者:王柏育(1981-),女,遼寧建平人,講師,博士,研究方向:數(shù)值代數(shù)、偏微分方程,wangbaiyumath@163.com

        基金項目:湖南省教育廳科研計劃項目(15C0120)

        收稿日期:2016-01-13

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