◎陳雪娟

基于O-U模型的天氣衍生品定價研究

◎陳雪娟

本文通過對鄭州市1951-2013年日均氣溫數(shù)據(jù)進行分析，建立均值回復(fù)O-U模型，對參數(shù)進行估計，并檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測的準確度，研究表明：基于均值回復(fù)O-U模型的時間序列能夠很好的對氣溫進行預(yù)測。最后通過蒙特卡洛模擬方法進行多條路徑模擬得到收斂的期權(quán)價格。

天氣衍生品是針對一般天氣風(fēng)險設(shè)計的金融衍生工具，它以氣溫、降雨量、降雪量、霜凍等天氣因子計算出的天氣指數(shù)作為標的物的金融衍生品。

早期的研究者是通過對天氣指數(shù)HDDs(heating degree days)和CDDs(cooling degree days)來直接進行建模的。Geman和Leonardi[i]分析了HDD和AccHDD的統(tǒng)計特性和數(shù)學(xué)意義，認為直接對HDD建模是不合適的。

最近，更多的研究是直接對溫度的動態(tài)變化進行模擬，估計模型可以推導(dǎo)出相應(yīng)的指數(shù)和天氣衍生品價格。Jewson、Brix和Ziehmann[ii]認為直接對氣溫指數(shù)進行計算，如HDDs，可能會造成常見天氣與極端天氣信息的丟失。Dischel[iii]是第一個提出天氣預(yù)測的連續(xù)隨機模型。Dornier和Queruel[iv]在對挪威的日平均氣溫數(shù)據(jù)進行擬合時用的是均值回復(fù)的O-U過程。Swishchuk和Cui[v]對加拿大兩天日平均氣溫進行建模并得出關(guān)于衍生品定價的應(yīng)用。G?ncü[vi]提出了季節(jié)波動模型，并通過均值回復(fù)O-U過程對北京、上海、深圳的日平均氣溫進行估計，而且對合約的敏感性進行近似的分析。他們的結(jié)果證實了蒙特卡洛模擬的收斂性及近似結(jié)果。

溫度建模

天氣衍生品在國外作為對沖天氣風(fēng)險的金融產(chǎn)品，在中國金融市場的發(fā)展也將迅速發(fā)展，所以我們關(guān)注氣溫衍生品的建模及定價問題。在本文中，采用對氣溫數(shù)據(jù)進行建模，以免因為直接對天氣指數(shù)建模而丟失信息?；镜慕？蚣苋缦拢簹v史日均氣溫收集；對數(shù)據(jù)進行必要的修正；建立氣溫模型；氣溫模型的檢驗。

數(shù)據(jù)收集

通過中國氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)，收集了1951~2013年鄭州氣象站的鄭州的日均氣溫數(shù)據(jù)。為了消除閏年對數(shù)據(jù)的影響，我們將閏年的2月29號數(shù)據(jù)剔除，這樣每一年都有365天的日均氣溫數(shù)據(jù)，相應(yīng)的，我們獲得一個63年共計22995的數(shù)據(jù)集。

圖1顯示了鄭州從1951年-2013年的日均氣溫。這個圖也展示了日均氣溫有強烈的季節(jié)性與周期性。日均氣溫往復(fù)的來回運動，并且定期通過高溫（夏天）和低溫（冬天）。

通過日均氣溫的概率分布，如圖2所示，它的統(tǒng)計特性如表1所示?？梢院芮逦目闯鲟嵵莸幕緶囟葪l件。在這里，為了使數(shù)據(jù)更加容易觀察，將氣溫數(shù)據(jù)擴大至十倍。

表1 鄭州氣溫數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性

氣溫模型建立

用1951~2012年數(shù)據(jù)進行建模，2013年數(shù)據(jù)作為檢測數(shù)據(jù)，檢測模型。

考慮到氣溫的季節(jié)性變動和長期趨勢，用均值回復(fù)的O-U模型來描述氣溫的變化方式。從長遠來看，日均氣溫是圍繞著平均溫度往復(fù)運動的。用Q-Q圖來檢驗溫差的正態(tài)性。圖3顯示的圖近似為一條直線，所以近似的認為氣溫的隨機波動為布朗運動。

為了模擬這個軌跡，需要將這個過程離散化。方程可以被改寫為

通過對上式進行運算，并對參數(shù)進行改寫簡化可以得到

其中

假設(shè)波動率是周期函數(shù)，將1951年-2012年62年數(shù)據(jù)分為365組，每組62個數(shù)據(jù)計算出波動率序列，也即σt=σt+365*k其中t=1,2,…,365，k=1,2,3,…。在計算鄭州天氣時，用4級的傅里葉級數(shù)展開，即I=J=4。

對波動率用非線性回歸來計算參數(shù)，得到的結(jié)果是：

估計均值回復(fù)率:在建立的氣溫預(yù)測模型中α是常數(shù)，根據(jù)Bhowan給出的相關(guān)定理得到均值回復(fù)率

α的無偏估計為

將數(shù)據(jù)帶入，通過運算得出結(jié)果如下：α=0.3198。

模型檢驗

對模型的有效性進行檢驗，可以從模型中預(yù)測得到的2013年數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)進行比較，得到不同誤差，對模型進行評價。在本文中所用到的誤差有均值偏差(mean bias error)、均方根誤差（root mean squared error）、百分比平均誤差（mean proportionate error）以及絕對無偏百分比誤差（unbiased absolute percentage error）。

其中，X是觀測值，Y是預(yù)測值。得到的具體值是MBE=0.4301，RMSE=5.1763，UAPE=1.8839，MPE=0.2808，盡管這些值不大，但是沒有全部接近0，仍然可以認為這個模型可以基本上對氣溫進行預(yù)測。

用蒙特卡洛模擬出期權(quán)價格

對于一個HDD的歐式看漲期權(quán)來說，假設(shè)r是貼現(xiàn)率，T2是合約的到期日，K是成交水平，Np是名義價格時，T1時刻看漲期權(quán)的價格為

用蒙特卡洛方法生成一組路徑，并在每一條路徑上都計算一個價格，然后計算平均價格即為衍生品的預(yù)期價格。得到了期權(quán)的定價公式為

其中N是模擬的數(shù)目。

在本文研究中，關(guān)于天氣衍生品市場有一個統(tǒng)一的定價方法，我們主要是用一個隨機模型來描述氣溫的變化，并以這個氣溫是作為天氣衍生品看漲期權(quán)的標的物。以鄭州為例，基于62年的氣溫數(shù)據(jù)建立了一個隨機模型，并用蒙特卡洛方法對HDD看漲期權(quán)進行定價。通過2013年的預(yù)測值與觀測值的比較驗證了，這個隨機模型可以很好地描述鄭州的天氣變化。相對誤差證實了均值回復(fù)O-U模型能夠很好地描述鄭州氣溫的均值、波動及均值回復(fù)率。因此均值回復(fù)O-U模型能夠幫助擬合天氣衍生品合約的價格。

（作者單位：華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院）