張文思，李金林，王建才，冉倫

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需求分布未知下含數(shù)量折扣的多產品庫存與定價

張文思，李金林，王建才，冉倫

（北京理工大學管理與經濟學院，北京 100081）

考慮需求分布未知情況下含數(shù)量折扣的多產品庫存與定價聯(lián)合問題，建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，假設已知信息為隨機需求擾動的均值和方差，通過引入最大化最壞情況下利潤的max-min準則給出期望利潤的下界。在此基礎上，利用拉格朗日對偶處理約束條件，根據(jù)成本折扣區(qū)間將原問題分解為若干個子問題；證明了拉格朗日松弛問題的目標函數(shù)為關于庫存因子的凹函數(shù)和關于定價的擬凹函數(shù)，并給出最優(yōu)定價和最優(yōu)訂貨量的表達式，設計啟發(fā)式算法對模型進行求解。最后通過數(shù)值算例對算法的魯棒性和有效性加以說明，并分析了參數(shù)變化對最優(yōu)解的影響。

需求分布未知；多產品；庫存；定價；數(shù)量折扣

0 引言

報童問題是經典的單周期庫存問題，考慮了隨機不確定需求下尋求使得期望利潤最大化的產品最優(yōu)訂購量問題[1]。隨著顧客需求多樣化的增加和市場需求不確定性的增高，越來越多的研究學者在經典報童問題基礎上對運作管理相關問題展開分析。Khouja對報童問題的研究進行了全面回顧，并將對經典報童問題的擴展研究分為11個類別，其中包括存在資源約束的多產品報童問題、庫存與定價聯(lián)合模型、供應商提供數(shù)量折扣的報童問題以及不同需求信息情形的報童問題[2]。

當零售商銷售多種產品時，其決策可能會受到多種資源約束條件的限制，如資金預算存在上限的成本約束、倉庫容量有限的庫存約束等，忽略資源約束條件會產生非可行解，因此零售商需決定如何分配有限的資源以最大化期望利潤。含有資源約束的多產品報童問題已經取得了廣泛的研究成果。Hadley和Whitin首先考慮了含有單個約束條件的多產品報童問題，并利用拉格朗日乘子、萊布尼茲法則、動態(tài)規(guī)劃等方法求解[3]；此后，Lau和Lau進一步地將研究推廣到了存在多個約束條件的情形[4]。Abdel-Malek和Montanari分別研究了含有一個約束條件和兩個約束條件的多產品報童問題的解空間[6,7]。隨著生產技術的進步和銷售環(huán)境的復雜化，多產品報童模型被更多的研究者關注，越來越多的研究方法如二次規(guī)劃、近似、二分算法等被用來處理含有約束條件的多產品報童問題，相關研究包括Abdel-Malek和Areeratchakul[8]、Niederhoff[9]、Zhang等[10]。

早期有關報童問題的研究往往假設價格為外生變量，即需求是不依賴于市場價格的隨機變量，因而忽略了價格因素對產品需求的影響。Whitin最早建立了考慮價格影響需求的報童模型，模型通過假設需求分布依賴于單位銷售價格，將銷售價格由外生參數(shù)轉變成為決策變量，并得到了最優(yōu)訂貨量關于銷售價格的函數(shù)表達式，相應的，最優(yōu)銷售價格也可以表示成最優(yōu)訂貨量的函數(shù)[11]。隨后，Lau和Lau、Polatoglu探討了需求隨機且價格彈性的報童問題訂購與定價聯(lián)合決策問題[12],[13]，Petruzzi和Dada在全面回顧單周期隨機庫存研究的基礎上，完善了將銷售價格視作內生變量的報童模型理論框架，并分別研究了需求關于銷售價格的加法函數(shù)形式與乘法函數(shù)形式，證明了最優(yōu)解及其存在條件，豐富了報童問題的研究成果[14]。上述研究均針對單產品進行展開，Murra等將研究擴展到了存在預算約束時的多產品庫存與定價聯(lián)合模型，且假設產品需求之間存在交叉彈性，即某一產品的需求依賴于其他產品的需求[15]。

