劉廣東，葛新同

(1.阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，安徽阜陽236037; 2.阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽阜陽236037)

?

時域反演德魯色散媒質(zhì)的電磁逆散射技術(shù)

劉廣東1，葛新同2

(1.阜陽師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，安徽阜陽236037; 2.阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽阜陽236037)

摘要:德魯(Drude)經(jīng)驗?zāi)Ｐ统Ｓ糜诿枋龅入x子體、金屬等媒質(zhì)的電色散特性．利用寬帶的時域測量數(shù)據(jù)直接反演電參數(shù)，相比單頻(頻域)技術(shù)而言，具有信息量大、成像分辨率高的優(yōu)勢．時域直接反演色散媒質(zhì)電參數(shù)的主要困難在于它們是頻率相關(guān)的．為了克服該困難，本文提出了一種時域電磁(EM)逆散射新技術(shù):轉(zhuǎn)而同時反演德魯模型的4類頻率無關(guān)的模型參數(shù)．該技術(shù)的主要環(huán)節(jié)為: (1)描述為含正則化項的約束最小化問題; (2)轉(zhuǎn)化為無約束最小化問題; (3)解析導(dǎo)出梯度; (4)分別利用時域有限差分(FDTD)法、共軛梯度(CG)法迭代求解正演、反演子問題．在一維(1-D)、二維(2-D)兩個數(shù)值算例中，所需的測量數(shù)據(jù)也由FDTD仿真值代替，并加入了加性高斯白噪聲(AWGN)．反演結(jié)果初步證實了該技術(shù)的性能．

關(guān)鍵詞:電磁逆散射;德魯色散媒質(zhì);正則化;時域有限差分法;共軛梯度法

1　引言

實驗表明電磁場作用下自然界中大部分媒質(zhì)，如生物組織、土壤、等離子體、金屬等，其電磁特性均與工作頻率f有關(guān)［1］．這些媒質(zhì)稱作色散媒質(zhì)，電磁參數(shù)的頻率相關(guān)性稱作色散特性．?dāng)M合獲得模型參數(shù)后，便可用于描述特定媒質(zhì)的色散特性，如德拜(Debye)模型、洛倫茲(Lorentz)模型、德魯(Drude)模型就是最為常見的三大類，其中德魯(Drude)模型適用于等離子體、金屬等媒質(zhì)，這一大類媒質(zhì)常稱作德魯色散媒質(zhì)［2］．為處理這三大類色散媒質(zhì)的電磁輻射、散射等問題，魏兵等人提出通用的時域有限差分(finite-difference time-domain，F(xiàn)DTD)方案［2］和通用的吸收邊界［3］，王飛等人近來提出通用的Newmark-FDTD新方法［4］，都為研究這些色散媒質(zhì)的時域逆散射(亦常稱作反演、重建等)問題奠定了基礎(chǔ)．

近年來，面向色散媒質(zhì)的時域反演技術(shù)已經(jīng)取得一些進展，主要有:對于Debye色散媒質(zhì)，Winters等人提出同時反演光頻相對介電常數(shù)ε∞、靜態(tài)相對介電常數(shù)εs、靜態(tài)電導(dǎo)率σs共3類模型參數(shù)的時域逆散射技術(shù)［5］，劉廣東等人引入正則化技術(shù)對抗逆問題的病態(tài)特性［6］，Papadopoulos等人補充弛豫時間τ，將反演參數(shù)增加到4類［7］;對于Lorentz色散媒質(zhì)，Papadopoulos等人提出同時反演光頻相對介電常數(shù)ε∞、靜態(tài)相對介電常數(shù)εs、固有頻率ω0、碰撞頻率ζ共4類模型參數(shù)的時域逆散射技術(shù)［8］．

然而，對于Drude色散媒質(zhì)，未見到相關(guān)反演方法的報道．為此，本文探索在時域同時反演Drude色散媒質(zhì)的4類模型參數(shù)，巧妙克服了時域直接反演電參數(shù)所面臨的主要困難:頻率相關(guān)性．該項工作有望為冶金、能源、材料、地球物理等領(lǐng)域提供參考．

