萬(wàn) 群， 孫奕髦， 殷吉昊， 鄒 麟

(電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 四川 成都 611731)

數(shù)字信號(hào)處理的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)思考

萬(wàn) 群， 孫奕髦， 殷吉昊， 鄒 麟

(電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院， 四川 成都 611731)

在研究生課程“數(shù)字信號(hào)處理理論及算法”中，離散傅立葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)是兩種重要的濾波和功率譜估計(jì)方法。本文將這兩個(gè)分散的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的結(jié)合一起，不僅可起到歸納課程內(nèi)重要知識(shí)點(diǎn)的作用，還可讓學(xué)生在課程學(xué)習(xí)過(guò)程中更好的理解離散傅里葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)差異，在深刻理解它們的最優(yōu)性的同時(shí)，明確它們固有的局限，從而避免實(shí)際應(yīng)用中可能遇到的風(fēng)險(xiǎn)。

離散傅里葉變換；最小方差無(wú)失真響應(yīng)；最小二乘解；線性半定規(guī)劃

0 引言

“數(shù)字信號(hào)處理理論與算法”是我校國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科信號(hào)與信息處理專業(yè)的研究生課程之一，主要研究信號(hào)統(tǒng)計(jì)模型、功率譜估計(jì)、自適應(yīng)濾波等，是一門重要的基礎(chǔ)課程[1]。該課程介紹了很多經(jīng)典的信號(hào)處理理論和算法，在理論上涉及到的數(shù)學(xué)知識(shí)較廣泛[2]。離散傅立葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)就是其中兩種重要的濾波和功率譜密度估計(jì)方法，在雷達(dá)、語(yǔ)音信號(hào)處理、無(wú)線通信、地球物理探測(cè)、圖像增強(qiáng)和圖像識(shí)別等科技和工程領(lǐng)域得到了廣泛的研究和應(yīng)用[3]。

離散傅里葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)通常是分開(kāi)介紹給學(xué)生的，學(xué)生很難理解兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)差異[4]。本文將離散傅里葉變換作為基于單位稀疏數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題的最小二乘解，將最小方差無(wú)失真響應(yīng)作為基于單位稀疏自相關(guān)模型的自相關(guān)擬合問(wèn)題的線性半定規(guī)劃解，從而讓學(xué)生理解到離散傅里葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)差異[5]。從這個(gè)角度出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考，在深刻理解離散傅里葉變換方法和最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法的最優(yōu)性的同時(shí)，明確它們固有的缺陷，從而避免實(shí)際應(yīng)用中可能遇到的風(fēng)險(xiǎn)。

本文組織結(jié)構(gòu)如下：第1節(jié)簡(jiǎn)要地分析了有關(guān)的信號(hào)模型和自相關(guān)模型；第2節(jié)對(duì)離散傅里葉變換進(jìn)行了新的思考，分析了它作為基于單位稀疏數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題的最小二乘解的最優(yōu)性和固有的缺陷。第3節(jié)對(duì)最小方差無(wú)失真響應(yīng)進(jìn)行了新的思考，分析了作為基于單位稀疏自相關(guān)模型的自相關(guān)擬合問(wèn)題的線性半定規(guī)劃解的最優(yōu)性和固有的局限。最后一節(jié)，給出一個(gè)總結(jié)性評(píng)述結(jié)束本文。

1 問(wèn)題提出

通常，觀測(cè)向量通常用線譜模型表示[2]：

(1)

其中，v是噪聲向量，ωk和sk分別是第k個(gè)分量的角頻率、復(fù)振幅，K是信號(hào)分量的個(gè)數(shù)，a(ωk)=[1,e-jωk,…,e-j(M-1)ωk]T。這里的問(wèn)題是用觀測(cè)向量x估計(jì)ωk和sk。

我們可以直接利用非線性最小二乘問(wèn)題的解估計(jì)信號(hào)模型參數(shù)[6]：

(2)

雖然這是個(gè)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)化模型，但是獲得這個(gè)多維非線性優(yōu)化問(wèn)題的解并不容易，因?yàn)樗谝话闱闆r下沒(méi)有閉式的解析解。

觀測(cè)向量的自相關(guān)矩陣：

Rx=E(xxH)

