楊曉蕾

摘 要：本文通過(guò)對(duì)于求解非線性方程問(wèn)題的五種方法即二分法、牛頓法、簡(jiǎn)易牛頓法、割線法、steffensen法等數(shù)值分析方法的算法原理及實(shí)現(xiàn)方法的研究，通過(guò)對(duì)非線性方程開(kāi)普勒方程x-asinx=b（分別對(duì)a，b賦值1，2）運(yùn)用以上五種不同的迭代法進(jìn)行求解，對(duì)幾種迭代法的運(yùn)算量、迭代步數(shù)、所用時(shí)間進(jìn)行分析與評(píng)價(jià)，最終對(duì)其進(jìn)行比較，得到五種不同迭代方法的適于求解的非線性方程類(lèi)型的簡(jiǎn)要分析推斷。

關(guān)鍵詞：二分法；牛頓迭代法；簡(jiǎn)易牛頓法；割線法；Steffensen法

對(duì)于非線性方程的求解，在實(shí)際問(wèn)題中時(shí)常出現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題，在科學(xué)和工程計(jì)算中非線性方程尤為重要，許多我們熟悉的線性模型都在一定的條件下由非線性問(wèn)題簡(jiǎn)化得到的，為得到更符合實(shí)際的解答，往往需要直接研究非線性模型，從而產(chǎn)生非線性科學(xué)。

非線性方程的數(shù)值解法在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，但由于非線性方程的復(fù)雜性，在解法上直接法計(jì)算求解幾乎不可能，所以需借助二分法、迭代法求解。

在幾百年的研究努力下，已建立了二分法、牛頓法、簡(jiǎn)易牛頓法、割線法、Steffensen法。

3 總結(jié)分析

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果知，二分法經(jīng)過(guò)迭代后，可以達(dá)到較好的精度，但是當(dāng)所求問(wèn)題較為復(fù)雜，且對(duì)其根的估計(jì)范圍較為寬泛時(shí)，所需迭代的步數(shù)很大，計(jì)算量和空間儲(chǔ)存上會(huì)有很大的占用。

牛頓法是二次收斂的，因此用牛頓法求解非線性方程的解，迭代次數(shù)較小，且計(jì)算量和占用空間較小，可以得到相對(duì)較精確的數(shù)值解。但其缺點(diǎn)是需要求非線性方程的導(dǎo)函數(shù)值，適用范圍較小，只能對(duì)一階可導(dǎo)的方程進(jìn)行迭代。牛頓法在比較復(fù)雜的問(wèn)題上能以較小的運(yùn)算量得出較為精確的數(shù)值解。

簡(jiǎn)易牛頓法擁有較小的計(jì)算量，算法只用到初始值的導(dǎo)數(shù)值作為分母，但缺點(diǎn)是需要迭代步數(shù)較多，適合簡(jiǎn)單且容易觀察出零點(diǎn)大致位置的非線性方程。

割線法收斂速度不如牛頓迭代法收斂速度快，但比二分法快，可以達(dá)到相對(duì)較高的精度，在其迭代過(guò)程中每步只需一次新的函數(shù)賦值，此類(lèi)迭代算法中函數(shù)賦值構(gòu)成了主要的計(jì)算量，綜合比較割線法的運(yùn)算量要比牛頓法小。

Steffensen 法的收斂速度在一定條件下可以達(dá)到二次收斂，相對(duì)割線法和二分法收斂速度較快，在一定程度上避免了兩個(gè)值很近時(shí)造成的誤差，也不需要求函數(shù)導(dǎo)數(shù)值，綜合來(lái)看Steffensen 迭代算法計(jì)算量較小且精度較高。

參考文獻(xiàn)：

[1] David Kincaid&Ward Cheney著，王國(guó)榮，俞耀明，徐兆亮譯.數(shù)值分析.