2　問題描述

預(yù)設(shè)條件: (1)所有媒質(zhì)均為線性、各向同性的無磁媒質(zhì); (2)已知問題空間V的邊界，假設(shè)其間存在電色散媒質(zhì)，其色散特性滿足Drude經(jīng)驗?zāi)Ｐ停?］，但其模型參數(shù)未知(因此其電參數(shù)亦未知) ; (3)已知背景媒質(zhì)的類型和電參數(shù)分布; (4)假設(shè)測量系統(tǒng)采用陣列天線，其發(fā)射陣共I個陣元(i =1，2，…，I)，接收陣共K個陣元(k =1，2，…，K)，已知各陣元的位置和激勵源．

依次激活各發(fā)射陣元(每次一個)，產(chǎn)生的入射波輻照問題空間的散射目標，K個接收陣元同時測量，獲得的時域總電場記為．本文的目的就是利用這些測量電場反演問題空間的電參數(shù)分布．由于前文假定目標媒質(zhì)為無磁的Drude電色散媒質(zhì)，其復(fù)值相對介電常數(shù)由一般的多極Drude經(jīng)驗?zāi)Ｐ痛_定［2］

其中，位置矢量r∈V，角頻率ω= 2πf，j為虛數(shù)單位，W為極的總數(shù)，ε∞、ε0分別表示光頻相對介電常數(shù)、真空介電常數(shù)，σs表示靜態(tài)電導(dǎo)率，分別表示第w極的等離子體角頻率、碰撞頻率．該模型較為通用，適用的幾個特例: (1)當(dāng)W = 1時簡化為單極情形; (2)當(dāng)= 0時退化為常規(guī)的非色散媒質(zhì)［9］; (3)當(dāng)σs= 0時簡化為文獻［2］的(3)式．由式(1)知，Drude電色散媒質(zhì)的相對介電常數(shù)εr(r，ω)、等效電導(dǎo)率σeff(r，ω)兩類電參數(shù)均與頻率f有關(guān)，在時域難以直接反演，這也是和常規(guī)(非色散)媒質(zhì)的主要差別［6］．然而，同時也不難發(fā)現(xiàn)，Drude模型的4類模型參數(shù)ε∞(r)、σs(r)、、ζw(r)卻是頻率無關(guān)的，因此，本文轉(zhuǎn)而反演這4類模型參數(shù)．為簡化后文表述，省略自變量(r)，并定義反演參數(shù)向量，其中上角標T表示轉(zhuǎn)置(后文類同)，對問題空間的每一個像素(點)，需要同時反演p1，p2，…，p2 +2W共2 +2W個未知數(shù)．

選用輔助微分方程(auxiliary differential equation，ADE)法引入Drude媒質(zhì)的色散特性［10］，可以得到:當(dāng)激活第i個發(fā)射陣元時，無源空間的時域電場Ei、磁場Hi、第w極色散電流滿足麥克斯韋(Maxwell)方程組

和一組(w =1，2，…，W)輔助微分方程(ADEs)

其中，?t表示對時間自變量t(文中t已被省略)的偏微分算子，為哈米爾頓(Hamilton)算子［9］，μ0為真空磁導(dǎo)率．可見，待反演的各電磁參數(shù)都顯式呈現(xiàn)在前述方程中，有利于后文逆問題的求解．

3　求解逆問題

電磁逆散射問題屬于一類不適定問題，求解面臨的兩個主要困難分別是問題的非線性和病態(tài)特性［5～9］．

3.1描述為約束最小化問題

首先，為克服電磁逆散射問題的非線性困難，本文將該問題描述為關(guān)于反演參數(shù)p的約束最小化問題，其目標泛函F滿足方程:

同時滿足約束條件:方程組(2)～(4)．

方程(5)的右手邊:第一項描述計算電場Ei，k和測量電場之間的差異，T表示測量時間，符號中右下、上角標“2”分別表示歐氏(Euclidean)范數(shù)、平方運算;第二項為加性的吉洪諾夫(Tikhonov)正則化項［11］，以抑制逆問題的病態(tài)特性，這也是本文與文獻［5，7，8］的不同之處，其中γl表示與p的第l個分量pl對應(yīng)的正則化參數(shù)．

3.2轉(zhuǎn)化為無約束最小化問題

其次，借助拉格朗日(Lagrange)乘子罰函數(shù)法［6］，將約束最小化問題轉(zhuǎn)化為無約束最小化問題，其增廣目標泛函Fa如下:

3.3變分法推導(dǎo)梯度

利用變分法［12］，求解約束最小化問題，即等價于求解變分方程

其中，δ為一階變分算子．結(jié)合方程(6)，為方便表述，令

其中

3.4選取梯度算法

至此，剩下的步驟只需從已有的多種非線性梯度算法中做出選擇［13］．研究顯示: PRP(Polak-Ribière-Polyak)共軛梯度(conjugate gradient，CG)算法的總體性能最佳［14］，因此，本文也選取這一算法．若得到第m步迭代的反演參數(shù)pm，則下一步迭代的更新公式為［13］

其中，迭代步數(shù)指標m = 1，2，…，M，M為迭代步總數(shù)，步長αm通過求解一維的線搜索問題獲得［6］，方向向量dm為

4　仿真結(jié)果與討論

為了仿真檢驗本文技術(shù)的性能，后文設(shè)計2個數(shù)值算例，分別針對一維(1-D)、二維(2-D)問題，探究可能影響反演效果的下列因素: (1)問題維數(shù); (2)天線工作模式; (3)測量視角; (4)極總數(shù); (5)參數(shù)分布類型; (6)背景媒質(zhì)類型; (7)散射強度; (8)散射體位置; (9)散射體尺寸．

補充說明: (1)激勵源采用調(diào)制的高斯脈沖源，詳見文獻［7］的式(23) ; (2) FDTD解算器采用均勻網(wǎng)格，空間步長設(shè)為Δ，選取Δ兼顧數(shù)值精度和數(shù)值色散要求Δ≤c0/fmax/10，其中c0為真空光速，fmax為激勵源的上限頻率［10］，一維、二維問題的計算區(qū)周圍分別采用5層、6層卷積完全匹配層(convolution perfectly matched layer，CPML)吸收邊界［15］，選取時間步長Δt應(yīng)滿足(Courant Friedrichs Lewy，CFL)穩(wěn)定條件，其中nD表示問題的物理維度［10］; (3)條件所限，反演所需的測量值也采用FDTD仿真替代，但離散化采用雙倍精細網(wǎng)格，考慮噪聲影響時，噪聲模型選用加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise，AWGN)，其信噪比(signal to noise ratio，SNR)設(shè)為20dB; (4)取正則化參數(shù)γl= 0.001［6］，取正則化參數(shù)γl=0時則視為無正則化項; (5)以迭代總步數(shù)為迭代終止判據(jù)，取值為M =60，并定義第m步迭代的均方根誤差(mean square error，MSE) e為［9］

4.1算例1:一維(1-D)問題

一維問題的幾何模型類似于文獻［8］，如圖1所示:在厚度d =10mm的空氣(視為真空)中，厚度為4d重建區(qū)為層狀分布的2極(即W = 2)德魯色散媒質(zhì)，模型參數(shù)為光滑型的類正弦分布，其中ζ2隨坐標z的分布分別如圖2的子圖(a)～(f)的黑色實線所示，其強散射的峰值分別為8.0、2.0×10－2S．m－1、1.8×1010rad．s－1、1.6×1010rad．s－1、2.0×1011Hz、1.8×1011Hz，弱散射的峰(同向峰值型)或谷值(異向峰值型)分別為2.0、0.5×10－2S．m－1、4.5×109rad．s－1、4.0×109rad．s－1、5.0×1010Hz、4.5×1010Hz;天線系統(tǒng)采用兩邊(一維情形下視為全視角)、雙站(即收、發(fā)分離)的測量模式，發(fā)射陣列的兩個陣元(I = 2)均距重建區(qū)d/2，接收陣列的兩個陣元(K =2)均距重建區(qū)d/4．

FDTD離散化的空間、時間步長分別取為Δz = 0.5mm、Δt =0.5Δz/c0，T =2000Δt;迭代初值取自重建區(qū)的平緩區(qū)(假定先驗知曉)，分別為4.0、1.0×10－2S．m－1、9.0×109rad．s－1、8.0×109rad．s－1、10.0×1010Hz、9.0×1010Hz，分別如圖2的子圖(a)～(f)的“+”形標記所示;考慮噪聲且應(yīng)用正則化條件下，分別經(jīng)過1步和60步迭代后，反演結(jié)果分別如圖2的子圖(a)～(f)的“×”形標記、“．”形標記所示;歸一化的目標泛函F、均方根誤差e隨迭代步數(shù)m的變化關(guān)系分別如圖2的子圖(g)、(h)所示(縱坐標采用了對數(shù)形式，后文同)，其中60步迭代的誤差為0.0609．

