楊俊仙, 吳元翠, 閆 萍

(安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 安徽 合肥 230036)

一類具時(shí)滯與飽和發(fā)生率的HIV-1傳染病模型的全局穩(wěn)定性*

楊俊仙, 吳元翠, 閆 萍

(安徽農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 安徽 合肥 230036)

提出了一類具時(shí)滯與飽和發(fā)生率的HIV-1傳染病模型，分析討論了無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)和正平衡點(diǎn)E+(T*,I*,V*)的全局穩(wěn)定性。通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和LaSalle不變集原理，證明了當(dāng)dμ>sγβ，對(duì)任意τ≥0，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)dμ

時(shí)滯；飽和發(fā)生率；HIV-1傳染病模型；全局穩(wěn)定性；Lyapunov函數(shù)

艾滋病(AIDS)是人體免疫機(jī)能遭到艾滋病病毒的破壞，病人患上感染性疾病、惡性腫瘤等。它的病原體是人類免疫缺陷病毒(Human Immunodeficiency Virus，簡(jiǎn)稱HIV), HIV是一種攻擊人體免疫系統(tǒng)細(xì)胞的慢性病毒，生存于人的血液之中。CD4+T細(xì)胞是免疫細(xì)胞最豐富的白細(xì)胞，是HIV感染的主要目標(biāo)，這些細(xì)胞感染后結(jié)構(gòu)受到破壞，減低了人體抵御感染的能力。因此，掌握病毒和CD4+T細(xì)胞的變化規(guī)律是很重要的[1]。HIV分為兩種類型：HIV-1型和HIV-2型。HIV-2僅局限于非洲的西部，且毒力不強(qiáng)，引起的艾滋病病程較長(zhǎng)，癥狀較輕。目前在世界范圍內(nèi)引起艾滋病毒的是HIV-1，因?yàn)樗亩拘暂^強(qiáng)，所以當(dāng)前對(duì)HIV的臨床研究主要是以HIV-1為主。由于艾滋病感染人數(shù)在全球劇增，引起了各國(guó)科學(xué)家的廣泛關(guān)注。醫(yī)藥學(xué)、生物學(xué)和數(shù)學(xué)等各方面工作者對(duì)該病的治療和預(yù)防都已經(jīng)做了相應(yīng)的研究, 其中通過(guò)數(shù)學(xué)模型研究 HIV-1傳染病的動(dòng)力學(xué)行為是一種有效的方法。對(duì)于HIV-1 感染的研究，最初的模型由Perelson[2]提出，數(shù)學(xué)模型為：

(1)

(2)

變量T(t),I(t),V(t) 和參數(shù)s,β,μ,α,d,γ的生物意義同系統(tǒng)(1),τ是時(shí)滯(τ>0)。

在文[10]中，討論了系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0和正平衡點(diǎn)E+的局部漸近穩(wěn)定性以及無(wú)病平衡點(diǎn)E0的全局漸近穩(wěn)定性，但并沒(méi)有給出正平衡點(diǎn)E+的全局穩(wěn)定性分析。本文旨在文[10]的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和利用LaSalle不變集原理，得到正平衡點(diǎn)E+的全局漸近穩(wěn)定性。

系統(tǒng)(2)滿足初始條件：

(3)

1 平衡點(diǎn)的存在性[10]

2 無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)和正平衡點(diǎn)E+(T*,I*,V*)的局部穩(wěn)定性[10]

定理1 當(dāng)dμ>sγβ，對(duì)任意τ≥0，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)dμ

定理2 當(dāng)dμ

3 無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)和正平衡點(diǎn)E+(T*,I*,V*)的全局漸近穩(wěn)定性

定理3 當(dāng)dμ>sγβ，對(duì)任意τ≥0，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的[10]。

定義函數(shù)

易知，對(duì)?z>0，F(xiàn)(z)≥0，且有Fmin=F(1)=0。

定理4 當(dāng)dμ

證明 令(T(t),I(t),V(t))是系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的任意正解。定義Lyapunov函數(shù):

計(jì)算函數(shù)W1沿系統(tǒng)(2)的全導(dǎo)數(shù)：

(4)

(5)

則(5)式為

定義

于是

由于

因此

故由LaSalle不變集原理知，正平衡點(diǎn)

4 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(2)中, 令參數(shù)s=5,μ=0.01,β=0.000 2,α=0.5,γ=2 400,d=5,τ=4，顯然dμ

圖1 當(dāng)dμ

圖2 當(dāng)dμ>sγβ時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的Fig.2 If dμ>sγβ，the disease-free equilibrium E0(T0,0,0) is globally asymptotically stable

5 討 論

本文研究了一類具時(shí)滯與飽和發(fā)生率的HIV-1傳染病模型，討論了系統(tǒng)(2)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)和正平衡點(diǎn)E+(T*,I*,V*)的局部漸近穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性。證明了當(dāng)dμ>sγβ，對(duì)任意τ≥0，無(wú)病平衡點(diǎn)E0(T0,0,0)是全局漸近穩(wěn)定的[10]；當(dāng)dμ

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Global stability of a HIV-1 epidemic model with time delay and saturation incidence rate

YANGJunxian,WUYuancui,YANPing

(School of Science, Anhui Agricultural University, Hefei 230036, China)

A HIV-1 epidemic model with time delay and saturation incidence rate is proposed. The global stabilities of a disease-free equilibriumE0(T0,0,0)andapositiveequilibriumE+(T*,I*,V*)arediscussed.ByconstructingLyapunovfunctionsandLaSalle’sinvariantprinciple,itisshownthatifdμ>sγβ,thedisease-freeequilibriumE0(T0,0,0)isgloballyasymptoticallystable,andifdμ

time delay; saturation incidence rate; HIV-1 epidemic model; global stability; Lyapunov functions

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.04.005

2016-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201002)；安徽省教育廳資助項(xiàng)目(KJ2011Z130)

楊俊仙(1976年生)，女；研究方向：微分方程、生物數(shù)學(xué)；通訊作者：吳元翠;E-mail:wuyuancui@ahau.edu.cn

O

A

0529-6579(2016)04-0026-05