張花國，李　鑫，張建華，魏　平

(1．電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川成都611731; 2．中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京100094)

?

基于半定松弛的長碼DSSS信號擴頻波形估計

張花國1，李鑫1，張建華2，魏平1

(1．電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，四川成都611731; 2．中國船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京100094)

摘要:針對非合作通信中的長碼DSSS信號，提出了一種基于半定松弛的擴頻波形估計方法，并在確定信號模型下推導(dǎo)了擴頻波形估計的CRB．首先推導(dǎo)了長碼DSSS信號擴頻波形的極大似然估計，由于該極大似然估計為非凸的組合優(yōu)化問題，提出通過松弛約束條件將其轉(zhuǎn)化為具有多項式計算復(fù)雜度的半定規(guī)劃問題，實現(xiàn)對該極大似然估計問題的近似求解．仿真表明本文提出方法性能優(yōu)于現(xiàn)有方法，并隨著信噪比的提高逐漸逼近CRB．

關(guān)鍵詞:長碼DSSS信號;極大似然估計;半定松弛;擴頻波形估計; CRB

1　引言

直接序列擴頻(Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS)信號具有抗多徑、抗干擾、低截獲概率、多址復(fù)用等優(yōu)點，在軍事和民用通信領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如美國跟蹤與數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星系統(tǒng)(TDRSS)、全球定位系統(tǒng)(GPS)及第三代移動通信CDMA系統(tǒng)等．合作接收方可利用已知擴頻波形對DSSS信號解擴完成信息碼估計，而對于非合作接收方如無線電頻譜監(jiān)視、通信對抗等領(lǐng)域，需要事先估計出擴頻波形才能完成信號解擴．因此，非合作低信噪比條件下，DSSS信號的擴頻波形估計是目前研究熱點之一．

目前，針對短碼DSSS信號(即擴頻波形周期與傳輸?shù)男畔⒋a元寬度相等)的擴頻波形估計問題已取得了大量研究成果［1～6］，在低信噪比下可實現(xiàn)擴頻波形的精確估計．對于長碼DSSS信號的一種特殊形式周期長碼DSSS信號(即擴頻波形周期為信息碼元寬度的整數(shù)倍)，目前其擴頻波形估計問題也得到了廣泛的研究［6～10］，總體來講其主要思路是基于短碼DSSS信號擴頻波形估計方法上的擴展，將周期長碼DSSS信號建模為虛擬多用戶短碼DSSS信號［6，7］或采用分段估計法［8～10］，利用短碼DSSS信號估計方法獲得周期長碼DSSS信號擴頻波形的分段估計值，并進一步利用特定擴頻序列(如m序列、Gold序列)的性質(zhì)，拼接擴頻波形的各分段估計值獲得完整周期擴頻波形的估計．而對于非周期長碼DSSS信號(即擴頻波形周期為信息碼元寬度的非整數(shù)倍)，由于其信號數(shù)學(xué)模型相對復(fù)雜，目前研究結(jié)果較少，根據(jù)公開文獻最早進行非周期長碼直擴信號擴頻波形估計的是DMDS (Dominant Mode despreading)主模式解擴算法［11，12］，該算法首先對信號進行頻域信道化，將協(xié)方差矩陣主特征向量的反傅里葉變換作為擴頻波形的估計;文獻［13］針對非周期長碼DSSS信號，基于短碼DSSS信號估計方法［2］提出了一種啟發(fā)式的改進方法，將信號劃分為多個寬度遠小于信息碼寬的相互重疊時窗，近似認為各個時窗僅包含一個信息碼元，利用特征分析法［2］實現(xiàn)擴頻波形的分段估計，并根據(jù)分段估計的重疊部分通過拼湊方式得到完整周期擴頻波形的估計;文獻［14］將非周期長碼DSSS信號建模為短碼DSSS信號的缺失數(shù)據(jù)模型，利用缺失數(shù)據(jù)模型低稚逼近方法得到擴頻波形的估計;文獻［15］提出了一種基于差分主元分析的非周期長碼DSSS信號擴頻碼估計方法，通過協(xié)方差矩陣特征分解完成信息碼元個數(shù)、擴頻碼子序列的估計．