另外，為了檢驗本文逆散射方法對抗逆問題的病態(tài)特性和噪聲的性能，并考慮篇幅所限，圖3給出了經(jīng)過60步迭代后，光頻相對介電常數(shù)ε∞的反演結(jié)果和真實分布的對比，子圖(a)～(d)分別對應(yīng)四種情形:無噪聲且無正則化、有噪聲且無正則化、無噪聲且有正則化、有噪聲且有正則化，反演誤差依次為0.0658、0.0749、0.0347、0.0623．

斂散性分析:從圖2的子圖(g)、(h)可以看出，運用本文的迭代技術(shù)處理光滑型一維問題，算法收斂，這得益于正則化技術(shù)，抑制噪聲影響和逆問題的病態(tài)特性，不過收斂速度呈現(xiàn)先快后慢的趨勢．

誤差分析: (1)同時反演4類(6種)參數(shù)共計6×80 = 480個未知數(shù)(其中80為離散的網(wǎng)格數(shù))，加劇了逆問題的病態(tài)特性，是產(chǎn)生誤差的原因之一; (2)從圖2的子圖(h)可以看出，當(dāng)前的反演誤差還不能滿足一般的工程應(yīng)用需求，可適當(dāng)增加迭代步數(shù)或優(yōu)化正則化參數(shù)，并在反演速度、反演精度之間折中選擇; (3)ε∞、σs的反演效果優(yōu)于ωp1、，其中σs的效果最好，這與激勵源的頻譜有關(guān)［9］; (4)異向峰值型的反演效果優(yōu)于同向峰值型，產(chǎn)生原因是，對于異向峰值型，更容易獲取不同目標的散射場; (5)反演目標的形狀、位置信息基本準確，但從反演精度來說，左側(cè)的強散射體相對高于右側(cè)的弱散射體; (6)對比圖3的子圖(a)、(b)或(c)、(d)均表明，噪聲影響也是產(chǎn)生誤差的原因之一; (7)對比圖3的子圖(a)、(c)表明，正則化技術(shù)弱化了逆問題的病態(tài)特性; (8)對比圖3的子圖(c)、(d)表明，正則化技術(shù)抑制了噪聲影響; (9)另外，正問題的求解精度也是影響逆問題病態(tài)特性及反演精度的原因之一．

4.2算例2:二維(2-D)問題

FDTD離散化的空間、時間步長分別取為Δx =Δy =Δ =1.0mm、Δt =0.5Δ/c0，T =1500Δt;選取的迭代初值和均勻的背景媒質(zhì)相同(假設(shè)先驗知曉)，分別如圖5～8的子圖(b)所示;考慮噪聲且應(yīng)用正則化條件下，經(jīng)過60步迭代時，反演結(jié)果分別如圖5～8的子圖(c)所示，其中附加的黑色邊框示意散射體S6的真實位置;此時y =6mm處反演參數(shù)、真實參數(shù)分布之間的對比分別如圖5～8的子圖(d)所示;反演誤差e隨迭代步數(shù)m的變化關(guān)系如圖9所示，其中60步迭代的誤差為0.1172．

斂散性分析:由圖9得到，運用本文的迭代技術(shù)處理非光滑型二維問題，算法仍然是收斂的，不過收斂速度較一維光滑情形減緩．

誤差分析: (1)從圖9與圖2的子圖(h)對比中發(fā)現(xiàn)，60步迭代時，前者的反演誤差明顯大于后者，一是因為非光滑情形比光滑情形加劇逆問題的病態(tài)特性［9］，二是因為二維算例需要同時反演25×25×4 =2500個未知數(shù)，明顯多于一維情形，顯著加重了逆問題的不適性，改進措施是采用其它正則化，如自適應(yīng)正則化［9］; (2)就參數(shù)類型而言，結(jié)論類似一維情形，σs的效果最好; (3)就散射強度而言，結(jié)論也類似一維情形，更容易檢測強散射目標，如S6明顯好于S2; (4)就散射體位置(深度)而言，理論上更容易識別淺層目標，而實際上S5不如S3，是因為受到強散射體S6的影響; (5) S1的反演精度好于S4，表明更容易發(fā)現(xiàn)大尺寸目標; (6) S2的反演精度不如S1，表明測量視角受限降低了反演精度．

