劉 祥，陳 娟（溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035）

?

固態(tài)電路QED系統(tǒng)中三模連續(xù)變量糾纏的實(shí)現(xiàn)

劉 祥，陳 娟
（溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035）

摘 要：通過(guò)三個(gè)超導(dǎo)傳輸線諧振器與四能級(jí)超導(dǎo)量子比特相互耦合實(shí)現(xiàn)了固態(tài)電路QED系統(tǒng)中三模連續(xù)變量糾纏，并分析了四能級(jí)超導(dǎo)量子比特系統(tǒng)的能級(jí)躍遷與經(jīng)典場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)和諧振器的耦合之間的關(guān)聯(lián)．結(jié)果表明：采用絕熱消除的方法可以在三個(gè)固態(tài)諧振器中實(shí)現(xiàn)三模連續(xù)變量糾纏，為多模連續(xù)變量糾纏研究提供了新途徑．

關(guān)鍵詞：連續(xù)變量糾纏；固態(tài)電路QED；絕熱消除法

連續(xù)變量量子信息處理因在制備、操縱、測(cè)量等方面都能夠有效實(shí)現(xiàn)［1］，近年來(lái)受到了廣泛關(guān)注，已經(jīng)應(yīng)用于各種量子信息和量子通信協(xié)議方面［2］．不同系統(tǒng)都有其制備方案，例如電磁場(chǎng)系統(tǒng)、固態(tài)諧振器系統(tǒng)、原子系綜系統(tǒng)、核自旋系統(tǒng)、約瑟夫森結(jié)系統(tǒng)、波色-愛(ài)因斯坦凝聚系統(tǒng)等．尤其是光學(xué)系統(tǒng)［3］制備方案已經(jīng)相當(dāng)成熟，最近制備了高達(dá)10 000個(gè)量子模的連續(xù)變量糾纏［4］．相對(duì)而言，盡管固態(tài)量子系統(tǒng)在實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算機(jī)方面具有非常好的前景，但是提出實(shí)現(xiàn)連續(xù)變量糾纏的方案卻很少［1］．

固態(tài)量子系統(tǒng)，特別是固態(tài)電路QED（quantum Electrodynamics）系統(tǒng)具有良好的可擴(kuò)展性、魯棒的可控性、儲(chǔ)存性和讀出性［5］，能夠?qū)α孔游贿M(jìn)行快速重復(fù)地非破壞測(cè)量［6］，是實(shí)現(xiàn)量子反饋控制的良好試驗(yàn)臺(tái)［7］．因此電路QED系統(tǒng)的相關(guān)研究在過(guò)去幾年里受到了廣泛關(guān)注，尤其是糾纏態(tài)的制備和操縱．然而大部分的研究都集中在離散變量，與連續(xù)變量相關(guān)的研究卻沒(méi)有多大的進(jìn)展．最近，Li等人［8］在囚禁離子的固態(tài)量子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了三模連續(xù)變量糾纏，但是在固態(tài)電路QED系統(tǒng)中還沒(méi)有實(shí)現(xiàn)制備三模連續(xù)變量糾纏的方案．

本文研究了在固態(tài)電路QED系統(tǒng)中制備三模連續(xù)變量糾纏的方案，通過(guò)一個(gè)由兩個(gè)相同的超導(dǎo)電荷量子比特通過(guò)耦合電路連接而成的四能級(jí)超導(dǎo)量子比特與三個(gè)諧振器相互耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)［9］．本研究對(duì)于研究多模連續(xù)變量糾纏具有重要的意義．

1　四能級(jí)超導(dǎo)量子比特

如圖1，四能級(jí)超導(dǎo)量子比特是由分別與Joephon結(jié)相互耦合的超導(dǎo)電荷量子比特1和比特2構(gòu)造而成．結(jié)的有效Joephon能EJm可以通過(guò)回路中的磁通量Φ來(lái)調(diào)節(jié)，結(jié)電容是CJm；第i個(gè)超導(dǎo)電荷量子比特的電容是，量子比特的Joephon能EJi能夠通過(guò)回路中的磁通量來(lái)調(diào)節(jié)；第i個(gè)量子比特的門(mén)電壓為，門(mén)電容為Cgi．假設(shè)量子位的充電能偏置為0，則量子比特能量為EJi．利用拉格朗日方法，四能級(jí)量子比特系統(tǒng)的Hamiltonian為：