上述這些非周期長碼DSSS信號擴頻波形估計方法均未考慮擴頻波形估計的CRB (Cramer-Rao lower bound)克拉美勞界，對其估計性能缺乏有效衡量標準，而且沒有由最優(yōu)估計理論角度對擴頻波形估計問題進行理論解釋．本文針對非周期長碼DSSS信號的擴頻波形估計問題，首先在確定信號模型(將無關(guān)參數(shù)信息碼元序列建模為確定未知量)條件下，理論推導(dǎo)了擴頻波形與信息碼序列的聯(lián)合極大似然估計;其次，注意到該極大似然估計為一典型的組合優(yōu)化問題，具有指數(shù)計算復(fù)雜度，實際應(yīng)用中難以實現(xiàn)求解，進而通過松弛該極大似然估計問題的約束條件，提出了一種具有多項式計算復(fù)雜度的基于半定松弛的近似極大似然估計算法;最后，本文在確定信號模型條件下，理論推導(dǎo)了擴頻波形估計的CRB，為擴頻波形估計性能提供了一個理論下界．由于本文提出算法是基于參數(shù)的極大似然估計準則而提出的，極大似然估計器具有漸進有效性，因此本文提出算法相對現(xiàn)有估計器具有更優(yōu)的估計性能，計算機性能仿真也驗證了本文提出算法的優(yōu)良性能．

2　信號模型

非合作接收方截獲的長碼直擴信號可表示為y(n) (n =0，1，…，N－1) :

其中A＞0為信號幅度，G為信息碼寬(擴頻增益)，L為擴頻波形周期(L＞G且L為G的非整數(shù)倍)，v(n)為方差σ2的高斯白噪聲序列．信息碼波形由BPSK信息碼序列b =構(gòu)成，其中表示長為N的截獲信號樣本中所含有的信息碼個數(shù)(「x?代表比x大的最小整數(shù))，q(n)為矩形函數(shù)且當(dāng)n∈［0，G)時q(n) =1，否則為擴頻波形的周期擴展，其中M = N/L表示截獲信號樣本內(nèi)含有的擴頻波形周期個數(shù);擴頻波形c是擴頻序列與信道沖激響應(yīng)的卷積［2，13，14］，且滿足‖c‖2= L，其中‖·‖表示Frobenius范數(shù)．信噪比定義為SNR = A2/σ2.

令x =[ cTbT]T表示信號模型中的未知參量，則信號樣本可看作為x的函數(shù)s(x )，且由式(2)可知其中⊙表示Hadamard積，分別表示截獲信號樣本序列和噪聲序列，則式(1)可寫為:

本文的目的是利用截獲信號樣本序列y得到x的極大似然估計，并通過半定松弛方法完成該極大似然估計問題的近似求解，從而最終實現(xiàn)擴頻波形的近似極大似然估計．

3　基于半定松弛的擴頻波形估計方法

3.1擴頻波形的極大似然估計

給定信號幅度A、噪聲方差σ2和x時，信號樣本y的對數(shù)似然函數(shù)為:

由于信息碼為BPSK調(diào)制且‖c‖2= L，很容易得出‖s(x)‖2= N．固定待估計參量x，式(4)對A和σ2分別求偏導(dǎo)并令其等于0，得到A和σ2的極大似然估計:

將上式(5)代入式(4)可得:

其中x1: L表示向量x的前L個元素所構(gòu)成的列向量，上式(7)中的兩個約束條件分別來自擴頻波形的范數(shù)約束及BPSK信息碼序列的有限符號集特性．

3.2基于半定松弛的擴頻波形估計

極大似然估計問題式(7)中的第二個約束使其為典型的組合優(yōu)化問題，具有指數(shù)計算復(fù)雜度，精確求解該問題的計算量隨著信息碼序列長度的增加呈指數(shù)增長，因此為典型的NP問題，不具備實用性．本文提出通過松弛約束條件，將該組合優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個凸的半定規(guī)劃問題，大大降低了計算復(fù)雜度．