在實際操作中，供應商普遍通過提供價格折扣促使零售商訂購更多數(shù)量的產品。對零售商來說，產品訂單數(shù)量越大，單位采購成本就越低。供應商提供的折扣形式多樣，被廣泛采用的主要是全量折扣（all-units discount）和增量折扣（incremental discount）[16]。對于存在產品數(shù)量折扣的庫存問題，Pantumsinchai和Knowles 建立了存在數(shù)量折扣的單周期庫存模型[17]，Khouja研究了利用多等級折扣出售剩余庫存的報童問題[18]， Khouja和Mehrez進一步分析了多產品、多價格折扣的報童問題[19]。Zhang考慮了同時存在資源約束和供應商提供數(shù)量折扣的多產品報童問題，建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃并提出拉格朗日松弛算法對該問題進行求解，并通過大規(guī)模算例對算法有效性加以說明[20]。Shi和Zhang在此工作的基礎上，考慮價格為決策變量，研究了需求關于銷售價格的加法函數(shù)形式下的多產品報童問題[21]。

經典隨機庫存理論假設需求分布信息已知，即決策者在假定的需求分布條件下求解隨機優(yōu)化問題；而在實際中，決策者很難根據(jù)需求樣本判斷出其精確的分布形式，僅能通過樣本信息獲得需求分布的部分信息。基于此，Scarf通過給出期望利潤函數(shù)的下界值，對僅知均值和方差的隨機需求進行了確定性近似；這種近似保證了即使在最壞分布情況下決策者也能獲得收益[22]。這種基于魯棒優(yōu)化思想的方法在隨后的研究中獲得了廣泛的應用。Perakis和Roels對部分需求分布信息（均值、方差、對稱性等）下的報童問題進行研究，利用最小化最大后悔值模型給出了最優(yōu)訂貨量，并證明了該方法的魯棒性[23]。Qiu等考慮了決策者為風險規(guī)避時，已知部分需求信息的庫存問題[24]。Raza研究了分布未知情況下的庫存與定價聯(lián)合模型，給出了已知需求期望和方差時的目標函數(shù)下界值，證明了該下界關于價格和訂貨量為聯(lián)合凹函數(shù)；指出通過這種方法可以得到最優(yōu)定價和訂貨量的閉式解[25]。

表1 報童問題擴展研究

對部分現(xiàn)有成果進行歸納可以發(fā)現(xiàn)，目前對報童問題的擴展研究往往只針對上述提到的其中幾個方面展開，見表1。本研究擬在Zhang[20]、Shi和Zhang[21]以及Raza[25]的研究基礎上，利用Scarf[22]提出的信息不完全時的最大化最壞情況下的期望利潤，即max-min決策準則，綜合考慮需求分布信息未知情況下的多產品報童庫存與定價聯(lián)合問題，建立混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，利用拉格朗日松弛得到存在數(shù)量折扣和單個約束條件下最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)定價的表達式，并設計算法進行求解，通過數(shù)值算例對決策準則的魯棒性進行說明，并給出參數(shù)變化對最優(yōu)解的影響。本文其余部分組織如下：第1節(jié)給出符號說明及多產品庫存與定價聯(lián)合問題的基本描述，并給出max-min準則下的目標函數(shù)下界；在第2節(jié)利用拉格朗日松弛對模型進行求解，給出每個產品在不同折扣區(qū)間的最優(yōu)定價與最優(yōu)訂貨量的表達式，并設計啟發(fā)式算法獲得問題的最優(yōu)解；第3節(jié)在1、2節(jié)的基礎上，通過算例分析對最壞情況下的最優(yōu)解的有效性和魯棒性進行驗證，并分析參數(shù)變化對最優(yōu)解影響；最后結論將在第4節(jié)給出。

1 問題描述與模型假設

指標

參數(shù)

根據(jù)上述符號描述，對于存在數(shù)量折扣的多產品報童問題，我們有：

決策變量

因此，最大化期望利潤的目標函數(shù)及其約束條件可寫為：

(1)

s.t.(2)

(4)

(5)

(7)

(8)

(10)

