崔文鋒，李蓓智，楊建國

(東華大學 機械工程學院， 上海 201620)

基于誤差敏感度的納米機床綜合誤差優(yōu)化

崔文鋒，李蓓智，楊建國

(東華大學 機械工程學院， 上海 201620)

摘要：如何確定各項幾何誤差對機床綜合誤差的影響程度，從而合理地優(yōu)化機床零部件的幾何精度是機床設計過程中面臨的一個難題.以一臺三軸納米機床為例，運用多體系統(tǒng)理論方法構建機床幾何誤差傳遞模型，并在此基礎上提出了正交試驗的誤差敏感度分析方法，對納米機床的幾何誤差進行了敏感度計算.以敏感度大小作為誤差優(yōu)化依據(jù)，制定了幾何誤差優(yōu)化措施.計算和分析結(jié)果表明，對敏感度較大的幾何誤差進行優(yōu)化，可以有效提高運動軸精度，從而為合理提高機床精度提供重要的理論依據(jù).

關鍵詞：納米機床； 多體系統(tǒng)理論； 誤差建模； 幾何誤差； 敏感度分析； 正交試驗

隨著精密加工技術的迅速發(fā)展以及零件加工精度的不斷提高，數(shù)控機床的精度面臨挑戰(zhàn)，而數(shù)控機床的加工誤差反映了機床精度的高低[1].加工誤差是機床所有零部件誤差耦合作用的最終結(jié)果，如何確定影響機床綜合誤差的主要因素，是機床設計階段和使用階段的一個難題.因此，建立合理的機床誤差模型，對機床進行誤差敏感度分析，確定對加工誤差影響較大的幾何誤差參數(shù)有著重要的意義.

影響機床加工精度的各類誤差主要有機床零部件的幾何誤差、熱誤差、載荷誤差、伺服誤差等，而幾何誤差對加工精度的影響又是精度設計的主要研究內(nèi)容[2].機床的幾何誤差最終反映在被加工工件的加工誤差上，建立機床誤差模型可以反映出機床整體精度與各零部件精度之間的關系.目前國內(nèi)外許多學者在機床空間誤差建模方面進行了廣泛的研究，先后提出了誤差矩陣法、二次型模型法、機構學法、剛體運動學法和多體系統(tǒng)理論法等[3].其中多體系統(tǒng)是分析和研究復雜機械系統(tǒng)的最優(yōu)模式，因而其被廣泛應用于機床誤差建模中[4-6].文獻[7]以滾齒機為研究對象，利用多體系統(tǒng)理論建模方法，對機床誤差進行了敏感度分析.文獻[8]用矩陣微分法推導了平臺原始誤差和位姿誤差之間的關系式，建立了基于敏感度約束條件的誤差優(yōu)化函數(shù)，并通過實例驗證了基于敏感度的誤差分析方法的有效性.文獻[9]以精密臥式加工中心為例，在多體系統(tǒng)理論的基礎上，利用誤差求導的方法建立了機床綜合誤差和幾何誤差的映射關系，實現(xiàn)了機床關鍵誤差項的識別.然而，目前研究機床誤差敏感度的文獻相對較少，而且大多數(shù)研究都是在機床制造完成后進行測量分析，沒有在設計階段就引入敏感度分析.

本文以一臺三軸納米機床為例，基于多體系統(tǒng)理論建立了納米機床的誤差模型，采用正交試驗方法對機床進行了敏感度分析，計算了納米機床各幾何誤差參數(shù)對各方向誤差敏感度的影響，識別出了影響機床綜合誤差的關鍵幾何誤差因素，為指導機床綜合誤差優(yōu)化提供了依據(jù).

1基于多體系統(tǒng)理論的納米機床運動誤差模型

納米機床的結(jié)構簡圖如圖1(a)所示,圖1(b)為其相應的拓撲結(jié)構.根據(jù)機床運動模型將系統(tǒng)分成兩個分支，其中，一個分支為床身 -x軸部件 -y軸部件-工件，另一個分支為床身 -z軸-刀具.

1—x軸平臺；2—y軸平臺；

3—刀具；4—z軸部件

(a) 結(jié)構示意圖

(b) 拓撲結(jié)構圖

圖1納米機床

Fig.1The nano-machine

根據(jù)剛體六自由度假設理論，在三維空間中運動的剛體會產(chǎn)生6項誤差(3項位移誤差，3項角度誤差)，對于三軸機床有3個運動體共18項誤差，此外還有3軸之間兩兩存在3項垂直度誤差，因此，三軸機床共包含21項幾何誤差參數(shù)，如表1所示.