其中，0L×L代表L×L維的全0矩陣．

其中F為對角陣，其前L個對角元素為1，其余均為0; Xi，i表示矩陣的第i個對角元素．

約束條件X = xxT表明優(yōu)化變量X半正定且秩為1，秩1約束使得該優(yōu)化問題非凸，松弛該約束可得到如下半定規(guī)化問題［16，17］:

4　擴頻波形估計的CRB

為了衡量擴頻波形估計器的性能，本節(jié)針對確定信號模型下擴頻波形估計的CRB進行理論推導(dǎo)．定義維的未知參數(shù)向量由式(3)可知信號樣本y服從高斯分布即y～N (μ，R)，其中．Fisher信息矩陣J(θ)［19］

對稱矩陣J(θ)具有如下分塊結(jié)構(gòu)形式:

其中“0”表示元素全為零的向量．

約束條件為:

利用約束條件式(15)和(16)將得到最小約束CRB［20，21］，其中約束條件式(15)為范數(shù)約束，約束條件式(16)為符號約束．符號約束屬于“靜約束”，不會改變Fisher信息矩陣的奇異性，而范數(shù)約束可避免Fisher信息矩陣的奇異性．范數(shù)約束式(15)可等價的寫為矩陣形式，其相應(yīng)的2)維梯度矩陣為:

未知參數(shù)向量θ的前L個元素為擴頻波形c，因此擴頻波形估計NMSE的理論下界為CRBc(θ)前L個對角元素的平均:

5　計算機仿真

本節(jié)利用計算機仿真考察本文提出的半定松弛擴頻波形估計器的性能，并與現(xiàn)有的分段法［13］估計器和DMDS［11，12］估計器以及本文推導(dǎo)的約束CRB進行性能比較．每個NMSE數(shù)值由500次蒙特卡羅仿真實驗得到，擴頻波形在每次蒙特卡羅仿真實驗中隨機產(chǎn)生且服從高斯分布，同時令非周期長碼DSSS信號的擴頻波形周期和信息碼寬分別為L =63，G =30.

固定信號樣本長度M =30，擴頻波形估計的NMSE隨信噪比變化仿真曲線如圖1所示，由仿真圖可以看出，本文提出的半定松弛擴頻波形估計器的估計性能明顯優(yōu)于分段法和DMDS估計器，并且隨著信噪比的增加，半定松弛估計器的估計性能逐漸逼近并達到約束CRB．

固定信噪比為SNR =－9dB，擴頻波形估計的NMSE隨信號樣本長度變化仿真曲線如圖2所示．由仿真圖可以看出，分段法估計器與DMDS估計器隨著信號樣本長度的增加，其誤差減小開始變緩，而本文提出的半定松弛擴頻波形估計器的估計性能與約束CRB接近．

改變非周期長碼DSSS信號的擴頻波形周期和信息碼寬L =127，G = 30/50.固定信號樣本長度M = 50，擴頻波形估計的NMSE隨信噪比變化仿真曲線如圖3所示;固定信噪比為SNR =－9dB，擴頻波形估計的NMSE隨信號樣本長度變化仿真曲線如圖4所示．由仿真圖可以看出，本文提出的半定松弛擴頻波形估計器的估計性能與約束CRB接近．

由以上仿真明顯可看出本文提出估計器明顯優(yōu)于現(xiàn)有估計器，其主要原因是本文估計器是由最優(yōu)參數(shù)估計理論-極大似然估計推導(dǎo)得到，盡管本文采用了半定松弛方法對極大似然估計問題進行了近似求解，這也說明半定松弛方法對極大似然估計問題具有良好的求解性能，這在合作通信多用戶檢測問題［16］中也得到了證明．

6　結(jié)論

本文針對長碼DSSS信號的擴頻波形估計問題，由最優(yōu)參數(shù)估計理論角度推導(dǎo)了擴頻波形的極大似然估計模型，并提出了一種半定松弛方法實現(xiàn)該極大似然估計的近似求解，同時在確定信號模型下推導(dǎo)了擴頻波形估計的CRB，為衡量各種估計器的性能提供了一個理論下界．由于本文提出方法基于極大似然估計理論，相對現(xiàn)有方法具有更優(yōu)的估計性能．