根據(jù)(9)和(10)，可將(1)中的期望利潤函數(shù)改寫為：

(11)

證明可參見Gallego和Moon[33]。

可以看出，(11)式給出了原問題的下界，即乘法需求模式下最壞情況下的期望收益函數(shù)：

可得加法需求下，最壞情況時的期望收益函數(shù)：

由此，原問題轉化為求解最壞情況下的最優(yōu)期望利潤，使得其滿足約束條件(2)-(8)，其中乘法需求下，；加法需求下。

2 求解方法

對于上述混合整數(shù)線性規(guī)劃問題，可通過將各產品各折扣區(qū)間進行組合，并采用分支定界法進行求解；然而基于原問題的復雜性，通過枚舉所有組合情形會降低求解效率。下面提出基于拉格朗日松弛的啟發(fā)式算法對該問題進行求解。

2.1 拉格朗日松弛

由于資源約束的存在，原問題相當于求解一個含有約束的非線性優(yōu)化問題，因此可通過引入拉格朗日乘子，對約束條件(2)進行松弛，可得如下拉格朗日對偶問題：

LD:

滿足約束條件(3)-(8)。

RP:

滿足約束條件(3)-(8)。

，

上述松弛問題可分解為如下個子問題SPi，每個子問題對應一種產品。

SPi:(15)

s.t.(16)

(18)

(19)

(21)

SPij:(22)

s.t.(23)

其中乘法需求模式下

，

加法需求模式下

，

相應的，加法需求模式下有：

，，

等價地，

。

同理可證得加法需求模式下仍有上述結論成立?！?/p>

，

，

。

，

由Raza[25]，滿足一階條件的價格存在且唯一，因此對于部分信息的多產品數(shù)量折扣報童問題，max-min準則下最優(yōu)定價應滿足：

算法A（求解子問題SPij）

其中，乘法需求模式下

加法需求模式下

。

Step 2.確定max-min準則下的最優(yōu)訂貨量。

其中乘法需求模式下

加法需求模式下

,

證明：

(1) 顯然。

算法B（求解子問題SPi）

Step 2.利用算法A計算無約束下子問題SPij的最優(yōu)魯棒價格和訂貨量。

其中乘法需求模式下，

。

加法需求模式下，

。

其中乘法需求模式下

，

加法需求模式下

命題2算法B得到的解是子問題SPi的最優(yōu)解。

(25)

算法從最低的成本價格開始計算，當獲得第一個滿足最優(yōu)性條件的訂貨量時停止迭代，下面我們說明這一算法的可行性。不失一般性，假設產品在第個折扣成本區(qū)間訂貨量滿足最優(yōu)性條件，根據(jù)(25)式，無須對的子問題SPij進行求解。

2.2 求解拉格朗日對偶問題

算法C（二分法迭代尋找最優(yōu)拉格朗日乘子）

2.3 構造可行算法

即，

(27)

算法D（調整非可行解，改進可行解）

3 數(shù)值算例

下面通過設計數(shù)值算例說明上述方法的有效性。為更好的說明數(shù)值結果，采用Shi和Zhang[21]的數(shù)據(jù)參數(shù)并與其結果進行對比。假定某零售商需采購5種產品，資源約束條件采用成本約束，其中總成本預算上限()為125,000，產品隨機需求為加法需求模式，5種產品的隨機擾動因子相互獨立，且服從均值為0的正態(tài)分布。每種產品有三個成本折扣區(qū)間，各產品的參數(shù)由表2給出。

為說明在部分需求信息下本文所采用max-min準則的有效性，表3對比了實際分布為正態(tài)分布時已知全部信息的情形下的最優(yōu)解（參見Shi和Zhang[21]）、決策者僅知隨機需求擾動項均值和方差的情形下利用Scarf[22]提出的max-min準則求得的最優(yōu)解以及實際分布為正態(tài)分布而決策者利用均勻分布求解獲得的最優(yōu)解。從結果中可以看出，max-min方法獲得的結果要優(yōu)于采用均勻分布獲得的結果，且與需求分布已知情形下獲得的最優(yōu)期望差距較小，因此可以從一定程度上說明max-min準則在已知部分需求信息情形下具有較好的魯棒性。表3還給出了已知部分需求信息時供應商不提供數(shù)量折扣（即所有產品的采購成本固定）的最優(yōu)解和最優(yōu)值，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，當供應商提供數(shù)量折扣時，決策者的訂貨量會增加，而最優(yōu)定價則會降低。這說明，供應商提供數(shù)量折扣會促進零售商訂購更多的產品，而成本的降低也會使零售商選擇降低售價來增加產品需求，因此供應商和零售商都可以從數(shù)量折扣中獲得收益。

