劉明騫， 李兵兵， 郭萬里

(西安電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院， 陜西 西安 710071)

“隨機信號分析”課程中功率譜及估計的研討

劉明騫， 李兵兵， 郭萬里

(西安電子科技大學(xué) 通信工程學(xué)院， 陜西 西安 710071)

本文首先分析“隨機信號分析”課程中功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)，然后分別介紹了功率譜的估計方法，并以實驗為例說明功率譜的估計方法，最后以無線通信系統(tǒng)中OFDM信號的帶寬估計為例，說明功率譜估計方法在實際工程中的應(yīng)用。本文對于功率譜及其估計的教學(xué)有一定的指導(dǎo)作用，并且有助于學(xué)生更好地理解理論和工程應(yīng)用。

隨機信號分析；功率譜；維納辛欽定理；功率譜估計

0 引言

功率譜及其估計是“隨機信號分析”課程教學(xué)中的重要部分，對于工程應(yīng)用中譜估計有著重要的指導(dǎo)意義[1-3]。

關(guān)于功率譜的教學(xué)，重點在于理解功率譜密度的定義和性質(zhì)、掌握功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系、功率譜估計的方法及其運用。在理論教學(xué)和實驗教學(xué)中，學(xué)生普遍反映功率譜估計的方法難以掌握和應(yīng)用。

筆者認(rèn)為，在功率譜的教學(xué)中不能脫離實際的工程應(yīng)用背景，在“隨機信號分析”課程教學(xué)中，展開功率譜及功率譜估計的研討是有必要的。

1 功率譜

1.1 功率譜密度

由實平穩(wěn)過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)構(gòu)造一個截尾函數(shù)xT(t)，其表達式為

(1)

對樣本函數(shù)x(t)在時間區(qū)間(-T,T)內(nèi)求其時間平均功率為

(2)

其中，F(xiàn)x(ω,T)為xT(t)的傅里葉變換。令T→∞，則x(t)在(-∞,∞)上的平均功率為

(3)

其中，等號右邊表達式被稱作函數(shù)x(t)的平均功率譜密度，簡稱功率譜密度[1]。將上述關(guān)于確定函數(shù)x(t)的功率譜密度的概念推廣到隨機過程X(t)，可得隨機過程X(t)的功率譜密度為

(4)

上述的功率譜密度SX(ω)又稱為“雙邊譜密度”，對ω的正負(fù)值都是有定義的。在工程上為了便于實際測量，常根據(jù)平穩(wěn)過程的SX(ω)的偶函數(shù)性質(zhì)把負(fù)頻率范圍內(nèi)的譜密度折算到正頻率范圍內(nèi)，從而定義“單邊譜密度”GX(ω) ，表示為

(5)

單邊譜密度有時也稱為物理譜，GX(ω)和SX(ω)之間的關(guān)系如圖1所示。一般在討論到功率譜密度時，若不加說明，則指雙邊譜密度。

圖1 單邊譜和雙邊譜之間的關(guān)系

1.2 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

對于平穩(wěn)過程X(t)，其自相關(guān)函數(shù)RX(τ)和功率譜密度SX(ω)是一對傅里葉變換：

(6)

在此假設(shè)RX(τ)滿足絕對可積的條件，這就是維納—辛欽定理[4]。

利用自相關(guān)函數(shù)RX(τ)和功率譜密度SX(ω)均為偶函數(shù)的性質(zhì)，可將式(6)寫成另外一種形式：

(7)

在實際問題中，一些平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度的傅里葉變換或逆變換通常是不存在的，若利用δ函數(shù)的傅里葉變換的性質(zhì)，就可解決此問題。

