郝 麗， 袁建生

(清華大學 電機系 電力系統(tǒng)國家重點實驗室， 北京 100084)

部分電容實驗中互有電位系數(shù)的測量方法

郝 麗， 袁建生

(清華大學 電機系 電力系統(tǒng)國家重點實驗室， 北京 100084)

對于如何測量多導體系統(tǒng)的互有電位系數(shù)，現(xiàn)有實驗指導書上未見介紹，已有方法需要先測出自有電位系數(shù)。本文給出了互有電位系數(shù)的定義式測量方法，該方法利用了存儲示波器的暫態(tài)波形記錄功能，不需先測出自有電位系數(shù)。文中對該方法進行了理論分析和實驗驗證，結(jié)果表明該方法準確、可靠，可運用于本科生電磁場課程的部分電容實驗中。

電磁場；部分電容實驗；互有電位系數(shù)

0 引言

部分電容實驗是本科生“電磁場”課程靜電場部分的主要實驗之一，該實驗的目的是測定多導體系統(tǒng)的電位系數(shù)α、靜電感應系數(shù)β和部分電容C，再由測定的實驗數(shù)據(jù)驗證α、β和C之間的關系[1-5]。

目前實驗指導書對β、C以及自有電位系數(shù)的測量方法和電路連線進行了敘述，但是缺少對互有電位系數(shù)測量方法的介紹[1-3]。文獻[4]給出了一種測量互有電位系數(shù)的方法，該方法需要先測出自有電位系數(shù)，然后再進行互有電位系數(shù)的測量，使得互有電位系數(shù)的測量精度依賴于自有電位系數(shù)的測量結(jié)果。

本文先對互有電位系數(shù)的現(xiàn)行測量方法進行介紹，然后再給出其定義式測量方法，并給出該方法的理論分析和實驗結(jié)果驗證。

1 部分電容概念與現(xiàn)行測量方法

如圖1所示的三導體系統(tǒng)，設導體編號分別為0、1和2，其中0號為參考導體，則導體1和2上的電荷與電位的關系可以用方程組式(1)和(2)來表示，其分別是電位系數(shù)方程式和部分電容方程式。

圖1 三導體靜電獨立系統(tǒng)示意

(1)

(2)

其中αjk(j=1,2,k=1,2)稱為電位系數(shù)，當j和k相等時稱為自有電位系數(shù)，當j和k不相等時稱為互有電位系數(shù)。φj是導體j的電位，qj表示導體j上的電荷，Cjk是各導體間的部分電容[1]。

目前在電位系數(shù)計量時，基本思路是利用穩(wěn)壓電源給導體兩端加電壓，即電壓已知，然后再利用沖擊檢流計測出此充電狀態(tài)下導體上的電荷，最終通過計算得到各電位系數(shù)。傳統(tǒng)上，采用這種“加壓求流”的測量方案是與當時儀器的發(fā)展水平密切相關的，由于當時的示波器測量電容放電時的暫態(tài)電壓是很困難的，但是可以利用沖擊檢流計測出電容上存儲的電荷。

對于互有電位系數(shù)來說，采用上述傳統(tǒng)的測量思路不能實現(xiàn)利用其定義式測量。以互有電位系數(shù)α12為例，其定義式為當q1=0時，

α12=φ1/q2

(4)

實驗時，給導體2充電，導體1懸空，然后，需要測出此時導體1上的電位。此電位是一個暫態(tài)值，由于利用以前的示波器實現(xiàn)測量很困難，所以之前的實驗指導書都沒有介紹互有電位系數(shù)的測量。

而文獻[4]給出的現(xiàn)行測量方案也是延續(xù)傳統(tǒng)的測量思路，由方程組式(1)的第一個方程可推導出方程式(5)。

α12=(φ1-α11q1)/q2

(5)

以自有電位系數(shù)α11為已知條件設計α12的測量電路，從而回避了測量暫態(tài)電壓這一問題。這樣，在教學中容易給學生造成互有電位系數(shù)很難測甚至是不能利用其定義式進行測量的誤解。下面將給出互有電位系數(shù)的定義式測量方法。

2 互有電位系數(shù)定義式測量方法

下面仍以系數(shù)α12為例來說明互有電位系數(shù)的測量。從方程組式(1)的第一個方程中可以得到當q1=0的條件下其定義式(4)。

q1=0的條件采用如下方法實現(xiàn)，先將導體1、2和0接觸，進行電荷的中和，然后再將導體1斷開，則可保證導體1上的電荷為0。所以，充電電路設計為將導體2連至電源正極，導體0連至電源負極，導體1懸空，如圖2所示。此時，導體2上感應出正電荷q2，導體0上有等量負電荷，導體1上電荷量為0，但導體1上存在電位φ1。只要將此電路狀態(tài)下的q1和φ1測出來，利用式(5)即可計算得到α12。

2.1 電位φ1的測量

圖2 α12的測量電路

如圖2所示，先將開關K1合向上方，導體2被充電，導體1上瞬間有電位φ1，也就是說導體1和參考導體0之間存在電壓(φ1-0)。

然后，將開關K1換至中間位置斷掉電源，需要注意用一般的電壓表是無法測量到φ1的，因為一旦連接上電壓表，導體1與導體0之間會發(fā)生電荷重新分配，φ1頃刻間會變化，直至降為零，就是說，電壓表上的電壓會是一個暫態(tài)值，無法讀取到。但利用記憶示波器卻可以獲得φ1的變化曲線，由此可以得到φ1的數(shù)值。