(3)

其中，[ ]H表示共軛變換。如果信號(hào)和噪聲不相關(guān)，我們可以得到

(4)

同樣的，我們可以用一個(gè)非線性最小二乘問(wèn)題的解估計(jì)自相關(guān)矩陣模型的參數(shù)[7]：

(5)

在下一節(jié)中，我們將討論由簡(jiǎn)化的單位稀疏模型的數(shù)據(jù)和自相關(guān)的擬合分別得到的離散傅立葉變換方法和最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法。籍此我們不僅能讓學(xué)生理解離散傅立葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)差異，還能啟發(fā)學(xué)生思考，在深刻理解離散傅里葉變換方法和最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法的最優(yōu)性的同時(shí)，明確它們固有的局限，從而避免實(shí)際應(yīng)用中可能遇到的風(fēng)險(xiǎn)。

2 單位稀疏信號(hào)模型擬合

2.1 離散傅立葉變換

數(shù)據(jù)的離散傅立葉變換(DFT)表示為

離散傅里葉變換通常用于估計(jì)模型參數(shù)、功率譜密度以及空間譜密度等。要在本質(zhì)上把握該方法，不僅需要清楚該方法在什么情況下是最優(yōu)的，還要清楚該方法的固有局限。

2.2 單位稀疏信號(hào)擬合

實(shí)際上，DFT是以下優(yōu)化問(wèn)題的解：

(6)

換句話說(shuō)，DFT通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)據(jù)擬合模型估計(jì)模型參數(shù)，不管觀測(cè)向量x實(shí)際上包含多少分量，都只利用角頻率為ω的一個(gè)分量來(lái)擬合觀測(cè)向量x。解由下式給出：

因此，離散傅立葉變換的結(jié)果就是基于單位稀疏模型的信號(hào)擬合的最小二乘解。

由于s(ω)是復(fù)數(shù)，而功率譜密度是非負(fù)數(shù)，因此，經(jīng)典的周期圖法得到的功率譜密度估計(jì)對(duì)應(yīng)的是|s(ω)|2，周期圖方法的頻率估計(jì)是|s(ω)|2的峰值位置。

2.3 性能分析

模型參數(shù)可以用數(shù)據(jù)DFT絕對(duì)值峰值位置來(lái)估計(jì)。雖然很容易實(shí)現(xiàn)，但是這種方法對(duì)多分量的線性譜不是最優(yōu)的。例如，當(dāng)K>1時(shí)，我們不能僅用一個(gè)角頻率為ω的分量精確擬合觀測(cè)向量x。在只有一個(gè)分量的情況下，離散傅立葉變換方法與問(wèn)題(2)的非線性最小二乘法的解是一致的。

然而，當(dāng)K>1時(shí)，將式(1)代入到式(6)可得

(7)

當(dāng)ω=ω1時(shí)，有

(8)

可見(jiàn)，s(ω1)=sk不一定是上述最小二乘問(wèn)題的解，因?yàn)榇嬖谄渌哂胁煌穷l率的分量引起的干擾。此外，值得一提的是，離散傅立葉變換的結(jié)果并不是自適應(yīng)的，因?yàn)樽顑?yōu)線性濾波的權(quán)向量是a(ω)，并不依賴數(shù)據(jù)x[7]。

3 單位稀疏自相關(guān)模型擬合

3.1 最小方差無(wú)失真響應(yīng)

最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法利用以下最優(yōu)化問(wèn)題的解來(lái)估計(jì)角頻率[4]：

(9)

解由下式給出

(10)

對(duì)比離散傅里葉變換的結(jié)果，最小方差無(wú)失真響應(yīng)方法具有抑制不同分量相互干擾的能力。

3.2 單位稀疏自相關(guān)擬合

為了揭示離散傅立葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，我們可以將最小方差無(wú)失真響應(yīng)問(wèn)題重新表述為線性半定規(guī)劃問(wèn)題[6]：

(11)

因?yàn)樯鲜黾s束手段：

(12)

對(duì)任意向量w成立，我們有：

(13)

而上述不等式約束與向量w的范數(shù)無(wú)關(guān)，不失一般性，不妨假設(shè)：

aH(ω)w=1

(14)

因此有

(15)