圖1　諧振器與電荷量子比特耦合

可以推導(dǎo)出公式（1）中Hamiltonian的本征態(tài)為：

2　系統(tǒng)的相互作用能

圖1所示的整個(gè)系統(tǒng)的Hamiltonian為：

Hq是方程（3）所示的四能級(jí)量子比特系統(tǒng)的Hamiltonian，三個(gè)諧振器以及與量子比特相互耦合的總的Hamiltonian為：

其中，與量子比特1耦合的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)頻率為w1，驅(qū)動(dòng)振幅為；與量子比特2耦合的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)頻率分別為w2和w3，驅(qū)動(dòng)振幅為．不失一般性，假設(shè)經(jīng)典驅(qū)動(dòng)只與耦合，而諧振器只通過(guò)與量子比特耦合．中的耦合項(xiàng)和Hf中的驅(qū)動(dòng)項(xiàng)共同產(chǎn)生了四能級(jí)系統(tǒng)本

Hr征態(tài)之間的躍遷，其中包括諧振器光子及經(jīng)典場(chǎng)的吸收與發(fā)射．

圖2　諧振器與經(jīng)典驅(qū)動(dòng)能級(jí)躍遷

3　諧振器的有效Hamiltonian

通過(guò)選擇諧振器與量子比特間恰當(dāng)?shù)鸟詈弦约敖?jīng)典驅(qū)動(dòng)來(lái)產(chǎn)生三模連續(xù)變量糾纏．為得到有效Hamiltonian，需要調(diào)節(jié)圖1中的參數(shù)來(lái)找到合適的有效耦合常數(shù)和本征態(tài)之間的能級(jí)間隔．通過(guò)兩步來(lái)確定參數(shù)：

2）利用能級(jí)的可控性設(shè)計(jì)大失諧來(lái)抑制不必要的躍遷．四能級(jí)系統(tǒng)的能級(jí)躍遷見(jiàn)圖2，采用的方法如下：之間的躍遷可以通過(guò)一個(gè)失諧量為，頻率為w1的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)；之間的躍遷可以通過(guò)失諧量分別為，頻率為w2和w3的經(jīng)典驅(qū)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)；之間的躍遷可以通過(guò)一個(gè)失諧量為的耦合諧振器a1來(lái)實(shí)現(xiàn)；之間的躍遷可以通過(guò)失諧量分別為和的耦合諧振器a2和a3來(lái)實(shí)現(xiàn)．經(jīng)典驅(qū)動(dòng)和諧振器與能級(jí)躍遷之間的耦合可以通過(guò)選擇電路參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)．

得出：

4　三模連續(xù)變量糾纏

利用文獻(xiàn)［11］中介紹的一般形式分解，方程（22）中的有效哈密頓量Heff的幺正演化算符可以分解為：

方程（23）中的第一項(xiàng)分解算符為相移算符，該方程中第二項(xiàng)是一個(gè)產(chǎn)生三模連續(xù)變量糾纏的運(yùn)算．例如，通過(guò)選擇系統(tǒng)參數(shù)，使得．這些可以通過(guò)假設(shè)和來(lái)實(shí)現(xiàn)，那么Heff的幺正演化算符變?yōu)椋?，這正是三模連續(xù)變量糾纏的產(chǎn)生算符．通過(guò)參量轉(zhuǎn)變過(guò)程，建立與以及與的關(guān)聯(lián)；通過(guò)線性混合過(guò)程，建立和的關(guān)聯(lián)，模之間的關(guān)聯(lián)度取決于和的差異．因此，給出滿足方程（22）的數(shù)據(jù)，三個(gè)諧振器的初始態(tài)就能夠在一段時(shí)間t內(nèi)發(fā)生糾纏．

