申江慢，何文明（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

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具有局部周期結構的橢圓問題的有限元方法

申江慢，何文明
（溫州大學數(shù)學與信息科學學院，浙江溫州 325035）

摘 要：對于具有局部周期結構的二階橢圓問題，利用多尺度漸進展開方法給出了對應的有限元算法.通過對經典邊界校正因子的估計，得出了精度較高的近似解.

關鍵詞：有限元方法；局部周期結構；經典邊界校正因子

很多自然科學和工程的問題都具有多尺度的特征．例如，高雷諾湍流的渦有大小不同的尺度，材料的微損傷有大小不同的尺度，多孔介質的孔徑大小存在著不同的尺度等．對于多尺度問題，傳統(tǒng)的數(shù)值方法在細尺度上求解，需要對求解區(qū)域進行非常精細的剖分，但由此產生的節(jié)點數(shù)量過多，往往要耗費巨大的計算量和很長的計算時間才能算得比較滿意的結果．因此人們一直致力于尋求既可以節(jié)省計算資源，又能保持計算精度的數(shù)值方法來處理多尺度問題．

大多數(shù)橢圓問題采用如下模型［1-7］：

文［1-7］給出了求解該模型的多尺度均勻化方法，得到的近似解可表示為：

注意到

結合上面兩個估計，得到引理1．（6）式與（7）式的證明見文獻［2］．

設TH為上的尺寸為h的擬一致三角剖分．進一步假設TH滿足，其中Se是單元的面積．和是定義在TH上的兩個線性有限元空間．通過解下列方程即可得出（8）式的有限元解：

利用引理1，得到如下估計．

類似于引理2，得到如下結論：

2　經典邊界校正因子的計算

Alyn Wallace曾經研修天文學、工程學與物理學，現(xiàn)在是一位全職天文攝影師，他在家附近的威爾士及其他地區(qū)開辦攝影講習班。

另外從引理3及（14）式中可得：

結合（15）式和（16）式，可知（13）式成立．

至此，該證明結束．

利用引理4，得到如下結論：

定理6 在引理4的假設下，存在常數(shù)C使得

證明：采用類似引理1的方法，得到：

結合引理4，引理5與（18）式，得到（17）式．

4　結 論

使用多尺度漸進展開方法，在不同網格剖分下很好地求解了具有局部周期結構的二階橢圓問題．該方法不僅有很好的精度，而且隨著剖分的不同，對邊界校正因子的近似也較理想．

參考文獻

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（編輯：封毅）

A Finite Element Method for Elliptic Problems with Local Periodic Structure

SHEN Jiangman， HE Wenming
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Abstract：In this paper， the corresponding finite element method by means of multi-scale asymptotic expansion approach is analyzed to solve the second-order elliptic problems with local periodic structure. By estimating the classical boundary correction factor， the higher order approximate solutions were obtained.

Key words：Finite Element Method； Local Periodic Structure； Classical Boundary Correction Factor

作者簡介：申江慢（1989- ），女，河南安陽人，碩士研究生，研究方向：微分方程與生物數(shù)學

基金項目：國家自然科學基金（11171257）；浙江省自然科學基金（LY15A010015）

收稿日期：2015-10-18

DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2016.02.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

中圖分類號：O241.82

文獻標志碼：A

文章編號：1674-3563（2016）02-0011-06