表2 算例參數(shù)

表3 部分需求信息下求解方法有效性對比

下面分析參數(shù)變化對最優(yōu)解的影響。圖1分別給出了成本約束的變化在需求分布已知[21]、部分需求信息以及無數(shù)量折扣情形下對決策者最優(yōu)期望利潤的影響，從圖中可以看出來，隨著成本預算上限的增加，最優(yōu)期望利潤增加，最終趨于平穩(wěn)。這是由于當成本預算增加時，帶來訂購量增加從而導致利潤增加的邊際效應減小，當達到某一臨界值后若繼續(xù)增加訂購量帶來的庫存過剩成本高于增加訂購量帶來的利潤。同時結果也表明，隨著成本約束的增加，利用max-min方法所得的期望利潤與需求分布已知情況下獲得的期望利潤差距逐漸縮小，這也可以說明隨著約束成本的增加，max-min準則的魯棒性也越來越好。此外，與不存在產品數(shù)量折扣的情形比較，供應商提供產品數(shù)量折扣可帶來零售商期望利潤的增加。

圖1 成本約束變化對最優(yōu)期望利潤的影響

再來看產品需求波動性對最優(yōu)解的影響。當需求分布信息已知時，Shi和Zhang[21]指出，當產品1需求方差增大時，產品1的最優(yōu)訂貨量增大，產品2、3的最優(yōu)訂貨量減少；隨著產品需求波動性增大，當產品1訂貨量增大至下一個折扣區(qū)間時，訂貨成本的降低會帶來產品1定價減少。圖2和圖3分別給出了僅知部分需求信息時，產品1方差變化對所有產品最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)定價的影響。從圖2可以看出，隨著產品1需求波動性的增大，該產品的最優(yōu)訂貨量逐漸增加，以此減弱需求不確定性對最優(yōu)期望利潤的影響。同時由于約束條件的存在，其他產品的最優(yōu)訂貨量會相應有減少，但減少幅度小于產品1訂貨量的增加；對比圖2和圖3，可發(fā)現(xiàn)與需求分布信息已知的情形類似，當在800到1400之間時，產品1的定價波動較大，且出現(xiàn)了最優(yōu)定價的減少，這是由于在這一方差波動范圍內，產品1的訂貨量出現(xiàn)了折扣區(qū)間的變化，從而導致產品1訂購成本的變化。這說明僅知部分需求信息時，產品需求波動性的變化帶來各產品最優(yōu)定價和最優(yōu)訂貨量的變化趨勢與已知全部需求信息的最優(yōu)定價和最優(yōu)訂貨量的變化趨勢是一致的。

圖2 產品1需求標準差變化對訂貨量的影響

圖3 產品1需求標準差變化對定價的影響

4 結論及展望

本文研究了在需求分布未知情況下，存在資源約束和數(shù)量折扣的多產品報童模型的庫存與定價聯(lián)合問題，分別考慮了加法需求模式和乘法需求模式兩種情況，建立了混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，根據(jù)折扣區(qū)間限制將問題分解為若干個子問題，針對每一個子問題，利用拉格朗日松弛對約束條件進行處理，證明了目標函數(shù)為關于庫存因子的凹函數(shù)，關于定價的擬凹函數(shù)，并得出最優(yōu)定價和訂貨量的表達式，在此基礎上設計算法對問題進行求解。此外，考慮了需求具體分布未知而僅知隨機需求擾動項的均值和方差的情形，利用Scarf[22]提出的最大化最壞情況下利潤的max-min準則，求解最壞分布下的最優(yōu)期望利潤。數(shù)值算例表明，在需求分布未知的情況下采用max-min準則與利用非實際分布估計得到的最優(yōu)解相比，具有更好的魯棒性。供應商提供數(shù)量折扣也會帶來零售商訂貨量的增加，而采購成本的降低也會促使零售商選擇較低的售價來增加消費者需求，因此供應商和零售商均可從產品數(shù)量折扣中獲益。此外，提高成本約束會帶來期望利潤的增加，但邊際效應逐漸減弱；產品波動性的增大會導致訂貨量的增加，當訂貨量數(shù)量增加至下一個折扣區(qū)間時，在一定范圍內會帶來最優(yōu)定價的減少。