參考文獻

［1］C Bouder，S Azou，G Burel．A robust synchronization procedure for blind estimation of the symbol period and the timing offset in spread spectrum transmissions［A］．IEEE Seventh International Symposium on Spread Spectrum Techniques and Applications［C］．Prague，Czech Republic，2002．238－241．

［2］C Bouder，S Azou，G Burel．Performance analysis of a spreading sequence estimator for spread spectrum transmissions［J］．Journal of the Franklin Institute，2004，34 (7) : 595－614．

［3］M K Tsatsanis，G B Giannakis．Blind estimation of direct sequence spread spectrum signals in multipath［J］．IEEE Trans Signal Processing，1997，45(5) : 1241－1252．

［4］Y H Peng，B Tang，M Lv．Fast method for spreading sequence estimation of DSSS signal based on maximum likelihood function［J］．Journal of Systems Engineering and E-lectronics，2010，21(6) : 948－953．

［5］付衛(wèi)紅，楊小牛，劉乃安．基于盲源分離的CDMA多用戶檢測與偽碼估計［J］．電子學(xué)報，2008，36 (7) : 1319 －1323．FU Wei-hong，YANG Xiao-niu，LIU Nai-an．The multi-user detection and chip sequence estimation for CDMA system based on the blind source separation［J］．Acta ElectronicaSinica，2008，36(7) : 1319－1323．(in Chinese)．

［6］任嘯天，徐暉，王翔，等．一種針對短碼、周期長碼直擴信號擴頻序列盲估計方法［J］．宇航學(xué)報，2011，32(12) : 2596－2600．REN Xiao-tian，XU Hui，WANG Xiang，et al．A method for blind estimation of PN sequence of short-code and periodic long-code DSSS signal［J］．Journal of Astronautics，2011，32(12) : 2596－2600．(in Chinese)

［7］S Daneshmand，H Aghaeinia，M Tohidian，et al．Blind estimation of signal in periodic long-code DSSS communications［A］．IEEE Sarnoff Symposium［C］．Princeton，NJ: IEEE，2009．1－6．

［8］王滿喜，李宏，馬刈非，等．非周期性DSSS信號的PN碼序列盲估計［J］．信號處理，2009，25(10) : 1605－1611．WANG Man-xi，LI Hong，MA Yi-fei，et al．Approach to blind estimation of PN sequence in non-periodic DSSS signals［J］．Signal Processing，2009，25(10) : 1605－1611．(in Chinese)

［9］張曉林，李洪源．非周期直擴信號PN碼盲估計技術(shù)［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34(6) : 1102－1107．ZHANG Xiao-lin，LI Hong-yuan．Approach to blind estimation of PN sequence in nonperiodic DSSS signals［J］．Systems Engineering and Electronics，2012，34 (6) : 1102－1107．(in Chinese)

［10］馬超，張立民，王建雄．基于子空間跟蹤的長碼直擴序列盲估計［J］．計算機與數(shù)字工程，2014，42(2) : 223－226．MA Chao，ZHANG Li-min，WANG Jian-xiong．Blind estimation of long code DSSS signal based on subspace tracking［J］．Computer＆Digital Engineering，2014，42(2) : 223－226．(in Chinese)

［11］B G Agee，R J Kleinman，J H Reed．Soft synchronization of direct sequence spread-spectrum signals［J］．IEEE Trans Communications，1996，44(11) : 1527-1536．

［12］N R Mangalvedhe，J H Reed．Evaluation of a soft synchronization technique for DS/SS signals［J］．IEEE Journ Selected Areas in Communications，1996，14 (8 ) : 1643 －1652．

［13］P Y Qui，Z T Huang，W L Jiang，C Zhang．Improved blind-spreading sequence estimation algorithm for direct sequence spread spectrum signals［J］．IET Signal Processing，2008，2(2) : 139－146．