5　結(jié) 論

本文提出了在電路QED系統(tǒng)中，利用三個(gè)諧振器耦合一個(gè)可控四能級(jí)超導(dǎo)量子比特來(lái)產(chǎn)生三模連續(xù)變量的方案，在當(dāng)前技術(shù)條件下是可行的．態(tài)的糾纏度取決于電路和驅(qū)動(dòng)的參數(shù)．與之前大多數(shù)應(yīng)用光學(xué)、腔或者原子系統(tǒng)的方案不同，我們是在固態(tài)電路QED系統(tǒng)中產(chǎn)生了三模連續(xù)變量．

參考文獻(xiàn)

［1］ Weedbrook C， Pirandola S. Gaussian quantum information ［J］. Rev Mod Phys， 2012， 84（2）﹕ 621-669.

［2］ Braunstein S L， Kimble H J.Teleportation of continuous quantum variables ［J］. Phys Rev Lett， 1998， 80（4）﹕ 869-872.

［3］ Aoki T， Takei N， Yonezawa H， et al. Experimental creation of a fully inseparable tripartite continuous-variable state ［EB/OL］. ［2016-01-01］. http﹕//journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.91.080404.

［4］ Yokoyama S， Ukai R， Armstrong S C， et al. Ultra-large-scale continuous-variable cluster states multiplexed in the time domain ［J］. Nature Photonics， 2013， 7（12）﹕ 982-986.

［5］ Xiang Z L，You J Q， Nori F. Hybrid quantum circuits﹕ superconducting circuits interacting with other quantum systems ［J］. Rev Mod Phys， 2013， 85（2）﹕ 623-653.

［6］ Dicarlo L， Reed M D， Sun L， et al. Preparation and measurement of three-qubit entanglement in a superconducting circuit ［J］. Nature， 2010， 467﹕ 574-578.

［7］ Ong F R， Boissonneault M， Mallrt F， et al. Circuit QED with a nonlinear resonator﹕ ac-stark shift and dephasing ［EB/OL］. ［2016-01-01］. http﹕//journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.106.167002.

［8］ Li J， Fogarty T， Cormick C， et al. Tripartite nonlocality and continuous-variable entanglement in thermal states of trapped ions ［EB/OL］. ［2016-01-01］. http﹕//journals.aps.org/pra/pdf/10.1103/PhysRevA.84.022321.

［9］ Deng X H， Hu Y， Tian L. Universal quantum degeneracy point for superconducting Qubits ［EB/OL］. ［2016-01-01］. http﹕//xueshu.baidu.com/s？wd=paperuri%3A%28e3703017543b99cc6ec6794ac13f4ce5%29&filter=sc_long_sign&tn =SE_xueshusource_2kduw22v&sc_vurl=http%3A%2F%2Farxiv.org%2Fpdf%2F1101.2942&ie=utf-8.

［10］ Berry M V. Quantal phase factors accompanying adiabatic changes ［J］. Proc R Soc Lond A， 1984， 392﹕ 45-57.

［11］ He B. Quantum optomechanics beyond linearization ［EB/OL］. ［2016-01-01］. http﹕//journals.aps.org/pra/pdf/10.1103/ PhysRevA.85.063820.

（編輯：封毅）

The Realization of Tripartite Continuous Variable Entanglement Generated in Solid-state Circuit QED

LIU Xiang， CHEN Juan
（College of Physics and Electric Information， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Abstract：The paper indicates that the tripartite continuous-variable entanglement could be realized in the solid-stated circuit through the interconnection between the energy transition of the four-level superconductor qubit system and the three superconducting transmission line resonators. Thus the correlation between the energy level transition of the four-level superconductor qubit system and the driving of classical fields and the coupling of resonators is analyzed. It turns out that an effective tripartite continuous-variable entanglement could be realized in the three solid-stated resonators via the application of the adiabatic eliminated method，besides， the research provides a new way to research the multipartite CV entanglement.

Key words：Continuous Variable Entanglement； Solid-state Circuit QED； Adiabatic Eliminated Method

作者簡(jiǎn)介：劉祥（1989- ），男，山西朔州人，碩士研究生，研究方向：量子信息物理

收稿日期：2015-09-03

DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2016.02.006 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

中圖分類號(hào)：O413.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-3563（2016）02-0039-07