李 靜，張乃敏（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

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一種求解奇異鞍點(diǎn)問(wèn)題新的改進(jìn)SSOR方法

李 靜，張乃敏
（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

摘 要：研究了一種求解奇異鞍點(diǎn)問(wèn)題的新的改進(jìn)SSOR方法，得到其半收斂性條件及極小化擬譜半徑的局部最優(yōu)參數(shù)，數(shù)值例子表明選取適當(dāng)?shù)膮?shù)值可以提高算法的收斂效率．

關(guān)鍵詞：奇異線性系統(tǒng)；鞍點(diǎn)問(wèn)題；NMSSOR方法；半收斂

本文考慮了具有如下形式的鞍點(diǎn)問(wèn)題：

1　新的改進(jìn)SSOR迭代方法

對(duì)于（1）中的奇異線性系統(tǒng)，做如下分裂［2］：

迭代格式（3）可以簡(jiǎn)記為：

其中

則

是系數(shù)矩陣的一個(gè)分裂，NMSSOR方法也可由矩陣分裂得到．因而得出．

2　半收斂性分析

對(duì)于定常迭代，若系數(shù)矩陣是非奇異的，那么定常迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)?shù)仃囎V半徑小于1；若系數(shù)矩陣是奇異的，迭代矩陣有特征值1，所以它的譜半徑不會(huì)比1小．對(duì)于這種情況的迭代矩陣，引出它的擬譜半徑，，其中為迭代矩陣的特征值的集合．

引理1［4］二次方程的根的模均小于1，當(dāng)且僅當(dāng)，其中是p的共軛復(fù)數(shù)．

引理2［5］A是正實(shí)的，B是秩虧的，Q是對(duì)稱正定的，則對(duì)所有的非零特征值，均有，其中和分別為的實(shí)部和虛部，．

證明：經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，式（6）可以重新表示成：

通過(guò)計(jì)算，式（11）的第二個(gè)式子等價(jià)于：

引理3［6］，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的，有，其中R()×與N()×代表對(duì)應(yīng)矩陣的值域和零空間．

3　最優(yōu)迭代參數(shù)

考慮下面兩種情況：

結(jié)合式（6）可知：

由上述分析知，我們?cè)谙率鲇懻撟顑?yōu)參數(shù)時(shí)，不失一般性均假設(shè)，回顧定理2的證明，當(dāng)時(shí)有．因此，NMSSOR方法的擬譜半徑可以表示成：

下面討論能使得半收斂速度達(dá)最快的最優(yōu)參數(shù)．由于三參數(shù)全局最優(yōu)過(guò)于復(fù)雜，此處考慮一種局部情形，即不妨假設(shè)滿足關(guān)系．結(jié)合式（15）和式（16），易知存在兩個(gè)變量滿足下列方程：

于是有：

所以：

4　數(shù)值舉例

通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)來(lái)比較GMSSOR方法和NMSSOR方法．所有實(shí)驗(yàn)將利用Matlab解決，在Inter（R） Core（TM） i3 CPU 1.86 GHz，內(nèi)存2.0 GB的電腦上運(yùn)行．取零向量為初始向量，選擇右端向量使得線性系統(tǒng)（1）精確解為，停機(jī)準(zhǔn)則是．其中IT表示迭代步數(shù)，CPU表示運(yùn)行時(shí)間，RES表示殘差，是最終近似解．

算例1 考慮Oseen方程：

表1列出了2種迭代法在預(yù)條件下重啟的GMRES算法的數(shù)值結(jié)果，表2和表3列出了不同方法的最優(yōu)參數(shù)和對(duì)應(yīng)的最優(yōu)收斂因子．可以看出NMSSOR迭代法在迭代步數(shù)和CPU時(shí)間上都優(yōu)越于GMSSOR方法，且隨著m， n增加，最優(yōu)參數(shù)減少，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)收斂因子呈現(xiàn)逐漸增加趨勢(shì)．從表1 - 表3可以看出，選取合適參數(shù)時(shí)，NMSSOR方法優(yōu)于GMSSOR方法．

表1　GMSSOR和NMSSOR迭代法在預(yù)條件下重啟的GMRES算法的數(shù)值結(jié)果

表2　GMSSOR方法的最優(yōu)參數(shù)和對(duì)應(yīng)的最優(yōu)收斂因子

表3　NMSSOR方法的最優(yōu)參數(shù)和對(duì)應(yīng)的最優(yōu)收斂因子

5　結(jié) 論

提出了一種求解奇異鞍點(diǎn)問(wèn)題的新的改進(jìn)的SSOR方法，并分析了該方法的半收斂性質(zhì)以及此方法的優(yōu)越性．然而我們只是得到了NMSSOR方法的局部最優(yōu)參數(shù)，對(duì)于全局最優(yōu)參數(shù)，還有待于進(jìn)一步研究．

參考文獻(xiàn)

［1］ Bai Z Z， Parlett B N， Wang Z Q. On generalized successive overrelaxation methods for augmented linear systems ［J］. Numer Math， 2005， 102﹕ 1-38.

［2］ Najafi H S， Edalatpanah S A. A new modified SSOR iteration method for solving augmented linear systems ［J］. Int J Comput Math， 2013， 91﹕ 539-552.

［3］ Zheng B， Bai Z Z， Yang X. On semi-convergence of parameterized Uzawa methods for singular saddle point problems ［J］. Linear Algebr Appl， 2009， 431﹕ 808-817.

［4］ Miller J J H. On the location of zeros of certain classes of polynomials with applications to numerical analysis ［J］. J Inst Math Appl， 1971， 8﹕ 397-406.

［5］ Zhou L j， Zhang N M. Semi-convergence analysis of GMSSOR methods for singular saddle point problems ［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2014， 68﹕ 596-605.

［6］ Zhang N M， Wei Y M. On the convergence of general stationary iterative methods for Range-hermitian singular linear systems ［J］. Numer Linear Algebra Appl， 2010， 17﹕ 139-154.

［7］ Chao Z， Zhang N M， Lu Y Z. Optimal parameters of the generalized symmetric SOR method for augmented systems ［J］. J Comput Appl Math， 2014， 266﹕ 52-60.

（編輯：封毅）

The Study of a New Modified SSOR Method For Solving Singular Saddle Point Problems

LI Jing， ZHANG Naimin
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

Abstract：In this paper， a new modified SSOR （NMSSOR） method for solving singular saddle point problems is studied. It is proved that the semi-convergence of the NMSSOR method under suitable restrictions on the iteration parameters is obtained. The local optimum parameters which minimize the semi-convergence and the pseudo-spectral radii of the associated iteration matrices are received. The numerical example indicates that the convergence efficiency of the NMSSOR method for solving singular saddle point problems will be improved if the appropriate parameter values are selected.

Key words：Singular Linear System； Saddle Point Problem； NMSSOR Method； Semi-convergence

作者簡(jiǎn)介：李靜（1990- ），女，河南商丘人，碩士研究生，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61572018）；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（LY15A010016）

收稿日期：2015-09-29

DOI：10.3875/j.issn.1674-3563.2016.02.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

中圖分類號(hào)：O241.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-3563（2016）02-0001-10