肖 林，周文輝

(吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

移動(dòng)機(jī)械臂的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)及驗(yàn)證*

肖 林，周文輝

(吉首大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 吉首 416000)

移動(dòng)機(jī)械臂是由一個(gè)移動(dòng)平臺(tái)和一個(gè)固定在其上面的機(jī)械臂組成。為了能實(shí)現(xiàn)對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂的協(xié)調(diào)控制，移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂不得不同時(shí)完成任務(wù)。通過對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模分析，提出了一個(gè)基于最小速度范數(shù)的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案。該方案不僅可以實(shí)現(xiàn)對(duì)移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)控制，而且可以對(duì)機(jī)械臂同時(shí)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制。此外，協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案可以等效的轉(zhuǎn)換為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次規(guī)劃問題，進(jìn)而可以開發(fā)出一個(gè)有效的數(shù)值算法去求解。最后，移動(dòng)機(jī)械臂去執(zhí)行一個(gè)圓形路徑，對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果驗(yàn)證了協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案的有效性。

移動(dòng)機(jī)械臂；二次規(guī)劃；協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)；數(shù)值算法

20世紀(jì)以來, 隨著自動(dòng)化技術(shù)的成熟和發(fā)展, 機(jī)器人作為一種復(fù)雜和先進(jìn)的機(jī)電系統(tǒng)出現(xiàn)在生產(chǎn)與科研等多個(gè)方面[1-2]?？刂茩C(jī)器人的一個(gè)基礎(chǔ)問題是實(shí)時(shí)的冗余度解析問題(或稱實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃)；即，給出機(jī)器人末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)軌跡，如何實(shí)時(shí)地得到各關(guān)節(jié)的變化情況[1-6]。在過去30年里，科研工作者提出了各種計(jì)算方案來實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的冗余度解析。而且，通過適當(dāng)?shù)厍蠼馊哂喽冉馕鰡栴}，機(jī)器人在執(zhí)行給定的末端執(zhí)行器任務(wù)時(shí)，就可以躲避環(huán)境障礙物、關(guān)節(jié)的物理極限和關(guān)節(jié)奇異等[3-4]。

移動(dòng)機(jī)械臂，作為智能機(jī)器人的一種，在軍事、工業(yè)和服務(wù)等領(lǐng)域已經(jīng)得到了實(shí)際應(yīng)用[3,5]。和固定機(jī)械臂相比，移動(dòng)機(jī)械臂擁有更大的移動(dòng)范圍以及更強(qiáng)的作業(yè)能力，因此得到了廣泛的關(guān)注。然而，移動(dòng)平臺(tái)和冗余機(jī)械臂之間的組合也帶來了一些新的困難：怎么樣同時(shí)協(xié)調(diào)控制移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)？就一般規(guī)劃方案而言，要么是先控制移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，后控制機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)；要么是先控制機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)，后控制移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，從而無法對(duì)移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂同時(shí)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制[3]。Cheng等[7]在動(dòng)力學(xué)環(huán)境不確定情況下，實(shí)現(xiàn)了對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)械臂的智能控制算法。Tang等[8]對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)械臂的規(guī)劃和控制提出了基于微分平滑理論和實(shí)驗(yàn)。Xu等[9]對(duì)全方位的輪式移動(dòng)機(jī)械臂的軌跡追蹤控制提出了基于魯棒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑動(dòng)模態(tài)方法。Andaluz等[10]針對(duì)輪式移動(dòng)機(jī)械臂的視覺反饋控制提出了動(dòng)力學(xué)補(bǔ)充方法，并分析了相關(guān)增益性能。Wang等[11]針對(duì)不確定約束下的非完整移動(dòng)機(jī)械臂的控制提出了一套自適應(yīng)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。Xiao和Zhang[12-13]分別針對(duì)六連桿機(jī)械臂和輪式移動(dòng)機(jī)械臂提出了加速度重復(fù)運(yùn)動(dòng)方案和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方案，并對(duì)相應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解器進(jìn)行了理論分析。

本文設(shè)計(jì)的移動(dòng)機(jī)械臂協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案就是對(duì)移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂同時(shí)進(jìn)行協(xié)調(diào)控制運(yùn)動(dòng)，從而使得移動(dòng)機(jī)械臂更加有效地完成給定的末端任務(wù)。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模分析

讓我們考慮一個(gè)輪式移動(dòng)機(jī)械臂，它由一個(gè)輪式移動(dòng)平臺(tái)和一個(gè)空間六自由度機(jī)械臂組成[2-3]。為了完備性，圖1給出了輪式移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型。在本節(jié)中，將先分析了移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，然后直接給出空間機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，最后，將機(jī)械臂與移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行聯(lián)合統(tǒng)一，最終得到該輪式移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

1.1 移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

在本文中，我們是在非完整性約束性條件下建立移動(dòng)平臺(tái)的數(shù)學(xué)模型[4-6]。為了更好的理解，如圖1所示，我們?cè)诮５倪^程中使用了以下這些符號(hào)。

