要求一個(gè)長(zhǎng)方體或正方體的表面積和體積，只要知道它們的長(zhǎng)、寬、高或棱長(zhǎng)，就能運(yùn)用表面積或體積計(jì)算公式解答。可是如果題目沒有告訴我們這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，怎么辦？請(qǐng)看下面的例子。

例1：右圖是一個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的展開圖，這個(gè)紙盒的表面積和體積各是多少？

思路點(diǎn)睛：從圖中我們可以看出，這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)應(yīng)該是6厘米，寬是2厘米，高是4厘米。根據(jù)這些信息，這個(gè)長(zhǎng)方體紙盒的表面積是（6×2＋6×4＋2×4）×2=88（平方厘米），體積是6×2×4=48（立方厘米）。

上面的這個(gè)問題，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都能從圖上看出來。下面的這個(gè)問題，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高從題目中看不出來。

例2：一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209 平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整厘米數(shù)，并且這三個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？

思路點(diǎn)睛：設(shè)長(zhǎng)為a 厘米，寬為b 厘米，高為h 厘米，其中a＞b，如右圖。

從圖上看出，長(zhǎng)方體前面的面積=a×h，上面的面積是=a×b，前面和上面的面積之和是ah+ab=a（h+b）。

再根據(jù)“前面和上面的面積之和是209 平方厘米”，我們可以把209 分解質(zhì)因數(shù)，即a（h+b）=209=11×19。因?yàn)?1和19都是奇數(shù)，所以（h+b）的結(jié)果必為奇數(shù)；而a、b、h又都是質(zhì)數(shù)，因此h和b中必有一個(gè)為質(zhì)數(shù)2，否則其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，奇+奇=偶，不符合上面分解的結(jié)果。

下面看看h+b是等于11，還是等于19，我們可以來試驗(yàn)一下。

若h＋b=11=2＋9，因?yàn)?不是質(zhì)數(shù)，所以不合題意；

若h+b=19=2+17，均為質(zhì)數(shù)，符合題意。

所以a=11，b=2，h=17，體積等于a×b×h=11×2×17=374（立方厘米）。

答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是374立方厘米。