2 功率譜的估計

功率譜密度函數(shù)表示隨機信號各頻率成分的功率分布情況，在隨機信號處理中應(yīng)用廣泛。功率譜的估計方法一般分為兩大類：一類是線性估計法，又稱經(jīng)典法，線性估計法是有偏的譜估計方法，功率譜的分辨率隨數(shù)據(jù)的長度增加而提高，主要包括自相關(guān)法、自協(xié)方差法和周期圖法等經(jīng)典譜估計以及AR模型的現(xiàn)代譜估計[4]。另外一類是非線性估計法，非線性估計方法大多是無偏的譜估計方法，可以獲得高的譜分辨率，主要包括最大似然法、最大熵法等[5]。

2.1 功率譜的線性估計法

功率譜的線性估計法可以分為經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計。下面我們以周期圖法為例來介紹經(jīng)典譜估計方法。

周期圖法通過計算x0,x1,…,xN-1的離散傅里葉變換X(ejω)，再取其幅頻特性平方乘以1/N作為功率譜估計，其表達式為

(8)

(9)

由于經(jīng)典譜估計不是功率譜的一致估計，而且當(dāng)N值愈大時起伏更加激烈， 因此需要對此進行改進。在實際應(yīng)用中，功率譜估計改進的途徑大致有兩種：一種是對同一過程作多次周期圖估計，再加以平均；另外一種是用加窗的辦法對單一功率譜估計加以平滑。

2.2 功率譜的非線性估計法

功率譜的非線性估計法主要包括最大似然法、最大熵法等。下面我們以最大似然法為例來簡單介紹非線性估計方法。

讓信號通過一個濾波器，通過選擇濾波器的參數(shù)使所關(guān)心的頻率的正弦波信號能夠無失真地通過，同時，使所有其他頻率的正弦波通過這個濾波器后輸出的均方值最小。在這個條件下，信號經(jīng)過這個濾波器后輸出的均方值就作為其最大似然法的功率譜估值。

3 功率譜估計的實驗設(shè)計

在此，給出一個功率譜估計的實驗，通過該實驗使學(xué)生能掌握幾種功率譜分析方法并能進行對比，以便學(xué)生能夠?qū)W以致用。

實驗的參數(shù)設(shè)置為：輸入信號為方波信號x(t)，方波信號基頻為1 kHz，幅值為1 V，n(t)為白噪聲，其中輸入信號的時域波形圖如圖2所示。自選Matlab或C/C++仿真軟件之一編程和仿真。

通過周期圖法和最大似然法編寫仿真程序并正確地運行程序，用波形圖來表示出仿真的結(jié)果，對這兩種功率譜估計的方法進行比較分析，總結(jié)它們各自的特點。

圖2 輸入信號的時域波形圖

4 功率譜估計的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)習(xí)功率譜的定義和性質(zhì)，以及功率譜估計理論的過程中，往往希望教師能夠說明其在工程或科研實踐中的應(yīng)用，從而實現(xiàn)理論與實際的結(jié)合。本部分以無線通信系統(tǒng)中OFDM信號的帶寬估計為例，說明功率譜估計方法的工程應(yīng)用。

OFDM信號的帶寬估計主要涉及三個步驟：步驟一是估計OFDM信號的功率譜；步驟二是消噪處理；步驟三是OFDM信號帶寬的計算，其中步驟二和步驟三可以參考文獻[4]和[5]，步驟一的OFDM信號的功率譜估計可以采用上述的線性估計方法，本文分別以修正的平均周期圖法和AR模型的現(xiàn)代譜估計方法為例進行分析說明。

4.1 修正的平均周期圖法(Welch 法)

將長度為N的數(shù)據(jù)x(n),n=0,1,…,N-1分成L段，每段有M個數(shù)據(jù)，第i段數(shù)據(jù)表示為

xi(n)=x(n+iM-M), 0≤n≤M，1≤i≤L

(10)

然后把窗函數(shù)w(n)加到每一個數(shù)據(jù)段上，求出每一段的周期圖，第i段的周期圖為

體育課不同于文化課，它大多是室外課，或多或少會有一些突發(fā)事件發(fā)生，對于這些突發(fā)事件的處理，老師要靈活機智，以敏稅的眼光和機智的語言引導(dǎo)學(xué)生，巧妙地應(yīng)對和化解課程教學(xué)中的各種“意外”，讓學(xué)生以大無畏的精神迎難而上，提高學(xué)生積極參與體育運動的熱情。