表1　納米機床的幾何誤差

多體系統(tǒng)中各體之間的位置和運動關系可以用對應的坐標系變換來表示，為了方便納米機床的誤差建模，設置床身B1的體坐標系為基準坐標系，x軸B2的運動參考坐標系與B1體坐標系重合，y軸B3的運動參考坐標系相對于B2體坐標系轉(zhuǎn)過了垂直度誤差εxy，工件B4體坐標系在B3體坐標系中的位置矢量為{P4}={P4x，P4y，P4z}T，主軸B5的運動參考坐標系在B1體坐標系中的矢量位置為{P5}={P5x，P5y，P5z}T，并且相對B1的體坐標系轉(zhuǎn)過的垂直度誤差為εxz、εyz.刀具B6體坐標系與B5的體坐標系平行，在B5體坐標系的位置矢量為{P6}={0，0，-H}T.工件上加工點在工件坐標系中的坐標為{xw，yw，zw}T.

(1)

式中：Ex、Ey、Ez分別為納米機床在x軸、y軸、z軸方向上產(chǎn)生的綜合誤差.

2基于正交試驗的敏感度分析方法

(2)

極差Rp反映了試驗因素對試驗結(jié)果的影響程度，其中蘊含了函數(shù)對變量的敏感程度.在某個點xp處，目標函數(shù)f(x)對變量xp的敏感度Sp可以定義為

(3)

(4)

根據(jù)上述分析方法，基于正交試驗的誤差敏感度分析過程主要包括:(1)確定試驗的目標函數(shù)及參與分析的誤差因素；(2)根據(jù)試驗要求確定各個誤差因素的水平；(3)根據(jù)誤差因素及水平數(shù)選擇合適的正交表；(4)調(diào)用目標函數(shù)，分別計算不同試驗方案下的函數(shù)值；(5)計算每個因素下各水平所對應的目標函數(shù)的平均值；(6)由式(4)計算各因素的敏感度值，并確定各誤差因素對目標函數(shù)的影響程度.

3誤差敏感度結(jié)果與討論

基于正交試驗，納米機床的21項幾何誤差參數(shù)設計值如表2所示.

表2　納米機床幾何誤差設計值

納米機床3根軸的行程均為100 mm，假設工件坐標系原點在工作臺坐標系中的位置坐標為(P4xP4yP4z1)T=(0 0 20 1)T,刀具長度為20 mm，加工點在工件坐標系的位置坐標為(xwywzw1)T=(-100-100 -10 1)T.本文選取納米磨床的21項幾何誤差為試驗因素，每個因素的變化量按-20%取水平值，水平表如表3所示，構造21因素2水平的正交表L32(221).

表3　幾何誤差因素水平表

由式(1)進行納米磨床各方向誤差的32次正交仿真計算，以x軸方向誤差Ex為例，由式(4)可以計算出各誤差項對x軸方向誤差Ex的敏感度，計算結(jié)果如表4所示，未列出的誤差項的敏感度均為0.

表4　幾何誤差項對x軸方向誤差Ex的敏感度

為了更好地反映誤差參數(shù)的敏感度，將得到的敏感度值進行歸一化處理，定義Vp為

(5)

經(jīng)過上述處理，可以得到各個誤差因素的敏感度所占比例，結(jié)果如圖2所示.

圖2　影響Ex的誤差敏感度比例Fig.2　The proportion of the sensitivity of the error Ex

從圖2可以看出，機床的x軸與z軸的垂直度誤差，x軸的定位誤差，z軸在x軸方向的直線度誤差，y軸的水平直線度誤差，y軸的俯仰誤差，上述5項誤差對機床在x軸方向的誤差影響較大.

同理,y軸方向誤差Ey和z軸方向誤差Ez的誤差敏感度分析結(jié)果如圖3和4所示.

圖3　影響Ey的誤差敏感度比例Fig.3　The proportion of the sensitivity of the error Ey

由圖3可以看出，納米機床的y軸與z軸的垂直度誤差，y軸的定位誤差，x軸在y軸方向的直線度誤差，z軸在y軸方向上的直線度誤差，y軸與x軸的垂直度誤差，x軸和y軸的俯仰誤差，上述7項誤差對機床在y軸方向的誤差影響較大.