Po：兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪軸的中點(diǎn)，它的三維坐標(biāo)是(xo,yo,zo)；

Pc：機(jī)械臂和移動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)，它的三維坐標(biāo)是(xc,yc,zc)；其中zc=0；

d：點(diǎn)P0和點(diǎn)Pc之間的距離；

a：驅(qū)動(dòng)輪到點(diǎn)P0的距離；

r：驅(qū)動(dòng)輪的半徑；

Q：一個(gè)假設(shè)點(diǎn)，移動(dòng)平臺(tái)圍繞它轉(zhuǎn)動(dòng)；

圖1 移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)模型Fig.1 Kinematic model of the mobile platform

值得指出的是，移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂的每個(gè)連桿都可以看做剛體，且移動(dòng)平臺(tái)只在XOY平面運(yùn)動(dòng)。所以，在移動(dòng)平臺(tái)沒有側(cè)滑的條件下，左右輪的的速度方向?qū)?yán)格和驅(qū)動(dòng)輪軸方向垂直。然后根據(jù)圖1中的幾何關(guān)系，可以得到：

(1)

(2)

通過聯(lián)合方程(1)和(2)，我們可以得到如下表達(dá)式：

(3)

(4)

1.2 六自由度機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

對(duì)于一個(gè)固定機(jī)械臂，可以直接建立一個(gè)關(guān)于XCYCZC坐標(biāo)系的前向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即關(guān)節(jié)空間向量φ∈Rn和末端執(zhí)行器位置向量rb∈Rm的一個(gè)轉(zhuǎn)換關(guān)系：

其中f(φ)是一個(gè)可微的非線性函數(shù)。而且，對(duì)于一個(gè)給定的機(jī)械臂，它的結(jié)構(gòu)和參數(shù)是已知的。在本文研究的空間六自由度機(jī)械臂的D-H參數(shù)[3-6]如表1所示，由此可以得到空間六自由度機(jī)械臂的具體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

l43s32c1+l2s2c1

l65(c5s32s1-s5c4c32s1-s5s4s1)+

l43s32s1+l2s2s1

(5)

其中l(wèi)i表示第i個(gè)連桿的長(zhǎng)度，ci=cosφi，si=sinφi，i=1,2,3,…6，s32=sin(φ3+φ2)，c32=cos(φ3+φ2)，l0表示第一個(gè)關(guān)節(jié)離移動(dòng)平臺(tái)底部的高度，l65=l6+l5，和l43=l4+l3。在該機(jī)械臂中，參數(shù)l0=0.698 m，l1=0.065 m，l2=0.555 m，l3=0.190 m，l4=0.130 m，l5=0.082 m，l6=0.133 m。

表1 空間六自由度機(jī)械臂的D-H參數(shù)表

1.3 移動(dòng)機(jī)械臂的集成運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

在這一節(jié)中，我們將在移動(dòng)平臺(tái)和空間六自由度機(jī)械臂與的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模的基礎(chǔ)上，建立移動(dòng)機(jī)械臂的集成運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。首先，對(duì)于移動(dòng)機(jī)械臂而言，末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于世界坐標(biāo)系的，而不是基坐標(biāo)系(即XCYCZC坐標(biāo)系)，因此通過采用一個(gè)從基坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，將得到基于世界坐標(biāo)系的移動(dòng)機(jī)械臂集成運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系[14-15]：

(6)

其中從基坐標(biāo)系到世界坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

注意上式方程是移動(dòng)機(jī)械臂基于世界坐標(biāo)系在位置層的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，而通過對(duì)方程(6)求其時(shí)間導(dǎo)數(shù)，我們將得到移動(dòng)機(jī)械臂在速度層的集成運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

(7)

(8)

(9)

其中I表示單位矩陣，增廣矩陣K定義如下：

通過以上轉(zhuǎn)換，我們最終得到輪式移動(dòng)機(jī)械臂在速度層上的統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)學(xué)模型(9)。

2 協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案設(shè)計(jì)

對(duì)于移動(dòng)機(jī)械臂，我們不僅要考慮機(jī)械臂的物理極限約束，也要考慮移動(dòng)平臺(tái)帶來的影響。為了能實(shí)現(xiàn)在有物理約束的移動(dòng)機(jī)械臂進(jìn)行協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)，我們將把機(jī)械臂的關(guān)節(jié)速度變量和移動(dòng)平臺(tái)左右輪的旋轉(zhuǎn)速度變量作為一個(gè)整體變量，從而設(shè)計(jì)得到一個(gè)基于最小速度范數(shù)的二次性能指標(biāo)。最后，通過聯(lián)合性能指標(biāo)、物理約束以及移動(dòng)機(jī)械臂的集成運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，提出一個(gè)能實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)械臂協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的方案。

2.1 協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案

基于以上考慮，利用二次規(guī)劃的描述，我們?cè)O(shè)計(jì)了如下的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案：

(10)

(11)

q-≤q≤q+

(12)

(13)

(14)

(15)

其中?-和?+的第i個(gè)元素分別定義為(i=1,2,3,,…，n+2):