(11)

式中，U被稱為歸一化因子，

(12)

將每一段的周期圖之間近似看成互不相關(guān)，最后功率譜估計為

(13)

對式(13)求統(tǒng)計平均，得到

(14)

式中，

(15)

通過該方法可估計出OFDM信號的功率譜，如圖3所示[7]。

圖3 基于Welch法的OFDM功率譜估計

4.2 AR模型的現(xiàn)代譜估計方法

(16)

其中x(n),n=1,2…,N是長度為N的數(shù)據(jù)，w(n)是均值為0，方差為σ2的白噪聲序列，m為AR模型的階數(shù)，ak(k=1,2,…,m)為AR模型的參數(shù)。由式(16)可得AR模型的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

(17)

則得到AR模型功率譜估計表達式為

(18)

其中，ω為角頻率.

在此，利用AIC準(zhǔn)則作為AR模型的定階準(zhǔn)則估計階數(shù)m[6]；采用伯格法估計AR模型的參數(shù)ak和白噪聲序列的方差σ2[4]；則按AR模型進行OFDM信號的功率譜估計，其仿真結(jié)果如圖4所示[7]。

圖4 基于AR模型的OFDM功率譜估計

5 結(jié)語

本文分析了功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系以及功率譜的線性估計法和非線性估計法。由分析可見，功率譜及其估計涉及到維納辛欽定理和信號檢

測估計理論。功率譜及其估計內(nèi)容教學(xué)中，不但需要理論教學(xué)，而且需要加強實驗舉例和實際的工程應(yīng)用，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用，從而能夠更好地對理論內(nèi)容進行理解和應(yīng)用。

[1] 李兵兵，馬文平，田紅心等編. 隨機信號分析教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2012年7月

[2] 蔡劍華，王先春. 基于LMD-Teager變換的功率譜估計[J]. 上海: 中國激光, 2015, 42(3): 0315001-1-0315001-7

[3] 李靜威，全厚德. 脈沖噪聲條件下的相關(guān)熵譜估計 [J]. 北京: 信號處理, 2014, 30(8): 944-948

[4] 高西全，丁玉美. 數(shù)字信號處理(第3版)[M]. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社, 2008年8月

[5] 趙樹杰,趙建勛. 信號檢測與估計理論[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2005年11月

[6] T.J. Ulrych and M. Ooe. Autoregressive and Mixed Autoregressive-Moving Average Models and Spectral[C] Nonlinear Methods of Spectral Analysis, New York, 1983:73-125.

[7] 劉明騫，李兵兵，王婧舒. 多徑信道下的OFDM信號帶寬盲估計 [J]. 武漢: 華中科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 39(10): 79-82

Discussion on Power Spectrum and Estimation of Random Signal Analysis Course

LIU Ming-qian, LI Bing-bing, GUO Wan-li

(SchoolofTelecommunicationsEngineering,XidianUniversity,Xi'an710071,China)

This paper firstly analyzes the power spectrum density and the autocorrelation function in Random Signal Analysis course. And then, the estimation methods of the power spectrum are introduced and illustrated by experiments respectively. Finally, the bandwidth of OFDM signal in wireless communication system is estimated as an example to illustrate the application of the power spectrum estimation method in practical engineering. This paper has some guidance to the teaching of power spectrum and its estimation, and it is helpful for the students to better understand the theory and engineering application.

random signal analysis; power spectrum; Wiener-Khintchine theorem; power spectrum estimation

2015-07-06;

2015-09- 27

西安電子科技大學(xué)教學(xué)質(zhì)量提升計劃項目(5050011401)

劉明騫(1982-)，男，博士后，講師，主要從事隨機信號分析教學(xué)、通信信號處理和認(rèn)知無線電的研究，E-mail：mqliu@mail.xidian.edu.cn

G423

A

1008-0686(2016)03-0084-04