為了得到式(11)在約束條件式(15)下的最小值，有

(16)

結(jié)果和式(10)是一樣的。

3.3 性能分析

自相關(guān)模型參數(shù)可以用最小方差無(wú)失真響應(yīng)輸出的峰值位置來(lái)估計(jì)，可以將式(10)代入到式(16)得到：

(17)

然而，當(dāng)K>1時(shí)，將式(4)代入到式(11)可得

(18)

當(dāng)ω=ω1時(shí)，我們有

(19)

4 結(jié)語(yǔ)

在我校研究生課程“數(shù)字信號(hào)處理理論與算法”對(duì)離散傅里葉變換和最小方差無(wú)失真響應(yīng)的教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)生會(huì)疏忽兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)差異。本文分析了離散傅里葉變換與基于單位稀疏數(shù)據(jù)模型的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題的最小二乘解之間、最小方差無(wú)失真響應(yīng)與基于單位稀疏自相關(guān)模型的自相關(guān)擬合問(wèn)題的線性半定規(guī)劃解之間的關(guān)系，討論了簡(jiǎn)單算法與問(wèn)題復(fù)雜性之間的矛盾及應(yīng)對(duì)策略。一方面，可以讓學(xué)生從本質(zhì)上理解離散傅立葉變換、最小方差無(wú)失真響應(yīng)之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)差異；另一方面，也為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理的相關(guān)知識(shí)提供方法和導(dǎo)向[8]。

[1] Wan Q., He Z.S. Mathematics education research in signal processing[C]. Fourth International Conference on Education and Sports Education, Hong Kong, 2013, pp.340-343

[2] 龍佳樂(lè), 張建民. “數(shù)字信號(hào)處理”課程驅(qū)動(dòng)式教學(xué)改革[J]. 南京: 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 36(4):85-86.

[3] Stoica P, Moses R L. Spectral analysis of signals [M]. Upper Saddle River, NJ: Pearson/Prentice Hall, 2005.

[4] Souden M, Benesty J, Affes S. A study of the LCMV and MVDR noise reduction filters[J]. New York, IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(9): 4925-4935.

(萬(wàn) 群等文)

[5] 王景芳, 侯玉寶. 數(shù)字信號(hào)處理教學(xué)改進(jìn)探索[J]. 長(zhǎng)沙:湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, (4).

[6] Guo X, Wan Q, Zhang Y, et al. Teaching notes of MVDR in digital signal processing (DSP)[C]// Teaching, Assessment and Learning for Engineering (TALE), 2012 IEEE International Conference on IEEE, 2012:H3A-5-H3A-8.

[7] Wan Q. Teaching Notes on Linear Optimal Algorithms in Signal Processing. International Conference on Education and Teaching, Wuhan, 2013, pp.169-173.

[8] Wan Q., Yin J. H. Teaching notes on Subspace Method in Signal Processing. International Conference on Information, Business and Education Technology, 2013, pp.980-982.

Teaching Thinking of Two Knowledge Points on Discrete Fourier Transform

WAN Qun, SUN Yi-mao, YIN Ji-hao, ZOU Lin

(UniversityofElectronicsScienceandTechnologyofChina,Chengdu611731,China)

Discrete Fourier transform (DFT) and minimum variance distortless response (MVDR) are two of most important methods in the graduate course of Theory and Algorithm of Digital Signal Processing. Combining these two knowledge points not only can contribute to summarize the important knowledge points in the course, but also help the students to have a better understanding about the intrinsic relationship and the essential difference between DFT and MVDR. Moreover, when deeply understanding their optimality, the students should be clear on their inherent limitation to avoid the possible risks in practical application.

discrete fourier transform; minimum variance distortless response; least squares solution; semi-definite linear program

2015-04-12;

2016-05-02

四川省高等教育人才培養(yǎng)質(zhì)量和教學(xué)改革項(xiàng)目、電子科技大學(xué)研究生教研教改重點(diǎn)項(xiàng)目(No. 901002003)

萬(wàn) 群(1971-)，教授、主要從事陣列信號(hào)處理、無(wú)線定位等方面的教學(xué)和科研工作, E-mail:wangqun@uestc.edu.cn

G426

A

1008-0686(2016)03-0028-04