圖4　影響Ez的誤差敏感度比例Fig.4　The proportion of the sensitivity of the error Ez

由圖4可以看出，機床的x軸在z軸方向的直線度誤差，z軸的定位誤差，x軸的偏擺誤差，y軸的偏擺誤差和俯仰誤差，上述5項誤差對機床在z軸方向的誤差影響較大.

綜上可知，在影響各方向綜合誤差的幾何誤差因素中，最主要的誤差因素是垂直度誤差，其次是各軸的線性誤差，角度誤差影響相對較小.在對機床進行設計優(yōu)化時，應首要考慮垂直度誤差和線性誤差.

4納米機床綜合誤差優(yōu)化

為了降低納米機床的綜合誤差，結(jié)合各幾何誤差參數(shù)的敏感度分析結(jié)果，在對參數(shù)的優(yōu)化過程中，優(yōu)先對垂直度誤差和線性誤差進行優(yōu)化.線性誤差優(yōu)化無論從機械結(jié)構還是在機床制造完成后的補償上都較為容易實現(xiàn)，而垂直度誤差主要取決于兩軸之間的安裝，對于z軸與其他兩軸的垂直度可以通過提高立柱的平面度以及安裝精度來保證其垂直度.

利用式(1)計算機床3個方向的誤差可以發(fā)現(xiàn),y軸方向的誤差較大，所以需要對y軸誤差進行有效控制.根據(jù)y軸誤差敏感度分析得知，影響y軸方向誤差最重要的幾何誤差因素為y軸與z軸之間的垂直度誤差，在設計時εyz的取值為8″，可以將這個值更改為4″，這就需要在裝配時嚴格控制立柱與大理石平臺之間的垂直度. 根據(jù)敏感度分析結(jié)果，并考慮誤差優(yōu)化難易程度，選取敏感度較大的誤差變量作為下一步調(diào)整的對象，所以選擇εxy進行優(yōu)化，將x軸和y軸之間的垂直度提高2″.優(yōu)化后的誤差值如表5所示.

表5　優(yōu)化誤差和優(yōu)化后的精度

通過對兩個幾何誤差參數(shù)進行優(yōu)化，優(yōu)化后y軸方向的誤差可以控制在17 μm以內(nèi)，相比優(yōu)化前精度提高了17%左右.

5結(jié)語

本文基于多體系統(tǒng)理論構建了納米機床的幾何誤差傳遞模型，采用正交試驗設計法進行了納米機床幾何誤差敏感度的分析，量化了各幾何誤差參數(shù)對納米機床綜合誤差的影響程度.根據(jù)敏感度分析結(jié)果，合理調(diào)整εyz和εxy兩項幾何誤差的精度，有效提高了y軸方向的運動精度，為納米機床的綜合誤差優(yōu)化提供了理論依據(jù).

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Optimization of Machine Error Based on Error Sensitivity Analysis for Nano-machine

CUIWen-feng,LIBei-zhi,YANGJian-guo

(College of Mechanical Engineering，Donghua University，Shanghai 201620，China)

Abstract:Determining the influence degree generated by the geometric errors of parts, thus distributing the geometric errors of parts economically and reasonably, is a difficult problem in the machine design process currently. Taking a three-axis nano-machine as example, the geometric error of machine tool is established based on multi-body system theory. Then, sensitivity analysis method based on orthogonal experiments is proposed and sensitivity coefficients of error are calculated. With the value of sensitivity as the index for optimization, geometric error optimization measures are set up. Calculation and analysis results show that motion axe accuracy can be improved by optimizing the geometric errors with high sensitivity, thus important theoretical basis is provided for improving precision of machine tools reasonably.

Key words:nano-machine; multi-body system theory; error modeling; geometric error; sensitivity analysis; orthogonal experiment

文章編號：1671-0444(2016)02-0253-05

收稿日期：2015-03-03

基金項目：國家高技術研究發(fā)展計劃(863)資助項目( 2012AA041309)

作者簡介：崔文鋒(1990—)，男，山東煙臺人，碩士研究生，研究方向為先進制造工藝與裝備. E-mail:517786829@163.com 楊建國(聯(lián)系人)，男，教授，E-mail: jgyangm@163.com

中圖分類號：TP 161

文獻標志碼：A