［14］牟青，魏平．基于缺失數(shù)據(jù)模型的長碼直擴信號的偽碼估計［J］．電子學(xué)報，2010，38(10) : 2365－2369．MOU Qing，WEI Ping．Spreading waveform estimation of long-code DS-SS signals based on missing-data model ［J］．Acta Electronica Sinica，2010，38(10) : 2365－2369．(in Chinese)

［15］何濤，李志強，梁旭文．一種非周期調(diào)制直擴信號擴頻碼估計方法［J］．宇航學(xué)報，2013，34(4) : 546－551． HE Tao，LI Zhi-qiang，LIANG Xu-wen．An estimation method for spread spectrum code of non-periodic modulated DS signal［J］．Journal of Astronautics，2013，34(4) : 546－551．(in Chinese)

［16］W K Ma，T N Davidson，K M Wong，Z Q Luo，P C Ching．Quasi-maximum-likelihood multiuser detection using semi-definite relaxation with application to synchronous CDMA［J］．IEEE Trans Signal Processing，2002，50(4) : 912－922．

［17］Z Q Luo，W Yu．An introduction to Convex optimization for communications and signal processing［J］．IEEE Trans Signal Processing，2006，24 (8) : 1426－1438．

［18］S J Benson，Y Ye．DSDP5: software for semidefinite programming［J］．ACM Transactions on Mathematical Software，2005，V(N) : 1－20．

［19］S M Kay．Fundamentals of Statistical Signal Processing ［M］．Upper Saddle River，NJ: Prentice-Hall，2001．

［20］E D Carvalho，J Cioffi，D Slock．Cramer-Rao bounds for blind multichannel estimation［A］．Proc Global Telecommun Conf［C］．San Francisco，CA: IEEE，2000．1036 －1040．

［21］E D Carvalho，D Slock．Blind and semi-blind FIR multichannel estimation: (Global) identifiability conditions ［J］．IEEE Trans Signal Processing，2004，52 (4) : 1053 －1064．

［22］P Stoica，B C Ng．On the Cramer-Rao bound under parametric constrains［J］．IEEE Trans Signal Process Lett，1998，5 (7) : 177－179．

張花國男，1979年1月生于山東濰坊，電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院副教授，主要研究方向為復(fù)雜通信信號截獲與分析．

E-mail: uestczhg@163．com

李鑫男，1991年11月生于遼寧朝陽，現(xiàn)為電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院碩士研究生，主要研究方向為DSSS信號的盲解擴研究．

A Semidefinite Relaxation Approach to Spreading Waveform Estimation for Long-Code DSSS Signals

ZHANG Hua-guo1，LI Xin1，ZHANG Jian-hua2，WEI Ping1
(1．School of Electronic Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，Sichuan 611731，China; 2．Systems Engineering Research Institute，Beijing 100094，China)

Abstract:For long-code direct sequence spread spectrum (DSSS) signals in non-cooperative communication systems，a semidefinite relaxation approach to spreading waveform estimation is proposed，and the Cramer-Rao lower bound (CRB) for the spreading waveform estimation is also derived under the deterministic signal model．We first derive the maximum likelihood estimate (MLE) of spreading waveform．Then，due to the MLE problem being a non-convex combinatorial optimization problem，we approximate it as a semidefinite programming problem which features polynomial worst-case complexity by relaxing the constraints．The simulation results demonstrate that the proposed estimator significantly outperforms the existing estimators and can achieve the CRB as the signal-to-noise ratio increases．

Key words:long-code DSSS signals; maximum likelihood estimate; semidefinite relaxation; spreading waveform estimation; Cramer-Rao lower bound

作者簡介

基金項目:國家自然科學(xué)基金(No．61201282) ;中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(No．ZYGX2013J016)

收稿日期:2014-12-01;修回日期: 2015-08-21;責(zé)任編輯:李勇鋒

DOI:電子學(xué)報URL: http: / /www．ejournal．org．cn10．3969/j．issn．0372-2112．2016．02．013

中圖分類號:TN911.6

文獻標識碼:A

文章編號:0372-2112 (2016) 02-0334-06