本文的研究僅限于單約束的情況，后續(xù)研究可將模型拓展到多個約束條件的情形，并考慮其他更一般的分布，對max-min準則的魯棒性加以進一步的說明。此外，還可通過設計大規(guī)模算例對算法的效率進行評價。

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The Distribution-Free Multi-Products Ordering and Pricing Problem with Quantity Discounts and Resource Constraint

ZHANG Wen-si, LI Jin-lin, WANG Jian-cai, RAN Lun

(School of Management and Economics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

As a building block of stochastic inventory theory, the newsvendor model has been extensively studied in recent years. The common variants of the classical newsvendor model include multi-products newsvendor problem with recourse constraint, joint ordering and pricing issue, problem with supplier providing quantity discounts, etc. Most of these studies assume that a decision maker understands distribution information of customer demand while making decision. However, this assumption may not be always true. It is more likely to access to limited information of stochastic demand distribution based on historical data. Therefore, newsvendor issue with partial demand information is worth dealing with.

This paper investigates a distribution-free, multi-products ordering and pricing newsvendor problem with suppliers providing all unit quantity discounts. This paper assumes that the expected demand is a decreasing function of the selling price and the only information of stochastic demand shock that the newsvendor can obtain are its mean and variance. The objective of this problem is to find the optimal ordering quantity and selling price for each product in order to maximize the total expected profit and meet with resource constraint. Since the stochastic demand depends on the selling price, two types of demand functions, additive and multiplicative, are taken into consideration, in order to facilitate our analysis.

Firstly, a mixed integer non-linear programming (MINLP) model is developed to formulate the original problem. Since only mean and variance of demand shock are accessible, we can derive the worst case given order quantity for each product, i.e., the lower bound of the expected profit. Then, we employ the max-min criterion to obtain the optimal order quantity by maximizing the lower bound, which are subject to resource constraint.

The existence of resource constraint motivates us to consider the dual problem of the original that involves Lagrange multipliers for the constraint. For a given value of Lagrange multiplier, the Lagrange relaxation method can provide an upper bound for the original problem. In order to obtain the optimal solution, the problem is decomposed into sub-problems according to discount segments of different products. The solution shows that the objective function is concave with respect to the stocking factor and quasi-concave with respect to selling price, and the expression of optimal solution is easily deduced. Bisection iteration algorithm is used to find the optimal Lagrange multiplier. In view of the possible non-optimality of the obtained solutions, a feasibility algorithm is designed to adjust the solutions until the constraint is tight.

Finally, numerical results demonstrate that the robustness and effectiveness of the max-min criterion. What’s more, the results also indicate the quantity discounts provided by supplier can lead to higher ordering quantity of retailer. The retailer will choose a lower selling price after the purchase cost decreases. This study is concluded with a sensitivity analysis of constraint and demand variance as well as their economic implication and managerial insight.

distribution-free; multi-products; ordering; pricing; quantity discount

中文編輯：杜 健；英文編輯：Charlie C. Chen

C931.1, O227

A

1004-6062(2016)04-0210-11

10.13587/j.cnki.jieem.2016.04.027

2015-12-16

2016-01-24

國家自然科學基金重點資助項目（71432002）；國家自然科學基金資助項目（71172172，71272058）；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目（20121101110054）

張文思（1990—），女，山東德州人；北京理工大學管理與經濟學院博士研究生，研究方向：服務運營管理，庫存管理。