如圖2所示，將K2合上，在導體0和導體1之間接入示波器，導體0和1通過示波器構(gòu)成回路進行電荷重新分配，使得導體1與導體0等電位，即導體1上的電位衰減為0。

此時電路可等效為一階電路的零輸入響應，等效電路如圖3所示。

其中R為示波器的內(nèi)阻，φ1為電容兩端的初始電壓，Uc為放電過程中電容上的電壓。由電路原理知識，可推導出當開關K合上時，Uc的表達式如式(6)所示[6]。從式(6)可以看出，電容兩端的電壓波

圖3 等效電路圖

形是按指數(shù)規(guī)律衰減的，波形的峰值就是電容兩端的初始電壓φ1。所以，只要觀測并記錄下示波器上波形的峰值，即可得到導體1上的電位φ1。此波形為一瞬態(tài)波形，需要利用示波器的觸發(fā)功能采集并將其穩(wěn)定下來。

(6)

2.2 電荷q2的測量

測完導體1上的電位以后，再利用檢流計測得導體2的電荷q2。圖2中G代表檢流計。首先，將開關K2打開，再將開關K1合向下方，這時導體2接檢流計正極，導體0和1接檢流計負極，此時檢流計測出的就是導體2上所帶的電荷。

3 實驗驗證

構(gòu)建已知參數(shù)的電容網(wǎng)絡，組成三導體系統(tǒng)。其參數(shù)為導體0和1之間的電容為9.51*10-9F，導體0和2之間的電容為9.55*10-9F，導體1和2之間電容為9.5*10-9F。

由上述已知參數(shù)可作如推導：C由β和C之間的關系可推導得β矩陣，再對β矩陣求逆，即可得α矩陣，計算得到α12的真實值為3.49*107V/C。

下面利用本文中提到的方法測出互有電位系數(shù)α12。首先，對一個已知電容(9.46*10-9F)充放電測出檢流計常數(shù) ，測量數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 檢流計常數(shù)

然后，按照圖2所示的測量電路進行測量。導體2上的電荷的測量數(shù)據(jù)如表2所示，示波器采集到的導體1上的電壓波形如圖4所示，兩次測量采集到的電壓波形的峰值分別為0.272 V和0.288 V。由式(4)可計算得到α12的測量值為3.598*107V/

C，與真實值3.49*107V/C相比，測量誤差為3.09%。因此本文給出的測量方法是可行的。

表2 導體2上的電荷

圖4 導體1上的電壓波形

4 結(jié)語

靜電系統(tǒng)中電容上的電壓利用一般電壓表無法測量，但可以利用示波器通過抓取電壓波形而得到電壓值。

基于示波器測量電壓值的方法，可以實現(xiàn)互有電位系數(shù)的定義式測量。該實驗比較容易實施，且由于是按定義式實現(xiàn)的測量，所以實驗過程有利于學生更好地理解互有電位系數(shù)的物理意義。

該實驗可以使學生進一步熟悉示波器的暫態(tài)波形采集方法，也可幫助學生加深對一階電路理論知識的理解，是場路貫通的一個應用實例。

[1] 馬信山,張濟世,王平.電磁場基礎[M]. 北京：清華大學出版社，1995.

[2] 馮慈璋.電磁場實驗與演示[M]. 北京：高等教育出版社，1987.

[3] 張克潛，宮蓮.電磁場學習指導[M]. 北京：中央廣播電視大學出版社，1988.

[4] 許道展,楊佳珠.《部分電容》實驗的改進. 北京：北京工業(yè)大學學報.1989.

[5] 郝麗,董甲瑞.“電磁場”課程中部分電容的實驗方法討論[J].南京：電氣電子教學學報.2011，33(4):58-60

[6] 邱關源.電路[M]. 北京：高等教育出版社，1989.

The Measurement of Mutual Potential Coefficient in Partial Capacities Experiment

HAO Li, YUAN Jian-sheng

(TheStateKeyLaboratoryofElectricPowerSystem，DepartmentofElectricalEngineering，TsinghuaUniversity，Beijing100084，China)

At present, the experimental guide books have no introductions for measuring mutual potential coefficient in partial capacitance experiment. With the existing measurement method the self potential coefficient should be measured firstly. This paper gives a measurement method based on the definition of mutual potential coefficients, the waveform recording function of oscilloscope is used to obtain the transient voltage, the self potential coefficient does not need to be measured firstly.. In this paper, the theoretical analysis and experimental results of the method are given. The experimental results show that, the method is accurate and reliable, and it can be used in the partial capacities experiment for undergraduate students.

electromagnetic field; partial capacities experiment; mutual potential coefficient

2015-07-17;

2015-09- 24

郝 麗(1981-)，女，碩士，工程師，主要從事電工電子實驗教學及其課程建設工作，E-mail：haol02@mails.tsinghua.edu.cn

TP206+.1

A

1008-0686(2016)03-0107-03