翁華木

例 已知數(shù)列[an]中，[a1=45，]

[]則[a2016]等于（ ）

A. [45] B. [35]

C. [25] D. [15]

這是一道以分段形式給出遞推關(guān)系為命題背景的考查數(shù)列求值的問題，常規(guī)的數(shù)列遞推式問題的求解思路是先探求其通項公式，再求值. 為了弄清數(shù)列的遞推關(guān)系，我們不妨先求出此數(shù)列的前若干項，看清數(shù)列通項所呈現(xiàn)的規(guī)律，再去尋求數(shù)列的通項公式.

[在嘗試中尋求解題方法]

解析 依題意知，當(dāng)[a1=45]時，[a2=2×45-1=35.]

當(dāng)[a2=35]時，[a3=2×35-1=15.]

當(dāng)[a3=15]時，[a4=2×15=25.]

當(dāng)[a4=25]時，[a5=2×25=45.]

所以數(shù)列[an]的周期為4，于是[a2016=a4×504=a4=25.]

答案 C

分析上面的求解過程，我們避開了數(shù)列求值題先探求數(shù)列的通項公式，再代值求解目標(biāo)項的常規(guī)方法. 而是通過特值先求出數(shù)列的前若干項，再觀察前若干項呈現(xiàn)的規(guī)律，得到這些項具有周期性，進(jìn)而類比函數(shù)的周期性，得出數(shù)列[an]的周期變化規(guī)律，求出了目標(biāo)項，實(shí)現(xiàn)了“小題巧做”的目的.

[在變式中展開命題探究]

數(shù)列是一類特殊的定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，上面問題的求解，借助研究函數(shù)性質(zhì)的方法，得出數(shù)列遞推關(guān)系具有周期性，從而類比函數(shù)的周期性，從另一種思路得出了問題的答案. 順著數(shù)列遞推關(guān)系的周期性研究，我們給出如下變式.

變式1 若數(shù)列[an]滿足：存在正整數(shù)[T]，對于任意的正整數(shù)[n]都有[an+T=an]成立，則稱數(shù)列[an]為周期數(shù)列. 已知數(shù)列[an]滿足[a1=m（m>0），][an+1=an-1，an>1，1an，0（1）當(dāng)[m=23]時，[a5=] ；

（2）若[a3=4]，則[m]的所有取值之積為 .

解析 （1）[m=23]時，[a1=23，][a2=1a1=32，][a3=a2-1][=12，][a4=1a3=2，][a5=a4-1=1].

（2）[a1=m（m>0），]進(jìn)行以下推算：若[1