綜合一維、二維兩個數(shù)值算例，不難看出:在噪聲環(huán)境下、色散(或非色散)背景媒質(zhì)中，時域全視(或視角受限)反演光滑(或非光滑)、單極(或多極)德魯色散目標，反演算法收斂;重建的模型參數(shù)信息量豐富，重現(xiàn)的形狀、位置、尺寸等目標信息基本準確，但反演精度有待提高．

5　結(jié)論

德魯(Drude)模型可精確地描述等離子體、金屬等媒質(zhì)的電色散特性，因此廣泛應(yīng)用在冶金、能源、材料等領(lǐng)域．本文提出一種反演這類媒質(zhì)模型參數(shù)的時域逆散射新技術(shù)，克服在時域難于直接反演媒質(zhì)電參數(shù)的困難．在20 dB加性高斯白噪聲(AWGN)環(huán)境下，通過一維(1-D)、二維(2-D)問題兩個數(shù)值算例，并通過與無噪聲、無正則化情形對比，仿真結(jié)果初步證實了該技術(shù)的良好性能．下一步研究擬利用電量、磁量的對偶關(guān)系，將該項反演技術(shù)推廣到德魯磁色散媒質(zhì)．

參考文獻

［1］陳西良，陳欣，朱智勇．不同極性聚合物材料的THz-TDS光譜測量研究［J］．紅外與毫米波學(xué)報，2013，32(2) :150－159.Chen Xi-liang，Chen Xin，Zhu Zhi-yong．THz-TDS spectra study of polymer materials with different polarity［J］．Journal of Infrared and Millimeter Waves，2013，32(2) : 150－159.(in Chinese)

［2］魏兵，葛德彪，王飛．一種處理色散介質(zhì)問題的通用時域有限差分方法［J］．物理學(xué)報，2008，57(10) : 6290－6297.Wei Bing，Ge De-biao，Wang Fei．A general method for finite difference time domain modeling of wave propagation in frequency-dispersive media［J］．Acta Physica Sinica，2008，57(10) : 6290－6297.(in Chinese)

［3］魏兵，李小勇，王飛，等．一種色散介質(zhì)FDTD通用吸收邊界［J］．物理學(xué)報，2009，58(9) : 6174－6178.Wei Bing，Li Xiao-yong，Wang Fei，et al．A finite difference time domain absorbing boundary condition for general frequency-dispersive media［J］．Acta Physica Sinica，2009，58(9) : 6174－6178.(in Chinese)

［4］王飛，魏兵，李林茜．色散介質(zhì)電磁特性時域有限差分分析的Newmark方法［J］．物理學(xué)報，2014，63 (10) : 104101.Wang Fei，Wei Bing，Li Lin-qian．Newmark method for finite-difference time-domain modeling of wave propagation in frequency-dispersive medium［J］．Acta Physica Sinica，2014，63(10) : 104101.(in Chinese)

［5］Winters D W，Bond E J，Vanveen B D，et al．Estimation of the frequency-dependent average dielectric properties of breast tissue using a time-domain inverse scattering technique［J］．IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2006，54(11) :3517 －3528.

［6］劉廣東，張業(yè)榮．二維有耗色散介質(zhì)的時域逆散射方法［J］．物理學(xué)報，2010，59(10) : 6969－6979.Liu Guang-dong，Zhang Ye-rong．Time-domain inverse scattering problem for two-dimensional frequency-dispersive lossy media［J］．Acta Physica Sinica，2010，59(10) :6969－6979.(in Chinese)

［7］Papadopoulos T G，Rekanos I T．Time-domain microwave imaging of inhomogeneous Debye dispersive scatterers［J］．IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2012，60 (2) : 1197－1202.

［8］Papadopoulos T G，Rekanos I T．Estimation of the parameters of Lorentz dispersive media using a time-domain inverse scattering technique［J］．IEEE Transactions on Magnetics，2012，48(2) : 219－222.