最小化xTWx/2

(16)

(17)

?-≤x≤?+

(18)

2.2 數(shù)值算法

當(dāng)我們把實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)械臂的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方案(10)-(13)重新表述為標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃(16)-(18)后，我們將開發(fā)和使用一個(gè)數(shù)值算法來求解我們的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案(10)-(13)。

首先，從文獻(xiàn)[2-3]得知，標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃(10)-(13)可以等效于如下的成線性投影方程：

(19)

其中PΩ(·):RN→Ω定義為從空間RN到集合Ω的一個(gè)分段線性投影算子，其它的參數(shù)定義如下：

接下來，為了求解線性投影方程(19)以及二次規(guī)劃問題(10)-(13)，我們定義一個(gè)向量取值的誤差函數(shù)：

(20)

顯然，求解投影方程(19)就等效于找到方程(20)的一個(gè)零點(diǎn)。

3 仿真驗(yàn)證

在這一小節(jié)中，移動(dòng)機(jī)械臂的末端執(zhí)行器去跟蹤一個(gè)半徑為0.3m的圓形路徑，以此來驗(yàn)證協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案(16)-(18)的有效性。在仿真過程中，迭代公式(21)的最大誤差容限設(shè)置為1.0×10-5，任務(wù)執(zhí)行時(shí)間T=5s。對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果分別如下圖2-5所示。

圖2展示了在整個(gè)跟蹤過程中移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖3從俯視的角度更加直觀的顯示了移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)過程。從圖2到圖3可以得知，移動(dòng)機(jī)械臂在完成圓形任務(wù)跟蹤的過程中，結(jié)束狀態(tài)和初始狀態(tài)幾乎重合，實(shí)現(xiàn)了最小能量消耗，而且在整個(gè)跟蹤過程當(dāng)中，移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂一直在協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)。圖4進(jìn)一步展示了期望的圓形路徑和對(duì)應(yīng)的跟蹤軌跡，從圖中可以看出，實(shí)際的跟蹤軌跡幾乎已經(jīng)和期望的圓形路徑重合。

圖2 移動(dòng)機(jī)械臂的仿真運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 Simulative motion trajectory of mobile manipulator

圖3 移動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡俯視圖Fig.3 Top view of motion trajectories of the mobile manipulator

圖4 期望的圓形路徑和仿真的跟蹤軌跡Fig.4 Desired circular path and simulative tracking trajectory

圖5 對(duì)應(yīng)的跟蹤位置誤差Fig.5 Corresponding tracking position error profiles

而且圖5顯示了它們之間的位置誤差e=rw-g(φ,φ)-[xc,yc,0]T，其中eX、eY以及eZ分別代表e的X軸、Y軸以及Z軸分量。如圖5所示，跟蹤位置誤差的X軸、Y軸以及Z軸分量都小于2×10-5m。總之，這些結(jié)果都證實(shí)了協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案的有效性以及高精度型。

4 結(jié) 論

通過分別對(duì)移動(dòng)平臺(tái)和機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，建立了移動(dòng)機(jī)械臂的統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。在此基礎(chǔ)上，提出了基于最小速度范數(shù)的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案。而且，開發(fā)了一個(gè)比較有效的數(shù)值算法去求解標(biāo)準(zhǔn)的二次規(guī)劃問題。最后基于輪式移動(dòng)機(jī)械臂的末端執(zhí)行器期望去跟蹤一個(gè)圓形路徑，驗(yàn)證了協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)方案的可行性、有效性和高精度性。

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Design and verification of coordinated motion scheme for mobile manipulators

XIAOLin，ZHOUWenhui

(School of Information Science and Engineering, Jishou University, Jishou 416000, China)

A mobile manipulator is composed of a mobile platform and a stationary manipulator fixed to the platform. In order to achieve the coordinated motion control of mobile manipulators, the mobile platform and the manipulator have to fulfill tasks simultaneously. According to the analysis of kinematics for the mobile manipulator, a coordinated motion scheme based on the minimum velocity norm is proposed and investigated. Such a scheme can not only control the motion of the mobile platform, but also coordinate the manipulator to complete tasks simultaneously. Besides, the coordinated motion scheme can be converted equivalently to a standard quadratic program, which can be solved by an effective numerical algorithm. Finally, the mobile manipulator is applied to perform a circular path and the corresponding simulative results validate the effectiveness of the coordinated motion scheme.

mobile manipulator；quadratic programming；coordinated motion；numerical algorithm

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.02.010

2015-03-01

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61503152, 61563017, 61561022, 61363073, 61363033)；湖南省教育廳優(yōu)秀青年資助項(xiàng)目(15B192)；吉首大學(xué)2015年實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(JDLF2015013)；吉首大學(xué)2015年校級(jí)課題資助項(xiàng)目(15JDX020)；吉首大學(xué)2015年大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃資助項(xiàng)目

肖林(1986年生)，男；研究方向：機(jī)器人和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);E-mail:xiaolin860728@163.com

TP24

A

0529-6579(2016)02-0052-06