［9］劉廣東，張開銀．二維電磁逆散射問題的時域高斯-牛頓反演算法［J］．物理學(xué)報，2014，63(3) : 034102.Liu Guang-dong，Zhang Kai-yin．A time-domain Gauss-Newton inversion algorithm for solving two-dimensional electromagnetic inverse scattering problems［J］．Acta Physica Sinica，2014，63(3) : 034102.(in Chinese)

［10］葛德彪，閆玉波．電磁波時域有限差分法(第三版) ［M］．西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2011.279－280.Ge De-biao，Yan Yu-bo．Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetic Waves (3rded．)［M］．Xi’an: Xidian University Press，2011.279－280.(in Chinese)

［11］Tikhonov A N，Arsenin V Y．Solutions of ill-posed problems［J］．SIAM Review，1979，21(2) : 266－267.

［12］Sagan H．Introduction to the Calculus of Variations［M］．New York: McGraw-Hill Press，1969.10－110.

［13］Dai Y H．A family of hybrid conjugate gradient methods for unconstrained optimization［J］．Mathematics of Computation，2003，17(2) : 1317－1328.

［14］劉廣東，張業(yè)榮．一種處理分層有耗色散介質(zhì)的時域逆散射方法［J］．電子學(xué)報，2011，39(12) : 2856－2862.Liu Guang-dong，Zhang Ye-rong．An approach to the time-domain inverse scattering problem for the stratified frequency-dispersive lossy media［J］．Acta Electronica Sinica，2011，39(12) : 2856－2862.(in Chinese)

［15］Roden J A，Gedney S D．Convolutional PML (CPML) : An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media［J］．Microwave and Optical Technology Letters，2000，27(5) : 334－339.

劉廣東男，1972年生于江蘇灌云．現(xiàn)為阜陽師范學(xué)院物電學(xué)院副教授、工學(xué)博士．研究方向為微波醫(yī)學(xué)成像．

E-mail: liu－guang－dong@126.com

葛新同男，1966年生于安徽蒙城．現(xiàn)為阜陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院講師、工學(xué)博士．研究方向為不確定最優(yōu)控制及金融數(shù)學(xué)．

E-mail: gxtong01234@163.com

An Electromagnetic Inverse Scattering Technique in Time Domain for Drude Dispersive Media

LIU Guang-dong1，GE Xin-tong2
(1.School of Physics and Electronic Engineering，F(xiàn)uyang Normal College，F(xiàn)uyang，Anhui 236037，China; 2.School of Mathematics and Statistics，F(xiàn)uyang Normal College，F(xiàn)uyang，Anhui 236037，China)

Abstract:Drude empirical models are frequently used for description of dispersion characteristics of many media，such as plasmas，and metals．Reconstructed electrical properties by directly using wide-band measured data in time domain，are better than those by application of any single-frequency technique，in amount of information，and resolution of generated images．One of difficulties in time-domain reconstruction of dispersive characteristics is their frequency correlation．In order to overcome this difficulty，an electromagnetic (EM) inverse scattering technique in time domain is proposed，in which four kinds of frequency-independence parameters from a Drude model are estimated simultaneously．Main segments for the technology are: (1) formulating the inverse scattering problem as a constrained minimization problem with a term of regularization; (2) transforming resulting problem into an unconstrained minimization one; (3) deriving a set of closed gradients of its cost functional; (4) solving iteratively resulting forward and backward sub-problems by a finite-difference time-domain (FDTD) method and any conjugate gradient (CG) algorithm，respectively．In one-dimensional (1-D) and two-dimensional (2-D) numerical examples，necessary measurements are replaced by simulated fields based on the FDTD method，and it is assumed that they are corrupted by an additive white Gaussian noise (AWGN)．Numerical results preliminarily confirm performance of the inversion methodology．

Key words:electromagnetic (EM) inverse scattering; Drude dispersive media; regularization; finite-difference timedomain (FDTD) method; conjugate gradient (CG) algorithm

作者簡介

基金項目:國家自然科學(xué)基金(No．51271059) ;安徽高校省級自然科學(xué)研究重點項目(No．KJ2014A193) ;安徽省科技計劃項目(No．1501031114) ;阜陽師范學(xué)院自然科學(xué)研究項目(No．2014FSKJ14)

收稿日期:2015-05-22;修回日期: 2015-08-11;責(zé)任編輯:藍紅杰

DOI:電子學(xué)報URL: http: / /www．ejournal．org．cn10．3969/j．issn．0372-2112．2016．02．020

中圖分類號:TN95; O441; O451

文獻標識碼:A

文章編號:0372-2112 (2016) 02-0385-07